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EF Math1 ST 2015 Corrigé.pdf


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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Janvier 2015

Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30

 L’usage de tout appareil électronique est strictement interdit

Exercice 1: Soit (‫ݑ‬௡ ) la suite numérique définie par :
1.
2.
3.
4.

‫ݑ‬଴ ൌ ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ‫ א ݊׊‬Գǣ ‫ݑ‬௡ାଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ .

Calculer les termes ‫ݑ‬ଵ ݁‫ݑ ݐ‬ଶ.
Démontrer que pour tout entier naturel n : Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ < 2.
Etudier la monotonie de la suite (‫ݑ‬௡ ).
En déduire que la suite (‫ݑ‬௡ ) est convergente et calculer sa limite.

v
i
n

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Exercice 2: Soit ݂ la fonction numérique de la variable réelle ‫ ݔ‬définie par :
݂(‫= )ݔ‬

‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
.
•‹‫ݔ‬

1. Déterminer le domaine de définition ‫ܦ‬௙ de ݂Ǥ
2. Calculer ݂(1) et ݂(−1).
3. Etudier la parité de la fonction f.
La fonction f est –elle injective ?
4. Calculer lim௫՜ ଴ ݂(‫)ݔ‬.

s
e
c

n
e
i

Sc

5.
6.

(U

m
e
l
T
.

s
e
En déduire que la fonction f est prolongeable par continuité en 0.
d
Soit F ce prolongement, écrire l’expression
de ‫)ݔ(ܨ‬.
é
t
l
Soit la fonction ݃ǣ[−1, 1]
u⟶ ℝ
c
‫ ݔ‬฽ ݃(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ܨ‬.
a
F de ݃ en 0.
a. Etudier la dérivabilité
b. Montrer que g ~
admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
)
1െെ ݀Ǥǣ ‫] ∈ ݔ׌‬−1, 1[ Ǣ ݃ (‫ = ) ݔ‬0. )
ሺ‫ܥ‬Ǥ
S
(
D
1
‫ݐ‬฽
.
LM






Exercice 3: 1. Décomposer en éléments simples la fonction rationnelle :

m
e
Pr

e
r


‫ݐ‬ଶ െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ

2. Calculer l’intégrale indéfinie suivante :


Barème:

Exercice 1 : 6 pts

݀‫ݔ‬
.
…‘•‫ ݔ‬െ ͵ •‹‫ ݔ‬൅ ͵
Exercice 2 : 8 pts

c

Exercice 3 : 6 pts

Bon courage

)
n
e