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EF Math1 ST 2015 Corrigé.pdf


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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Janvier 2015

Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30

Corrigé
Exercice 1(6pts) : (‫ݑ‬௡ ) est la suite la suite numérique définie par :
‫ݑ‬଴ ൌ ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ‫ א ݊׊‬Գǣ ‫ݑ‬௡ାଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ .

1. ‫ݑ‬ଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬଴ = √3 , ‫ݑ‬ଶ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬ଵ = ඥ 2 + √3.
‫ א ݊׊‬Գǣ Ͳ ൏ ‫ < ݊ݑ‬2.

2. Montrons que ,

Par récurrence : - On a :
-

Ͳ ൏ ‫ݑ‬଴ ൏ ʹ ܿܽ‫ݑ ݎ‬଴ = 1.

Supposons que pour n fixé : Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ < 2 ,

et montrons que : Ͳ ൏ ‫݊ݑ‬൅ͳ < 2.

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On a: Ͳ ൏ ‫ ݊ݑ‬൏ ʹ ฺ ʹ ൏ ʹ ൅ ‫ < ݊ݑ‬4 ⟹ √2 < ඥ ʹ ൅ ‫ < ݊ݑ‬2

s
e
c

2x0,5 pt

m
e
l
T
.

0,5 pt

(U

c

v
i
n

⟹ ඥ 2 ൏ ‫݊ݑ‬൅ͳ ൏ ʹ Ǥ ૙ǡ૞ ‫ ܜܘ‬

Ce qui implique que, Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ାଵ < 2.

c
S
‫ ݑ‬est croissante, c.à.d:
‫ ݑ‬൏‫ݑ‬
.
s
‫ ݑ‬൏ ‫ ݑ‬. e
0,5 pt
d
- Supposons que pour n fixé : ‫ݑ‬
é൏‫ ݑ‬,
t
l
et montrons que : ‫ݑ‬
൏ ‫ݑ‬u
c
a
On a : ‫ ݑ‬൏ ‫ݑ‬
ฺ ʹ ൅
‫ ݑ‬൏ʹ ൅‫ݑ‬
⟹ ඥʹ ൅ ‫ < ݑ‬ඥʹ ൅ ‫ݑ‬
F
‫ݑ‬
൏‫ ݑ‬.
0,5 pt
~
‫ )ݑ‬൏ ‫ݑ‬
.
La suite (‫ ) ݑ‬est donc croissante.
1
(‫ ݑ‬S
( ) est croissante et majorée par 2, 2x0,5 pt
donc elle
D est convergente.
(‫ ) ݑ‬:
LM

3. Monotonie de (‫ݑ‬௡ ) : On a de la question 1. : ‫ݑ‬଴ ൏ ‫ݑ‬ଵ ൏ ‫ݑ‬ଶ.
Montrons alors que (
Par récurrence :



Ceci donne :

4. La suite

௡ାଵ

m
e
Pr



݊)

- On a déjà,

௡ାଵ

Ainsi , ‫ א ݊׊‬Գǣ ݊

e
r


0,5 pt

n
e
i

Ainsi, ‫ א ݊׊‬Գǣ Ͳ ൏ ‫ < ݊ݑ‬2.

݊൅ͳ



݊൅ʹ







௡ାଶ

݊൅ͳ

௡ାଵ

௡ାଵ

݊൅ͳ

Soit l la limite de la suite

‫ א ݊׊‬Գǣ ݊



௡ାଵ.

0,5





݈ൌ Ž‹ ‫ = ݊ݑ‬lim ‫݊ݑ‬൅ͳ = lim ඥ ʹ ൅ ‫ = ݊ݑ‬ඥ ʹ ൅ ݈ ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬
௡՜ ஶ

௡՜ ஶ

௡՜ ஶ

2
݈ൌ ඥ ʹ ൅ ݈⟺ ቀ݈൒ Ͳ ݁‫ ݈ ݐ‬ൌ ʹ ൅ ݈ቁ

⟺ (݈൒ Ͳ ݁‫݈ ݐ‬ଶ െ ݈െ ʹ ൌ Ͳ)

⟺ (݈൒ Ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ݈ൌ െͳ ‫݈ ݑ݋‬ൌ ʹ )Ǥ ૙ǡ૞ ‫ܜܘ‬

Ainsi, ݈ൌ ʹ c.à.d. : lim௡՜ ஶ ‫ = ݊ݑ‬2. ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬

)
n
e