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EF Math1 ST 2015 Corrigé.pdf


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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Janvier 2015

Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30

Corrigé
Exercice 2(8pts): Soit

݂ǣԹ ื Թ, la fonction définie par :
݂(‫= )ݔ‬

‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
.
•‹‫ݔ‬

1. ݂ ݁‫݀ ݐݏ‬±݂݅݊݅݁ ฻ •‹‫ Ͳ ് ݔ‬฻ ‫ߨ݇ ് ݔ‬ǡሺ݇ ‫ א‬ԺሻǤ
‫ܦ‬௙ = ℝ − {݇ߨǡ݇ ‫ א‬Ժ }Ǥ ૚‫ܜܘ‬
2.
ln 2
− ln 2
− ln 2
ln 2
݂(1) =
ǡ ݂(−1) =
=
=
Ǥ ૛‫ܠ‬૙ǡ૞‫ܜܘ‬
sin 1
sin( −1) − sin 1 sin 1

m
e
l
T
.

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(Car la fonction ‫ ݔ‬฽ •‹‫ݔ‬, est impaire.)

v
i
n

Parité de la fonction f : Soit ‫ܦ א ݔ‬௙ , alors, െ‫ܦ א ݔ‬௙ (0,5pt) et on a :
െ‫(Ž ݔ‬1 + (െ‫)ݔ‬ଶ) െ‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ) ‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
݂(െ‫= )ݔ‬
=
=
ൌ ݂(‫)ݔ‬Ǥ ૙ǡ૞
•‹ሺെ ‫ݔ‬ሻ
െ •‹‫ݔ‬
•‹‫ݔ‬

4.

(U

s
e
c

n
e
- f n’est pas injective (0,5pt), car elle est ipaire, d’ailleurs d’après la
question 2.
݂(1) ൌ ݂(−1)Ǥ ૙ǡ
S૞‫ܜܘ‬c
s ቁ Ž‹ ln(ͳ ൅ ‫ = ) ݔ‬1 × 0 = 0.
lim
݂(‫ = )ݔ‬lim
= lime

d
(car lim
= lim
= 1.) é(1pt sur le calcul de lim
݂(‫) )ݔ‬
t
l
La limite de f en 0 existe et u
est finie donc f est prolongeable par continuité
c
a F de f en 0 est défini par :
en 0. ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ. Le prolongement
F
‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫) ݔ‬
‫~ = )ݔ(ܨ‬
‫Ͳ ് ݔ ݅ݏ‬ǡ
݁‫(ܨ ݐ‬0) ൌ ͲǤ ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ
•‹‫ݔ‬
)
1 (‫ = ܦ‬ℝ − {݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժ })
S
(
݃ǣ [−1, 1] ื Թ ǡ ‫ ݔ‬฽ ݃(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ܨ‬.
D
a. Dérivabilité de g en 0 :
LM
‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫) ݔ‬

Ainsi la fonction f est paire.

3.

௫՜ ଴

௫՜ ଴



௫ ୪୬൫ଵା௫మ൯

ୱ୧୬ ௫

௫՜ ଴ ୱ୧୬ ௫

௫՜ ଴ ௫

ୱ୧୬ ௫





௫՜ ଴ ୱ୧୬ ௫ ௫՜ ଴

௫՜ ଴



5.



ி

e݃(‫ )ݔ‬െ ݃(0) = lim ‫ )ݔ(ܨ‬െ ‫(ܨ‬0) = lim
r
lim
‫ݔ‬െ Ͳ
iè ‫ ݔ‬െ Ͳ
௫՜ ଴

௫՜ ଴

௫՜ ଴

•‹‫ݔ‬
‫ݔ‬



ln(ͳ ൅ ‫ݔ‬ଶ)
= lim
૙ǡ૞‫ܜܘ‬
௫՜ ଴
•‹‫ݔ‬

m On est devant une forme indéterminée (0/0), on peut utiliser la règle de l’Hospital.
e
ʹ‫ݔ‬
Pr
Ainsi,

lim

௫՜ ଴

௚(௫)ି௚(଴)
௫ି଴

lim

௫՜ ଴

c

(ln(ͳ ൅ ‫ݔ‬ଶ))′

= lim ͳ ൅ ‫ = ݔ‬0.
௫՜ ଴ …‘•‫ݔ‬
(•‹‫)ݔ‬′

= 0, et g est dérivable en 0 et ݃ᇱ(0) = 0. ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ

)
n
e