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EF Math1 ST 2015 Corrigé.pdf


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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Janvier 2015

Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30

Corrigé
b. Montrons que g admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
On applique le théorème de Rolle :
- g est définie sur [−1, 1],
(0,25 pt)
- dérivable sur ]−1, 1[, (0,25 pt) et,
ln 2
݃(1) ൌ ݃(−1) =
Ǥ ሺ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬ሻ
sin 1

m
e
l
T
Exercice 3(6pts): 1. On décompose en éléments simples la fonction rationnelle
:
.
‫ݐ‬฽
.
v
ni
‫ ݐ‬െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ ൌ (‫ݐ‬െ ͳ)(‫ݐ‬െ ʹ )ǡሺ૙ǡ૛૞‫ܜܘ‬ሻ , d’où
=
+ (Uሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ
s
e
Calcul de a:
ൌ ܽ ൅ (‫ݐ‬െ ͳ)
, En prenant t=1, on trouve
c ; ܽ ൌ െͳǤ(0,5pt)
n
ietrouve ; ܾ ൌ ͳǤ(0,5pt)
Calcul de b:
= (‫ݐ‬െ ʹ )
൅ ܾ, En prenant t=2,con
S
Ainsi :
=
− . (0,25pt) s
de
2. Calculons l’intégrale :

té .
l
u: ‫ݐ‬ൌ –‰ቀ ቁ, d’où : (4x0,25pt)
c
On utilise le changement de variable
Fa
…‘•‫ ݔ‬ൌ ~ , •‹‫ ݔ‬ൌ
et ݀‫ ݔ‬ൌ
.
)
1
S
( =∫
‫ܦ‬ǯ‫݋‬î ǡ∫
=∫
=∫
(1pt)
D
LM ݁‫ ݐ‬න ݀‫ ݐ‬ൌ න ൬ 1 − 1 ൰݀‫ݐ‬
e
‫ ݐ‬െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ
‫ݐ‬െ ʹ
‫ݐ‬െ ͳ
r
è
i
= ln(‫ݐ‬െ ʹ ) − ln(‫ݐ‬െ ͳ) ൅ ‫ܥ‬ǡ( ‫ܥ‬ǣܿ‫ݎ ݁ݐݏ‬±݈݈݁݁) (૚‫)ܜܘ‬
Ainsi d’après le théorème de Rolle : ‫ݔ׌‬଴ ∈ ]−1, 1[ Ǣ ݃ᇱ(‫ݔ‬଴) = 0. (0,25 pt)


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c

௧మିଷ௧ାଶ







௧ିଵ



௧మିଷ௧ାଶ

(௧ିଵ)(௧ିଶ)



௧ିଶ





ௗ௫

ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ

m
e
Pr Finalement :


௧ିଶ

ௗ௫

ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ

ଵା௧మ

௧ିଵ





௧ିଵ

ଵି௧మ



௧ିଶ

௧ିଵ

௧ିଶ



ଶ௧





ଶௗ௧

ଵା௧మ

మ೏೟
భశ೟మ
భష೟మ
మ೟
ିଷ మାଷ
భశ೟మ
భశ೟

ଵା௧మ

ଶௗ௧

ଵି௧మି଺௧ାଷାଷ௧మ

ௗ௧

,

௧మିଷ௧ାଶ



݀‫ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
ൌ Žቂ–‰ቀ ቁെ ʹ ቃെ Žቂ–‰ቀ ቁെ ͳቃ൅ ‫ܥ‬Ǥ (૚‫)ܜܘ‬
…‘•‫ ݔ‬െ ͵ •‹‫ ݔ‬൅ ͵
2
2

)
n
e