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21
7
26 13
11
=
; P(B) =
=
; P (A ∩ B) =
.
36 12
36 18
36
P( A ∩ B) 11 21 11
=
÷
=
.
P( A )
36 36 21

P( A ) =

b) Le résultat est en accord avec la fréquence conditionnelle
f A ( B) observée lors des simulations :
 11

 ≈ 0, 5238 .
21

Problème ouvert
Ce célèbre problème a conduit au paradoxe suivant avec les
deux types de raisonnement intuitif indiqués ci-après.
• Après l’ouverture de la porte, il reste deux portes. Chacune
ayant autant de chance de cacher la voiture, le joueur a donc
autant de chance de gagner qu’il change son choix ou pas.
• S’il ne change pas son choix, le joueur gagne s’il fait le
bon choix dès le départ (1 chance sur 3).
Il a donc 1 chance sur 3 de gagner sans changer, et 2 chances
sur 3 de gagner en changeant.
C’est la notion de probabilité conditionnelle qui va
permettre de résoudre correctement ce problème.
L’utilisation d’un arbre pondéré facilite la compréhension.
L’expérience complète est la succession de l’ouverture des
trois portes sous les conditions indiquées.
On considère les événements suivants :
A : « la porte cache la chèvre A »,
B : « la porte cache la chèvre B »,
V : « la porte cache la voiture ».
• Protocole 1 : le candidat conserve son choix initial.
Ouverture
Ouverture
Ouverture
de la 1re porte de la 2e porte de la 3e porte
(candidat) (présentateur)
(candidat)

1

3

A

1

B

1

3
1

3

B

1

A

1

A

1

B

1

2

A

1

V

1

2

B

1

V

Le candidat
conserve
son choix
initial.

D’après la formule des probabilités totales :
1 1
1 1
1
× ×1+ × ×1 = .
3 2
3 2
3

P( V ) =

• Protocole 2 : le candidat change son choix initial.
Ouverture
Ouverture
Ouverture
de la 1re porte de la 2e porte de la 3e porte
(candidat) (présentateur)
(candidat)

1

3

A

1

B

1

V

B

1

A

1

V

1

2

A

1

B

1

2

B

1

A

1

3
1

3

Le candidat
change
son choix
initial.

V

110476_c12_prof_fig02

D’après la formule des probabilités totales :
P( V ) =

1
1
2
×1×1+ ×1×1 = .
3
3
3

Conclusion : la stratégie à conseiller au candidat est de
changer son choix initial.

V

110476_c12_prof_fig01

Application (page 355)

EXERCICES
© Nathan 2012 – Transmath Term. S

1  1. Arbre pondéré :
0,4
0,6

2  1. Arbre pondéré :
0,6

B

0,4


B

0,7

B

0,3


B

A


A

2. D’après la loi des
chemins :
110476_c12_prof_fig03

( )
P (A ∩ B) = 0, 42 ; P (A ∩ B) = 0, 18 .

P( A ∩ B) = 0, 24 ; P A ∩ B = 0, 16  ;

2

2

5

3

5

B

N

1

4

B

3

4
1

2

N

1

2

N

B

110476_c12_prof_fig04
2. a) On note A l’événement
« deux boules blanches » :
2 1
1
P( A ) = × =
.
5 4 10

Enseignement spécifique ● Chapitre 12 ● Probabilités conditionnelles