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b) On note M l’événement « deux boules noires » :
3 1
3
P( M) = × =
.
5 2 10
c) On note D l’événement « une boule blanche et une boule
noire » :
2 3 3 1 3
P( D) = × + × = .
5 4 5 2 5

3  P (A ∩ B) = P( A ) + P( B) − P (A ∪ B) = 0, 3 .

P( A ∩ B)
= 0, 6 .
P( A )
P( A ∩ B)
PB ( A ) =
= 0, 5 .
P( B)
PA ( B) =

4  PA ( B) = P( A ∩ B) = 0, 5 .
P( A )

P (A ∩ B) = P( B) × PB ( A ) donc :

réponses.

2

3


A


B

)

6  PA ( B ) =

)

) = 2 ÷ 1 = 4.

) (

(

)

( )
(

(

)

Note. P ( A ) =

( )

)

H

3 2
7
P A∩B = P B −P A∩B = − =
.
4 5
20
P A∩B
7
1
7
P B =
=
÷ =
.
A
20 2 10
P A

( )

( )

)


A

0,65
0,35

0,2

S

0,8


S

0,3

S

0,7


S

A

B

110476_c12_prof_fig06

5

12
7

12
3

4
1

4

5

11

11

20

H

9

20


H

H


H
H


H

6

11
7

9
2

9

A


A
A


A

175
7
110476_c12_prof_fig08
= .
175 + 50 9

9  On considère les événements E « la personne est
écologiste » et N « la personne est opposée à la construction
du barrage ».
Arbre illustrant la situation :
0,65

7  1. a) Arbre pondéré :

0,245

A

P( A )
5 2
5
D’après la formule des probabilités totales :
P A∩B +P A∩B = P B
donc :

2

5

P A∩B

(

0,52

Note. P ( H) =

()

(

S

150
3
110476_c12_prof_fig07
= .
150 + 50 4
b) Arbre pondéré commençant par H et H :


B

1

2

(

A

B

1 1
1
P (A ∩ B) = P( A110476_c12_prof_fig05
) × PA ( B) = × =
.
3 4 12
2 1
1
P A ∩ B = P A × P ( B) = × = .
A
3 2
3
D’après la formule des probabilités totales :
1
1
5
P( B) = P( A ∩ B) + P A ∩ B =
+ =
.
12 3 12

(

3

5

B

3

4
1

2

0,105

0,35

0,7

E

0,3


E

0,2

E

0,8


E

N


N

1. P (N ∩ E) = P( N ) × PN ( E ) = 0, 65 × 0, 7 = 0, 455 .
110476_c12_prof_fig09

Enseignement spécifique ● Chapitre 12 ● Probabilités conditionnelles

3

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

A

0,13

On obtient de même les autres probabilités du tableau.
2. D’après la formule des probabilités totales :
P(S) = P( A ∩ S) + P( B ∩ S) = 0,13 + 0,105 = 0, 235.
Ainsi, le taux d’employés stressés ne dépasse pas 25 % ;
donc l’implantation de la salle n’aura pas lieu.
Remarque. Ce résultat était prévisible. En effet, si on
pondère les taux de chaque catégorie par la masse, le taux
moyen d’employés stressés est :
tm = 0, 65 × 20 % + 0, 35 × 30 % = 23, 5 %
donc ce taux est inférieur à 25 %.

5  La réalisation d’un arbre pondéré facilite les

1

3

S

125 + 175 3
125 + 150 11
=  ;
P( H) =
=
 ;
500
5
500
20
125
5
125
5
PA ( H) =
=
 ; PH ( A ) =
=
.
125 + 175 12
125 + 150 11
2. a) Arbre pondéré commençant par A et A :

2 2 1 13
+ − =
.
5 3 5 15

1

4

B

P( A ) =

P (A ∪ B) = P( A ) + P( B) − P (A ∩ B)
=

P(A ∩ S) = P(A) × PA(S)
P(A ∩ S) = 0,65 × 0,2 = 0,13

A

8  1.

P( A ∩ B ) 2
= .
PB ( A )
3

P( B ) =

b) Tableau de probabilités :