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(

)

( )

2. P N ∩ E = P N × P ( E) = 0, 35 × 0, 2 = 0, 07.
N

3. D’après la formule des probabilités totales :
P( E ) = P( N ∩ E) + P N ∩ E = 0, 525 .

)

(

• Lors du tirage successif de deux boules sans remise, pour
1  i  2, on note Ui « n° 1 au tirage de rang i », Di « n° 2
au tirage de rang i » et Ti « n° 3 au tirage de rang i ».
Arbre pondéré associé au numéro :

10 1. Arbre pondéré :
A
S

U1

N

0,16

A

0,44

E

N

0,40

2

5 D
1

A
B

N

2. a) P(S ∩ A ) = P( A ) × PA (S) = 0, 6 × 0,15 = 0, 09.
P( B ∩ A ) = P(110476_c12_prof_fig10
A ) × PA ( B) = 0, 6 × 0, 5 = 0, 30.
b) D’après la formule des probabilités totales :
P(S ∩ A ) + P( E ∩ A ) + P( B ∩ A ) = P( A )
donc :
P( E ∩ A ) = P( A ) − P(S ∩ A ) − P( B ∩ A )
P( E ∩ A ) = 0, 6 − 0, 09 − 0, 30 = 0, 21 .
P(S ∩ A ) 0, 09
9
=
=
.
c) PS ( A ) =
P(S)
0,16 16
P( E ∩ A ) 0, 21 21
PE ( A ) =
=
=
.
P( E)
0, 44 44
P( B ∩ A ) 0, 3 3
PB ( A ) =
=
= .
P( B)
0, 4 4
3. Arbre complet :
9

16
S
0,16
0,44

A

7

16 21

44

N

23

44
3

4

N

1

4

N

E

0,40
B

A

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

2

5

3

5

3

4

N2

1

2

B2

1

2

N2

1

2

D2
T2
U2
D2

P( B) = P( U1 ) × PU ( D 2 ) + P( D1 ) × PD ( U 2 )
1

1

2 1 2 1 2
× + × = .
5 2 5 2 5
P( A ∩ B)
.
2. • PB ( A ) =
P( B)
L’événement A ∩ B signifie « deux boules de même
couleur dont la somme des numéros est 3 ».
Les chemins qui conduisent à la réalisation de A ∩ B
sont :
P( B) =

/5
/4
1
→ B1 ∩ D1 1
→ B2 ∩ U 2

/5
/4
1
→ N1 ∩ D1 1
→ N2 ∩ U2
1 1 1
D’où P( A ∩ B) = 4 × × = .
5 4 5
1 2 1
Ainsi PB ( A ) = ÷ = .
5 5 2
• De même :
P( A ∩ B) 1 2 1
PA ( B) =
= ÷ = .
P( A )
5 5 2

12 1. Tableau des effectifs :
A
A

B
4
28
32

B
8
56
64

12
84
96

4
1
12 32
1
=
et P(A) × P( B) =
×
=
96 24
96 96 24
donc P( A ∩ B) = P( A ) × P( B) .
Ainsi A et B sont indépendants.
2. A et B sont indépendants, donc A et B sont
indépendants.
P( A ∩ B) =

N1

P( A ) = P (B1 ∩ B2 ) + P (N1 ∩ N 2 )

110476_c12_prof_fig12

P( A ) = P( B1 ) × PB ( B2 ) + P( N1 ) × PN ( N 2 )
1

U2

P( B) = P (U1 ∩ D110476_c12_prof_fig13
) + P (D1 ∩ U 2 )
2

B1

2 1 3 1 2
P( A ) = × + × = .
5 4 5 2 5

T2

/5
/4
1
→ N1 ∩ U1 1
→ N 2 ∩ D2

remise, pour 1  i  2 , on note : Bi « boule blanche au
tirage de rang i » et Ni « boule noire au tirage de rang i ».
Arbre pondéré associé à la couleur :
B2

D2

T1

0,6

A

1

4

1

5

U2

/5
/4
1
→ B1 ∩ U1 1
→ B2 ∩ D2

110476_c12_prof_fig11
11 1. • Lors
du tirage successif de deux boules sans

4

2

5

0,6

1

4
1

2
1

4
1

2
1

4
1

4
1

2

1

13 A et B sont indépendants si, et seulement si :

Enseignement spécifique ● Chapitre 12 ● Probabilités conditionnelles

P( A ∩ B) = P( A ) × P( B) .