chap12.pdf


Aperçu du fichier PDF chap12.pdf

Page 1...3 4 56720




Aperçu texte


D’où l’équation :

1 1
1
1
× =
, P( A ) =
4 3 12
4
et d’après la formule des probabilités totales :
1
3
P( B) = P( A ∩ B) + P A ∩ B =
+ p.
12 4
P( A ∩ B) =

1
1 1
3
=  +
12 4 12 4
1
1
3
1
+ p = donc p = .
3
12 4
3

)

(

Activités de recherche (page 360)

EXERCICES
18 Choisir son arbre

• Les outils
– Arbre pondéré (ou tableau à double entrée).
– Loi des nœuds et loi des chemins.
– Formule des probabilités totales.
• Les objectifs
– Traduire des données statistiques en termes de probabilité.
– Calculer la probabilité conditionnelle d’un événement.
1. Arbre pondéré :

• Les objectifs
– Définir une suite récurrente de probabilités.
– Étudier puis interpréter le signe d’une suite auxiliaire.
1. a) Arbre associé au deux premières parties :
0,1

0,9


0,95 D 0,02


G


G

0,6

G2

0,4


G

2

2

(

P( G 2 ) = P( G1 ∩ G 2 ) + P G1 ∩ G 2

)

d’où p2 = 0,1 × 0, 8 + 0, 9 × 0, 6 = 0, 62 .
2. a) Arbre associé aux parties de rang n et n + 1 :


D

2. a) Les chemins qui mènent à D sont :
110476_c12_prof_fig14


→ M 
→ D (événement: M ∩ D )

pn


→ M 
→ D (événement: M ∩ D ).
b) D’après la formule des probabilités totales :

1–pn

)

(

P( D) = P( M ∩ D) + P M ∩ D

( )

soit : P( D) = P( M) × PM ( D) + P M × P ( D)
M

P( D) = 0, 0125 + 0, 75P ( D) .

0,8

Gn+1

0,2


G

0,6

Gn+1

0,4


G

Gn


G

n

n+1

n+1

b) Pour tout entier
n  1, d’après la formule des
110476_c12_prof_fig16
probabilités totales :

P( D) = 0, 25 × 0, 05 + 0, 75 × P ( D)
M

M

c) D’où l’équation : 0, 0125 + 0, 75P ( D) = 0, 02 .
M
0, 02 − 0, 0125
= 0, 01 .
Donc P ( D) =
M
0, 75
Remarque. L’utilisation d’un tableau à double entrée
facilite également le calcul de P ( D).
M

P( M ∩ D) = P( M) × PM ( D) = 0, 25 × 0, 05 = 0, 0125.
D’où le tableau complet :

(

P( G n +1 ) = P(G n ∩ G n +1 ) + P G n ∩ G n +1
pn +1 = 0, 8 pn + 0, 6(1 − pn )

)

pn +1 = 0, 2 pn + 0, 6 .
3. a) Pour tout entier n  1 :
un +1 = pn +1 − 0, 75 = 0, 2 pn + 0, 6 − 0, 75
un +1 = 0, 2 pn − 0,15.
Or pn = un + 0, 75, donc :
un +1 = 0, 2( un + 0, 75) − 0,15

D

D

M

0,0125

0,2375

0,25

soit un +1 = 0, 2 un.

M

0,0075

0,7425

0,75

0,02

0,98

1

La suite ( un ) est géométrique de raison q = 0, 2 et de
premier terme u1 = p1 − 0, 75 = − 0, 65.
b) Pour tout entier n  1, un = u1qn −1 , soit :
un = − 0, 65 × 0, 2 n donc un  0 .
c) Ainsi, pour tout entier n  1, pn  0, 75 .
Max ne peut pas espérer avoir 3 chances sur 4 de gagner
une partie.

P ( D) =
M

0,2

b) D’après la formule
des probabilités totales :
110476_c12_prof_fig15

D
M

G2

(

) = 0, 0075 = 0, 01.

P M∩D

( )

P M

0, 75

19 Une suite de parties
• Les outils
– Arbre pondéré.
– Formule des probabilités totales.
– Suite géométrique.

20 Narration de recherche
Cet exercice nécessite la mise en évidence de deux lois
binomiales lors de 10 lancers successifs de la pièce choisie.
Enseignement spécifique ● Chapitre 12 ● Probabilités conditionnelles

5

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

0,75

M

0,8
G1

1

0,05 D
0,25


p .