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135

CHAPITRE

Lois
Suites
de
probabilité
à densité

ACTIVITÉS

(page 436)
• si 0  d  1, il suffit de prendre x = d et y = 0 ;

Activité 1
12
alors np  1.
p
b) Comme l’hypothèse p  0 est absurde, nécessairement,
p = 0.

1 a) P(X  An) = np. Si n >

• si –1  d < 0, il suffit de prendre x = 0 et y = –d.
Finalement, l’ensemble des valeurs prises par D est l’intervalle [–1 ; 1].

2 a) Simulation.

2 a) Simulation.

b) L’histogramme indique que toutes les fréquences des
événements « X  Ik » sont voisines de 0,1.

b) Affichage de l’histogramme :

c) D’après la loi des grands nombres, il est naturel de poser,
pour tout entier k tel que 1  k  10 : P(X  Ik) = 0,1.
5

d) P(X  0,5) = ∑ P(X  I k ) = 0,5 .
k =1

P(X  0,2) = P(X  I1) + P(X  I2) = 0,2.
8

P(X  0,8) = 1 ­­– P(X  0,8) = 1 –

∑ P(X  I

k

) = 0,2 .

k =1

8

P(0,3  X  0,8) =

∑ P(X  I

k

) = 0,5.

k =4

e) Conjecture : si I = [α ; β], P(X  I) = b – a.

b) Ainsi, la valeur de l’aire correspond à la valeur de
P(X  I) conjecturée en 2. c).

Activité 2
1 a) L’univers U associé à cette expérience aléatoire est
l’ensemble des couples (x ; y) tels que : x  [0 ; 1] et y  [0 ; 1].
0x1
0x1
b)

⇒ –1  x – y  1.
0y1
–1  –y  0
Donc, l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire
D appartient à [–1 ; 1].
Réciproquement, pour tout nombre d de [–1 ; 1], il existe
(x ; y) dans U tel que x – y = d :

{

{

c) Comme la somme des fréquences est 1, la somme des
aires des rectangles est 1 u.a.
d) Tableau des fréquences :
Evénement

D0

D  0,5

– 0,2  D  0,2

Fréquence

0,494

0,128

0,362

Evénement 0,3  D  0,8 – 0,75  D  0,25
Fréquence

0,225

0,681

3 a) f est définie sur [–1 ; 1] par :
 x + 1 si x  [−1 ; 0[
.
f (x) = 
− x + 1 si x  [ 0 ; 1]

Enseignement spécifique ● Chapitre 13 ● Lois de probabilité à densité

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© Nathan 2012 – Transmath Term. S

3 a) aire(Sf) = (b – a) × 1 = b – a.