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b) P ( D  [− 1 ; 0[ ) =

1

P ( D  [ 0,5 ; 1]) =

1

0,5

0

0,4

0,8

f

0,3

0,2
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2

( x + 1) d x = 0,5.

0,2

y = –x + 1

0,6

0

−1

∫ (− x + 1) d x = 0,125.
P ( D  [ −0,2 ; 0,2 ]) = 2 ∫ (− x + 1) d x = 0,36.
P ( D  ]0,3 ; 0,8[ ) = ∫ (− x + 1) d x = 0,225 .
P ( D  [ − 0,75 ; 0,25]) = ∫ ( x + 1) d x + ∫ (− x + 1) d x

0,8
y=x+1



0,2

0

0,4

0,6

0,8

1

f est110476_C13_prof_fig01
un triangle de base 2 et de hauteur 1 ; donc :
aire(f) = 1 u.a.

0

0,25

−0,75

0


= 0,6875.
Ces résultats sont en accord avec les fréquences observées
lors de la simulation : la différence en valeur absolue ne
dépasse jamais 1 centième.

Problème ouvert
Une première approche consiste à déterminer une valeur
approchée de P(M  0,4) et de P(I)  0,4 à partir des
fréquences observées lors de10 000 simulations.
Il suffit de reprendre dans chacun des cas, la méthodologie
de l’activité 1 en utilisant l’instruction :


en colonne A pour simuler les

MAX(ALEA();ALEA())

valeurs prises par M (feuille1) ;


en colonne A pour simuler les

MIN(ALEA();ALEA())

valeurs prises par M (feuille 2).

Méthode géométrique
Le choix de deux nombres au hasard dans [0 ; 1] revient
à placer un point A(X;Y) au hasard dans le carré unité
. L’événement « M  0,4 » est représenté par l’aire du
domaine  colorié.
Note.
Dans le demi-carré inférieur de , Y  X ; donc « M  0,4 »
signifie « X  0,4 ».
Dans le demi-carré supérieur de , Y  X ; donc « M  0,4 »
signifie « Y  0,4 ».
y
1

On obtient la répartition des fréquences des événements :
• « M  [0,1(k – 1) ; 0,1k[ » (k entier, 1  k  10) ;
0,20

0,1879
0,1725

0,1479
0,1275
0,1116
0,10
0,0898
0,0702
0,0491
0,05
0,0325
0,0110

0,15

0,4



D’où :

;0
,8
[0 [
,9
;1
[

,8
[

,7
[

,8
[0

[0

,7

;0

,6
[

;0

,6
[0

,5
[0

,4
[0

;0

,5
[

,4
[

;0

,3
[
[0

,3

;0

,2
[

;0

;0

,2
[0

,1
[0

[0

;0

,1
[

0

• « I  [0,1(k – 1) ; 0,1k[ » (k entier, 1  k  10).
110476_C13_prof_fig02
0,20 0,1979
0,1718

aire( )
110476_C13_prof_fig04
P(M
 0,4) =
= 0,16 .
aire( )

De même, l’événement « I  0,4 » est représenté par l’aire
du domaine  colorié.
Note.
Dans le demi-carré inférieur de , Y  X ; donc « I  0,4 »
signifie « Y  0,4 ».
Dans le demi-carré supérieur de , Y  X ; donc « I  0,4 »
signifie « X  0,4 ».
y
1

[

D’où les estimations des probabilités cherchées :
110476_C13_prof_fig03
P(M  0,4)  0,16 et P(I  0,4)  0,64.
L’utilisation de la loi uniforme permet de résoudre le problème.

2

1x

;1

,8
[

,9

[0

[0

,8

;0

,8
[

,7
[
[0

,7

;0

,6
[

;0

,6
[0

[0

,5

;0

,5
[

,4

;0

,3
[
[0

,3

;0

,2
[

;0

[0

,2

;0

[0

,1

;0

,1
[

0

[0

0,05

[0

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

0,10

,4
[

0,1443
0,1244
0,1086
0,0912
0,0709
0,0507
0,0315
0,0087

0,15

0,4

O

Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

0,4


O

0,4

110476_C13_prof_fig05

1x