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aire( )
= 1 − 0,62 = 0,64.
aire( )

Méthode probabiliste
« M  0,4 » signifie « X  0,4 » et « Y  0,4 » ; donc :
P(M  0,4) = P((X  0,4)  (Y  0,4))

= P(X  0,4)  P(Y  0,4)
(indépendance du choix des coordonnées).

Or, X et Y suivent la loi uniforme sur [0 ; 1] ; donc :
P(M  0,4) = 0,42 = 0,16.

Pour la variable aléatoire I, il vaut mieux raisonner en utilisant l’événement contraire.
« I  0,4 » signifie « X  0,4 » et « Y  0,4 » ; donc :
P(I  0,4) = P((X  0,4)  (Y  0,4))

= P(X  0,4)  P(Y  0,4)
(indépendance du choix des coordonnées).

P(I  0,4) = 0,62.
D’où :
P(I  0,4) = 1 – 0,36 = 0,64.

Application (page 384)

EXERCICES
1 a) P(X  3) = 0,3.
b) P(X  6) = 0,4.
c) P(3  X  8) = 0,5.

t

t →+∞

6 1. a) P(T  300) = 1 − ∫0 0,005e − 0,005 x dx ≈ 0,223 .

R = « D  198,1 »  « D  201,9 » est la réunion de deux
événements incompatibles ; donc :
0, 1 0, 1
P(R ) =
+
= 0, 05 .
4
4

3 X est la variable aléatoire qui indique la durée (en
min) entre midi et l’heure d’arrivée de Boris.
a) « Boris arrive avant Anne » (événement B) signifie
« X  20 ».

20 1
= .
60 3
b) « Anne attend Boris plus de 20 minutes » (événement C)
signifie « X  40 ».
60 − 40 1
P(C) =
= .
Donc :
60
3
Donc : P( B) =

c) « Anne attend Boris moins de 5 minutes » (événement D)
signifie « 20  X  25 ».
25 − 20 1
Donc :
.
P ( D) =
=
60
12
4 1. Vrai. P(X  10) = e­–0,0710  0,50.
2. Faux. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ;
donc PX10 (X  15) = P(X  5) = e–0,075  0,70.
5
.
4

c) P(1  X  2) = 1 – (P(X  1) + P(X  2))
P(1  X  2) = e
3. a) E( X) =

1 4
= .
λ 5



5
4

−e



5
2

≈ 0,204 .

0,005 e − 0,005 x d x ≈ 0,839.

c) P(365  T  730) =

730



365

0,005e − 0,005 x d x ≈ 0,135 .

2. a) La demi-vie t1/2 est définie par : P(T  t1/2) = P(T > t1/2),
c’est-à-dire :
P(T  t1/2) = 1 – P(T  t1/2)  soit  P(T  t1/2) = 0,5.
tt
11
11
− λt 111
dx == ⇔111−
−−ee−e−λλt t ===
b) P(T  t) = ⇔ ∫∫ λλee−−λλxxdx
00
222
22
22
1
ln(2)
− λt

⇔e = ⇔ λt = ln(2) ⇔ t =
.
2
λ
ln(2)
Or l = 0,005, donc t1/ 2 =
≈ 139 (jours).
0, 005
1
1
= 5 donc λ = .
λ
5
1
10 1 − x
5
P(X  10) = 1 − ∫
e d x = e −2 .
0 5

1
51 − x
P(X  5) = 1 − ∫ e 5 d x = e −1 .
0 5

2. X suit une loi exponentielle, c’est-à-dire une loi à densité
« sans mémoire ». Pour tous nombres positifs t et h :
PX  t (X  t + h) = P(X  h).
PX  10 (X  15) = P(X  5) = e–1.

7 1. E(X) =

60

Or e – 60 = 0,942 ⇔ – 60l = ln(0,942) ⇔ λ = −
donc l  0,001.
2. P(240  X  300) =

5

5 − 45 x
e dx = e 2 .
0 4
2 désigne le domaine sous f sur ]2 ; +∞[.
2

365

0

0

1

b) P(X  2) = 1 – P(X  2) = 1 − ∫



1 − ∫ λ e − λx d x = 0,942 soit e – 60 = 0,942.

5

 −5x 
5 −5x
aire (1) = ∫ e 4 d x =  − e 4  0 = − e 4 + 1 u.a.
0 4

aire (1) = P(X  1) = P(X  1).

b) P(T  365) =

8 1. la condition P(X  1) = 0,942 s’écrit :

5 − 45 x
.
e
4
2. a) 1 désigne le domaine sous f sur [0 ; 1].
b) ∀ x  [0 ; + ∞[ , f ( x ) =

1

t →+∞

0

t

300

2 On note R l’événement « le tube est rejeté ».

5 1. a) l = f(0) =

5 − 45 x
4
x e dx = .
0 4
5

b) Or E(X) = lim ∫ λ x e − λx d x , donc lim ∫



300

240

ln(0, 942)
60
© Nathan 2012 – Transmath Term. S

D’où P(I  0,4) =

λe − λx d x = e −240 λ − e −300 λ

P(240  X  300)  e–0,24 – e–0,3  0,046.

9 1. T suit une loi « sans mémoire » ; donc :
PT2(T  5) = P(T  3) = 0,452.
2. Le paramètre l est défini par la condition :
P(T  3) = 0,452
ln(0, 452)
.
c’est-à-dire e–3l = 0,452, d’où : λ = −
3

Enseignement spécifique ● Chapitre 13 ● Lois de probabilité à densité

3