chap13.pdf


Aperçu du fichier PDF chap13.pdf - page 4/18

Page 1 2 3 45618



Aperçu texte


Or P(T  5) =



5

0

λe − λx d x = 1 − e −5λ ; donc :

P(T  5) = 1 − e

5 ln(0,452)
3

2. a) Si X1 est la durée de vie de C1, X2 celle de C2 et X3
celle de C3, alors :

≈ 0,734 .

10 1. On note X la variable aléatoire qui indique la durée
de vie (en heure) d’un de ces composants.
p = P(X  1000) = e–1000l avec l = 10–4
donc p = e–0,1.

P(S) = P((X1  1000)  (X2  1000)  (X3  1000)).
Or, les durées de vie sont indépendantes et suivent la même
loi ; donc P(S) = p3.
b) P(S) = e–0,3  0,741.

Activités de recherche (page 388)

EXERCICES
15 Attente à un feu tricolore

Cas : 1  s  2

• Les outils
– Représentation d'un événement sur un axe gradué.
Variable aléatoire.
– Formules de calcul de probabilités.
• Les objectifs
– Traduire des événements.
– Calculer des probabilités suivant une loi uniforme.

S
1

0

O
8 h 05

60

115 120

180

235 240

300

2. a) A, « Attente de moins de 10 s » signifie :
« 110476_C13_prof_figA
T  [0 ; 60] » ou « T  ]110 ; 180] » ou « T  ]230 ; 300] ».
A est la réunion de trois événements deux à deux incompatibles ; donc :
60
70
70 2
P( A) =
+
+
= .
300 300 300 3
b) B, « Attente de plus de 20 s » signifie :
« T  ]60 ; 100[ » ou « T  ]180 ; 220[ ».
B est la réunion de deux événements incompatibles ; donc :
40
40
4
P(B) =
+
= .
300 300 15

16 Distribution uniforme dans un carré unité

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

• Les outils
– Régionnement du plan suivant une droite.
– Somme de deux variables aléatoires.
– Calculs d'aires.
• Les objectifs
– Représenter géométriquement un événement.
– Calculer des probabilités à l'aide d'aires.
1. a) ∀ s  [0 ; 2], S  s ⇔ X + Y  s ⇔ Y  –X + s.
b) Cas : 0  s  1
y
y = –x + s
1

S


O

4

110476_C13_prof_fig06

1 x

y = –x + s



1. Schéma illustrant la succession des feux :
8h

y

1 x

2. Cas : 0  s  1
1 2
110476_C13_prof_fig07
 est un demi-carré
de côté s ; donc aire() = s .
2
Cas : 1  s  2
Le domaine  est le carré unité privé d’un demi-carré de
1
2
côté 2 – s ; donc aire() = 1 − ( 2 − s ) .
2
1 2

si 0  s  1
 s
Ainsi P(S  s) =  2
 − 1 s 2 + 2s − 1
 2

si 1  s  2.

17 Durée de vie d’un système
• Les outils
– Intersection et réunion d'événements.
– Indépendance d'événements.
– Formules de calcul de probabilités.
• Les objectifs
– Traduire des événements.
– Calculer des probabilités suivant une loi exponentielle.
– Comparer des probabilités.
a) L’événement « X  60 » signifie :
« TA  60 », « TB  60 »  et  « TC  60 ».
Or, les durées de vie des composants A, B et C sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle. Donc :
P(X  60) = P((TA  60)  (TB  60)  (TC  60)),
soit P(X  60) = p3 avec p = P(T  60) = e–60l.
Ainsi P(X  60) = e–180l.
b) L'événement E signifie : « TA  60 » ou « TA’  60 ».
P(E) = P((TA  60)  (TA’  60))
= P(TA  60) + P(TA’  60) – P((TA  60)  (TA’  60)).
Or, les durées de vie des composants A et A’ sont indépendantes et de même loi exponentielle ; donc :
P(E) = 2P(T  60) – [P(T  60)]2 = 2p – p2.

Enseignement spécifique ● Chapitre 13 ● Lois de probabilité à densité