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b) Représentation de l’événement R :
1
y=x+—
4

y

1
y=x–—
4

1
1

4
O

2. a) L’événement « Y  t » signifie :
« T1  t » ou « T2  t ».

b) P(Y  t) = 2(1 – e–lt) – (1 – e–lt)2, soit :
P(Y  t) = 1 – e–2lt  [2].
c) La densité g est la dérivée de la fonction :



1

4

x

1

110476_C13_prof_fig09
L’aire du domaine
5 est celle du carré unité privé de la
3
réunion de deux demi-carrés de côté
; donc :
4

P(R) = aire (5) = 1 −

9
7
=
.
16 16

4. a) Comme précédemment, pour tout t de ]0 ; 1[, l’événeD «= X − Y  t », soit : « X – t  Y  X + t ».
ment Rt signifie
y

y=x+t

1

y=x–t

t

t

O

t

x

1

b) L’aire du domaine 5t est celle du carré unité privé de la
réunion de deux110476_C13_prof_fig10
demi-carrés de côté 1 – t ; donc :
P(Rt) = aire (5t) = 1 – (1 – t)2.
c) P(Rt) = 0,8 ⇔ 1 – (1 – t)2 = 0,8 ⇔ (1 – t)2 = 0,2.
Or, pour tout t de ]0 ; 1[, 1 – t  0 ; donc :
1
(en h).
5
Ainsi, la durée d’attente pour que P(Rt) = 0,8 est d’environ
33 minutes.
1 − t = 0, 2 soit t = 1 −

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

21 TD – Montage en série ou en parallèle
A. 1. a) L’événement « X  t » signifie :
« T1  t » et « T2  t ». Or, les durées de vie des composants
C1 et C2 sont indépendantes ; donc :
P(X  t) = P((T1  t)  (T2  t))

= P(T1  t × P(T2  t).
b) Or, T1 et T2 suivent la même loi exponentielle de paramètre l ; donc :
P(T1)  t = P(T2  t) =



t

0

λe − λx d x = 1 − e − λt .

Ainsi P(X  t) = (1 – e–lt)2  [1].
c) La densité f est continue et positive sur [0 ; +∞[.
t

Donc, la fonction t  P(X  t) = ∫ f (u) du est dérivable
0
sur [0 ; + [ et sa dérivée est f.
Or, pour tout nombre t  0, P(X  t) = (1 – e–lt)2 ; donc :
f (t) = 2le–lt (1 – e–lt).

6

P(T  t) = P((T1  t)  (T2  t))

= P(T1  t) + P(T2  t) – P((T1  t)  (T2  t))

= P(T1  t) + P(T2  t) – P(T1  t) × P(T2  t).

t  P(Y  t) =



t

0

g(u) du .

Or, pour tout nombre t  0, P(Y  t) = 1 – e–2lt ; donc :
g(t) = 2e–2lt.
B. 1. a) ∀ t  [0 ; + [ :

d(t) = P(Y  t) – P(X  t)

d(t) = 1 – e–2lt – (1 – e–lt)2 = 2e–lt – 2 e–2lt

d(t) = 2e–lt (1 – e–lt)
Or, – lt  0 ; donc e–lt  1 soit 1 – e–lt  0.
Ainsi, chaque facteur étant positif, on conclut que d(t)  0
sur [0 ; +∞[.
b) On en déduit :
∀ t  [0 ; + [, P(Y  t)  P(X  t).
La probabilité que le système en série s’arrête à l’instant t
est supérieure à la probabilité que le système en parallèle
s’arrête à l’instant t.
Pour assurer la transmission du signal, le montage en parallèle est donc préférable.
2. a) Pour tout a  0, on pose I(a) =
I(a) =



a

0



a

0

tg(t ) dt . D'où :

2λte −2 λt dt .

Une primitive sur [0 ; +∞[ de la fonction h : t  2lte–2lt est
du type H : t  (at + b)e–2lt.
Or, pour tout t  0 :
H’(t) = ae–2lt – 2l(at + b)e–2lt
soit
H’(t) = (– 2alt + a – 2bl)e–2lt.
Ainsi, pour tout t  0, H’(t) = h(t) si, et seulement si :
–2alt + a – 2bl = 2l = 2lt.
D’où, par identification des coefficients :
α = −1
−2αλ = 2λ

donc

1 .

α
2
βλ
0

=
β
=




Une primitive H de h sur [0 ; +∞[ est définie par :
1 

H(t ) =  −t −  e −2 λt .

2λ 
1
1
.
Alors, I(a) = H(a) − H(0) = − a −  e −2 λa +

2λ 

1 −2 λa
Or lim ae −2 λa = 0 et lim
e
= 0  ;
a→+∞
a→+∞ 2λ
1
1
donc lim I(a) =
. Ainsi E (Y) =
.
a→+∞


Remarque. Si on veut éviter le calcul intégral pour calculer
E(Y), il suffit de remarquer que la densité g est celle d’une
loi exponentielle de paramètre 2l.
1
Donc E (Y) =
.


Enseignement spécifique ● Chapitre 13 ● Lois de probabilité à densité