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Series d'exercices Bac Math Similitudes .pdf



Nom original: Series d'exercices Bac Math Similitudes.pdf
Auteur: AmouLa

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Prof : Mr Khammour.K

4èmeMath

Série n°8 : « Similitudes»

Janvier 2015

’’L’amitié est la similitude des âmes ’’Alcuin

Exercice n°1 :
Répondre par vrai ou faux.
1) f est une similitude directe de rapport

3 et d’angle

π
.
2

a) fof est une homothétie de rapport 3.
b) fof est une homothétie de rapport -3.
2) Soit ABCD un carré de centre O. Soit M,N,P et Q les milieux respectifs des cotés [AB] , [BC] , [CD] et
[AD]. Soit E l’ensemble des similitudes directes qui envoie ABCD en MNPQ.
a) Tous les éléments de E fixent le même point.
b) Tous les éléments de E ont le même rapport.
c) E contient exactement quatre éléments.
3) Soit f a l'application du plan dans lui-même qui à tout point M(z) on associe le point M’(z’) tel que :
i
z '  ia   z  ia  a  IR * alors : f 1 f  a est une translation .
a
a
4) ABCD est un carré direct de centre O f la similitude définie par :f = h 1  S AC  alors f est la similitude
 O, 
2


1
, de centre O et d’axe (AC).
2
5) Soit f la transformation qui à M(z) associe M’(z’) telle que : z '  2iz 1  i et I 1  i  , f est une similitude
indirecte de rapport 2 de centre I et d’axe  : x + 2y – 3=0

indirecte de rapport

Exercice n°2 :
Soit ABC un triangle rectangle isocèle direct de sommet principal A. On note D = SC(A) et  la similitude
directe qui transforme D en C et C en B.
1) a) Expliquer pourquoi  admet un centre que l’on nommera  .
b) Déterminer le rapport et l’angle de  .
2) Quel est l’image de la droite (AC) par  .
3) Démontrer que le triangle  BC est rectangle isocèle. En déduire une construction géométrique de  .
Exercice n°3 :





Soit ABC un triangle rectangle et isocèle tel que AB, AC 
Soit f la similitude qui envoie sur B et B sur D.
1) a) Faire une figure.
b) Calculer le rapport et l’angle de f.
c) Montrer que f(D) = C.
2) On désigne par O le centre de f.
a) Déterminer fof.
b) En déduire une construction de O. Justifier.


2

 2  et soit D le symétrique de C par rapport à A.

3) Soit 1 et  2 les cercles de diamètres respectifs [OA] et [OB] et soit K leur second point d’intersection. (AC)
recoupe  1 en I et (BC) recoupe  2 en J.
a) Montrer que K∈ (AB).
b) Montrer que f(I) = J.
c) Prouver alors que I,J et K sont alignés.
Exercice n°4 :







 2  et AB = 2 AD , I = A*B ,
2
O=B*D et  le cercle circonscrit au rectangle ABCD. Soit f la similitude directe qui transforme B en I et I en D.
Dans le plan orienté , on considère un rectangle ABCD tel que AB, AD 

1) Déterminer le rapport de f et un mesure de son angle.
2) Soit S = S
.
 C , 2 , 
4


a) Montrer que S (B) = I.
b) Montrer que foS-1=Idp.
c) En déduire que f = S.
3) Soit A’ = f(A) montrer que D = A’*I construire alors le point A’.
4) La demi droite [CA’) recoupe  en O’.
a) Calculer CO’ et CA’ en fonction de CA.
b) En déduire que O’ est le milieu de [CA’].
c) Prouver que O’ = f(O).
Exercice n°5 :





On donne deux triangles ABC et ACD rectangles et isocèle tels que CA, CB 


2



 2  et  DA, DC    2  . On
2

désigne par I = D*C et J = C*B.
1) Soit f la similitude directe de centre A qui transforme D en C.
a) Déterminer le rapport et l’angle de f.
b) Montrer que f(C)=B et f(I) = J.
2) Soit g la similitude directe tel que g(C) = B et g(B) = A.
a) Déterminer le rapport et l’angle de g.
b) On désigne par  le centre de g. Déterminer gog (C) caractériser gog et en déduire que (  A)  (  C).
c) Montrer que (  J)  (  C).
d) En déduire que  et le projeté orthogonal de C sur (AJ).
3) Caractériser Sog-1.
4) Soit M un point du plan tel que f(M) = M1 et g(M) = M2.
a) Montrer que BM2M1 est un triangle rectangle isocèle en B de sens direct.
b) La perpendiculaire en A à la droite (AI) coupe (  C) en K. Montrer que f(  )=K.
c) En déduire la nature du triangle B  K.
Exercice n°6 :





Soit ABCD un rectangle de centre O tel que AB = 2AD et AB, AD 
h une similitude directe de centre A qui transforme C en O.
1) Montrer que h est une homothétie.


2

 2  , I = A*B , J = C*D et K = D*J. Soit

2) Soit  la similitude indirecte qui transforme D en B et K en C. Préciser le rapport de  .
3) On pose g = h o  ; préciser g(D) et g(K). En déduire que g est une symétrie axiale dont on précisera l’axe .
Caractériser alors 
Exercice n°7 :





ABC est un triangle rectangle et isocèle tel que AB, AC 


2

 2  . On pose D = SA(C). Soit 

la similitude

indirecte qui envoie A en B et B en C.
1) Déterminer le centre  de  et vérifier que  =D.
2) Le plan P muni d’un repère orthonormé A, AB, AC . Soit f : P  P ; M ( z)  M '( z ') tel que z '   1 i  z  1





a) Montrer que f est une similitude indirecte.
b) Montrer que f =  .
Exercice n°8 :
Le plan est orienté dans le sens direct.







 2  . Soit I le milieu de segment [AB]. On
2
désigne par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B. Soit f la similitude directe qui envoie
A sur D et O sur C.
OAB est un triangle rectangle et isocèle en O et tel que OA, OB 


.
2
2) a) Montrer que O est l’orthocentre du triangle ACD.
b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC).
c) Déterminer les images des droites (OJ) et (AJ) par f et en déduire que J est le centre de similitude f.
3) Soit g la similitude indirecte de centre I qui envoie A sur D.
a) Vérifier que g est de rapport 2 et d’axe (IC) , en déduire g(O).
b) Déterminer les images de C et D par gof-1. En déduire la nature de gof-1.
4) Soit I’ = f(I) et J’ = g(J).
a) Déterminer les images des points J et I’ par gof-1 .
b) Montrer que les droites (IJ) , (I’J’) et (CD) sont contractantes.
1) Montrer que f a pour rapport 2 et d’angle

Exercice n°9 :





R O, u , v un repère orthonormé du plan. Soit f : P  P , M ( x, y)

M '( x ', y ') tel que : {

1) Montrer que la forme complexe de f est f : M ( z)  M '( z ') tel que z '  1  i  z  1 .
2) Caractériser f.

x '  x  y 1
y'  x y


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