‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬
‫*‪ -‬ﺗﺮﺟﻤﺔ ﻣﻔﺎهﻴﻢ و ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻔﻴﺔ و اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت‬
‫*‪ -‬اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷداة اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ هﻨﺪﺳﻴﺔ‪.‬‬
‫‪ -I‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺴﺘﻮى – اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ – ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫‪ -1‬ﻣﻌﻠﻢ – إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ و ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و ‪ P‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬
‫) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OJ‬و ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪( OI‬‬
‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
‫‪ -2‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪ P‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; I‬و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; J‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJG JJG‬‬
‫أآﺘﺐ ‪ OM‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ OI‬و ‪OJ‬‬
‫‪-------------------------‬‬‫‪ -1‬اﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪ -2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ P‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OJ‬و ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ‬
‫‪JJJJG JJJG JJJG‬‬
‫وﻣﻨﻪ ) ‪ ( OPMQ‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪OM = OP + OQ‬‬

‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; I‬‬

‫) ‪( O; J‬‬

‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪P‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJJG JJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫ﻓﺎن ‪ OP = xOI‬و ‪OQ = yOJ‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫وﻣﻨﻪ ‪OM = xOI + yOJ‬‬
‫و ﺑﻤﺎ أن ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪M‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; I ; J‬أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y‬‬

‫)‬

‫و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

‫) ‪( OI‬‬

‫(‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪1‬‬
‫* آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺗﺤﺪد ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ ( O; I ; J‬أو‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪O; OI ; OJ‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺗﺮﻣﻴﺰ و ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت‬
‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( OI‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫إذا آﺎن ) ‪ ( OI ) ⊥ ( OJ‬ﻓﺎن ‪ O; OI ; OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫إذا آﺎن ) ‪ ( OI ) ⊥ ( OJ‬و ‪ OI = OJ‬ﻓﺎن ‪ O; OI ; OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻣﻤﻨﻈﻤﺎ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪2‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪OM = xOI + yOJ‬‬
‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y‬‬

‫)‬

‫(‬

‫اﻟﻌﺪد ‪ x‬ﻳﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮل ‪M‬‬
‫اﻟﻌﺪد ‪ y‬ﻳﺴﻤﻰ أرﺗﻮب ‪M‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪1‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪ -2‬إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫أ‪ -‬اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ‪.‬‬
‫‪G JJJJG‬‬
‫أﻧﺸﺊ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪u = OM‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ) ‪ M ( x; y‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬أآﺘﺐ ‪ u‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪-----------------------‬‬

‫‪G‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ OM = xOI + yOJ‬وﻣﻨﻪ ‪u = xOI + yOJ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬هﻮ زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪O; OI ; OJ‬‬
‫‪JJJJG G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪OM = u‬‬
‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫اذا آﺎن ) ‪ M ( x; y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬ﻓﺎن زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬هﻮ ) ‪ ( x; y‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪. O; OI ; OJ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ u ( x; y‬و )' ‪ u ' ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن و ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ α u + β v‬هﻮ )' ‪(α x + β x ';α y + β y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ب‪ -‬ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O; OI ; OJ‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ u ( x; y‬و )' ‪ u ' ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫' ‪ u = u‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪ x = x‬و ' ‪y = y‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫د‪ -‬اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ‪AB‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJG JJJG‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O; OI ; OJ‬إذا آﺎن ) ‪ A ( x; y‬و ) ' ‪ B ( x '; y‬ﻓﺎن ) ‪AB ( x '− x; y '− y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫(‬

‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A (1; 2‬و )‪ B ( −3; −1‬و ) ‪ C ( 3; −2‬وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ )‪ u ( −2;3‬و ) ‪.v ( 2; 4‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬
‫‪G 1 G JJJJG JJJG‬‬
‫‪ -2‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ آﻞ ﻣﻦ ‪ AB‬و ‪ AC‬و ‪2u − v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪JJJG JJJJG‬‬
‫‪ -3‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ D‬ﺣﻴﺚ ‪AB = BD‬‬
‫‪ -4‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪[ AB‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪2‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ و ‪ i‬و ‪ j‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫و ‪v = −4i + 3 j‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ uG‬و ‪ vG‬ﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ‪( i ; j‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ i‬و ‪ j‬ﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ‪( u ; v‬‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪u = 3i − 2 j‬‬

‫‪ -3‬ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫أ‪ -‬ﻣﺤﺪدة ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x ; y‬و ) ' ‪ v ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬

‫'‪x x‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫اﻟﻌﺪد ‪ xy '− x ' y‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﺪدة اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪ u‬و ‪) v‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ( ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ det (u ;v‬أو‬
‫'‪y y‬‬
‫'‪x x‬‬
‫‪G G‬‬
‫= ) ‪det (u ;v‬‬
‫ﻧﻜﺘﺐ ‪= xy '− x ' y‬‬
‫'‪y y‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ u ( −2;3‬و ) ‪ v ( 2; 4‬و ) ‪w ( −5;0‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺣﺪد ) ‪ det (u ;v‬و ) ‪det (u ;w‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x ; y‬و ) ' ‪ v ( x '; y‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫* ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪u = kv‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ' ‪ x = kx‬و ' ‪y = ky‬‬
‫وﻣﻨﻪ ‪xy '− x ' y = kx ' y '− kx ' y ' = 0‬‬
‫ﻧﻔﺘﺮض ‪ xy '− x ' y = 0‬و ‪x ' ≠ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫وﻣﻨﻪ ' ‪x = kx‬‬
‫* ﻧﻀﻊ ‪= k‬‬
‫'‪x‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ xy '− x ' y = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ' ‪y = ky‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫إذن ‪u = kv‬‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎن ‪ u‬أو ‪ v‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻓﺎن ‪xy '− x ' y = 0‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪det (u ;v ) =0‬‬
‫‪GG‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪det (u;v ) ≠ 0‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u 2 + 1;1‬و ‪ v 1; 2 − 1‬و ‪w −1; 2‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫أدرس اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ‪ u‬و ‪ v‬ﺛﻢ ‪ u‬و ‪w‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫( )‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A  ;3 ‬و )‪ B ( −2; −2‬و ) ‪ C (1; 4‬وﻣﺘﺠﻬﺔ )‪u (1;3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -2‬ﺣﺪد ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪ u‬و ) ‪ v ( x − 2;5‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬

‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
‫‪ -4‬ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -‬إذا آﺎن ) ‪ u ( x ; y‬ﻓﺎن ‪u = x 2 + y 2‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪3‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪-‬‬

‫إذا آﺎن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( xB ; yB‬ﻓﺎن‬

‫‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪ -II‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ -1‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫‪JJJJG G‬‬
‫ﻧﺤﺪد ) ‪ ( D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪t ∈ \ ; AM = tu‬‬
‫‪JJJG G‬‬
‫ﻟﻨﻀﻊ ‪AB = u‬‬
‫* ∅ ≠ ) ‪ ( D‬ﻻن ) ‪B ∈ ( D‬‬
‫‪JJJJG JJJG‬‬
‫* ﻧﻌﻠﻢ أن ‪ t ∈ \ ; AM = t AB‬ﺗﻜﺎﻓﺊ‬

‫) ‪M ∈ ( AB‬‬

‫) ‪( D ) = ( AB‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ ( D‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪u‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫‪JJJJG G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪ t ∈ \ ; AM = tu‬هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ u‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ‬
‫‪G‬‬
‫) ‪D ( A ;u‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫* إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪D ( A ;u ) = D ( A ;v‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫* إذا آﺎن ) ‪ B ∈ D ( A ;u‬ﻓﺎن ) ‪D ( A ;u ) = D ( B ;u‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫* ‪ AB‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( AB‬‬
‫‪ -2‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫‪G‬‬
‫ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪JJJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺗﻮﺟﺪ ‪ t‬ﻣﻦ \ ﺣﻴﺚ ‪AM = tu‬‬

‫‪x = x 0 + tα‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ \ ∈ ‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = y 0 + t β‬‬
‫‪x = x 0 + tα‬‬
‫‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ ‪t‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪t‬‬
‫‪β‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪u (α ; β‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ وﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬ﻧﻘﻄﺔ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬
‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬وﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪ u (α ; β‬ﻟﻪ ﻧﻈﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ \ ∈ ‪t‬‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ ‪t‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺑـ ) ‪u (α ; β‬‬

‫‪x = x 0 + t α‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = y 0 + t β‬‬

‫‪x = x 0 + t α‬‬
‫‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬واﻟﻤﻮﺟﻪ‬
‫‪y = y 0 + t β‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪4‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪ B ( 0; −2‬و ) ‪ C (1; 4‬وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ )‪ u ( −2;3‬و )‪.v ( 4; −6‬‬
‫‪x = 2 − t‬‬
‫‪ ‬ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ \ ∈ ‪t‬‬
‫‪ y = 1+t‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ u‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)∆(‬

‫‪-2‬‬

‫)∆(‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬
‫ب‪ -‬أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬
‫‪ C‬ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن اﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬

‫ج‪ -‬هﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ B‬و‬
‫‪G G‬‬
‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫‪G‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ ) ‪ . D (C ;v‬ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ‬
‫‪ -4‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫) ‪( AC‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻼت اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮﻳﺔ‬
‫‪ -3‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫أ‪ -‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O ; i ; j‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‪.‬‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪(P‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x ; y‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬
‫‪G JJJJG‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ AM‬و ‪ u‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫‪x −x0 α‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬
‫‪y − y0 β‬‬

‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪β x − α y + α y 0 − β x 0 = 0‬‬
‫ﻧﻀﻊ ‪c = α y 0 − β x 0 ; β = a ; −α = b‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ ax + by + c = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ax + by + c = 0‬‬
‫* اﻟﻌﻜﺲ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ‬

‫ﺣﻴﺚ ) ‪. ( a; b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻟﻨﺤﺪد ) ‪ ( D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( x ; y‬ﺣﻴﺚ ‪ax + by + c = 0‬‬
‫ﻟﻨﻔﺮض أن ‪a ≠ 0‬‬

‫‪ −c ‬‬
‫) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ ﻷن ) ‪C  ;0  ∈ ( D‬‬
‫‪ a ‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) ‪ ( D‬وﻣﻨﻪ ‪ax 0 + by 0 + c = 0‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪c = −ax 0 − by 0‬‬

‫) ‪ M ( x ; y ) ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ax + by + c = 0‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ax + by − ax 0 − by 0 = 0‬‬

‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0‬‬
‫‪x − x 0 −b‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬
‫‪y − y0 a‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪5‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪JJJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ AM‬و ) ‪ u ( −b ; a‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫‪G‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ) ‪M ∈ D ( A ;u‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ‬

‫) ‪M (x ; y‬‬
‫‪G‬‬
‫و ) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪u ( −b ; a‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪ax + by + c = 0‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ax + by + c = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﻮﺟﻪ‬
‫‪G‬‬
‫ﺑـ ) ‪u ( −b ; a‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪. u (1; 2‬‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ 2x − 3 y + 1 = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫) ‪(D‬‬

‫(‬

‫و\∈ ‪t‬‬

‫‪ x = 1 + 5t‬‬
‫‪ ‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
‫‪ y = 2 − 2t‬‬

‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫)' ‪( D‬‬

‫‪G‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪u‬‬

‫‪ -2‬أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‪.‬‬
‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ' ‪ . ( D‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫* ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪ ، k‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﺎن ‪ ax + by + c = 0‬و ‪ akx + bky + kc = 0‬ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﻴﻦ‪ ،‬ﻓﻬﻤﺎ‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬
‫ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫* ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ‪.‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻤﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ‬
‫ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺤﻮري ﻣﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ) ‪ A ( a;0‬و ) ‪ B ( 0; b‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪x y‬‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪+ = 1‬‬
‫‪a b‬‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪x = c‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ a ≠ 0‬و ‪b ≠ 0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﻴﻜﻦ‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ ax + by + c = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر‬
‫اﻷراﺗﻴﺐ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪b = 0‬‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪. y = c‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪6‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬
‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫‪+ by + c = 0‬‬

‫(‬

‫‪( D ) : ax‬‬

‫) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪b ≠ 0‬‬

‫‪−b‬‬
‫‪c‬‬
‫إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﺗﺼﺒﺢ ‪x −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪−a‬‬
‫= ‪ p‬إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﺗﻜﺘﺐ ‪y = mx + p‬‬
‫=‪; m‬‬
‫ﻧﻀﻊ‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ y = mx + p‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( D‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫وﻣﻨﻪ ) ‪ u (1; m‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪ ( D‬و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪det u ; j ≠ 0‬‬
‫= ‪y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫إذن ) ‪ ( D‬ﻻ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬
‫‪y = mx + p‬‬
‫اﻟﻌﺪد ‪ m‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪ u (1; m‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = mx + p‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪( D‬‬

‫ﻣﻼﺣﻆة‬
‫‪G‬‬
‫‪β‬‬
‫اذا آﺎن ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻪ هﻮ اﻟﻌﺪد‬

‫‪α‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A ( −2;1‬و \ ∈ ‪t‬‬

‫(‬

‫‪ x = 1 + 3t‬‬
‫‪. (∆) : ‬‬
‫‪ y = −2 + t‬‬

‫‪−1‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ‬
‫‪2‬‬
‫‪ -2‬ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﺛﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ - III‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫‪ -1‬اﻟﺘﻮازي‬
‫‪D‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪+‬‬
‫‪by‬‬
‫‪+‬‬
‫‪c‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫;‬
‫‪D‬‬
‫‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫'‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫'‬
‫‪y +c ' = 0‬‬
‫)‪( 1‬‬
‫)‪( 2‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ u ( −b ; a‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪ ( D1‬و )' ‪ u ' ( −b '; a‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪( D 2‬‬
‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪det (u ;u ') = 0‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ab '− a 'b = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪1‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬
‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪ab '− a 'b = 0‬‬
‫;‬

‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪2‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫)‬

‫(‬

‫' ‪( D2 ) : y = m ' x + p‬‬

‫; ‪= mx + p‬‬

‫‪( D1 ) : y‬‬

‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪m = m‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪7‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬
‫‪( D1 ) : 2x − 3y + 4 = 0 ; ( D2 ) : −4x + 6y + 1 = 0‬‬
‫هﻞ ) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﻨﻔﺼﻼ أم ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬
‫‪ -2‬اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪1‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫)‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫‪( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬
‫) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن‬
‫;‬

‫) ‪ ( D1‬و‬

‫(‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ' ) ≠ ( 0;0‬‬

‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0‬‬
‫‪ab '− a 'b ≠ 0‬‬

‫و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬

‫‪ ax + by + c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪2‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و ' ‪( D1 ) : y = mx + p ; ( D2 ) : y = m ' x + p‬‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪m ≠ m‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪ y = mx + p‬‬
‫و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬
‫‪‬‬
‫' ‪y = m 'x + p‬‬
‫‪( D1 ) : x + 3y − 5 = 0 ; ( D2 ) : 2x + y −1 = 0‬‬

‫ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬
‫‪ -3‬اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0 ; ( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( ∆1‬اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ‪ ( D1‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ O‬و ) ‪ ( ∆ 2‬اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ‪ ( D2‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪O‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ) ‪ ( ∆1‬و ) ‪ ( ∆ 2‬ﺛﻢ ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ A ( −b; a ) ∈ ( ∆1‬و ) ‪A ' ( −b '; a ' ) ∈ ( ∆ 2‬‬
‫‪ -2‬اذا آﺎن ) ‪ ، ( D1 ) ⊥ ( D2‬ﻣﺎ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ' ‪OAA‬‬
‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( D1 ) ⊥ ( D2‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪aa '+ bb ' = 0‬‬
‫ﺗﺬآﻴﺮ *‬

‫‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫* ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪BC = AB + AC‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ م‪.‬م ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪( D ) : ax + by + c = 0‬‬
‫‪( D ') : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫) ‪(a ';b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫;‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫)' ‪ ( D ) ⊥ ( D‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪aa '+ bb ' = 0‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
‫‪( D ') : y = m ' x + p ' mm ' = −1‬‬

‫‪= mx + p‬‬

‫‪(D ) : y‬‬

‫) ' ‪ ( D ) ⊥ ( D‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪( D ') : 3x + 2 y + 5 = 0‬‬
‫ﺑﻴﻦ أن )' ‪( D ) ⊥ ( D‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪( D ) : −2 x + 3 y − 1 = 0‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪A ( 2;1‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪8‬‬

‫و )‪B ( −1;3‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪G‬‬
‫و ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ )‪u ( 2;3‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن‬

‫) ‪( D ) ⊥ ( AB‬‬
‫‪------------------------------------------------------------------------‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJJG 3 JJJG‬‬
‫‪1 JJJJG‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪ [ BC‬و ‪. CK = − AC ; AJ = AB‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪JJJG JJJJG‬‬
‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪A ; AB ; AC‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪K‬‬
‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
‫‪ -3‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( IJ‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻪ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪ B ( 2; 4‬و‬
‫‪G‬‬
‫) ‪u ( 5; 2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫و ‪ ( D ) : 2x − 3 y + 1 = 0‬و ‪( Dm ) : ( m −1) x − 2my + 3 = 0‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u‬‬
‫‪ -2‬ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‪.‬‬
‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺣﺪد ‪ m‬ﺣﻴﺚ ) ‪( D ) // ( D m‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪ m‬ﺣﻴﺚ ) ‪( D ) ⊥ ( Dm‬‬
‫‪ -4‬أ‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ‪( D 2 ) ; ( D1 ) ; ( D 0‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ب – ﺑﻴﻦ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﺗﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪C  3; ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪C ( 0; 2 ) ; B ( 6.7 ) ; A (10;3‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ‪. ABC‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCD‬و ‪ EFGH‬ﻣﺘﻮازﻳﻲ اﻷﺿﻼع ﺣﻴﺚ‬

‫)‬

‫) ‪ E ∈ [ AB‬و ) ‪G ∈ [ AD‬‬

‫أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ‪ ( BG‬و ) ‪ ( ED‬و ) ‪ (CF‬اﻣﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺔ إﻣﺎ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ ) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﻤﻌﻠﻢ‬
‫‪JJJG JJJJG‬‬
‫‪( A ; AB ; AD‬‬

‫(‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪9‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬