f6 .pdf
À propos / Télécharger Aperçu
Nom original: f6.pdf
Titre: Microsoft Word - droite.doc
Auteur: Moustaouli
Ce document au format PDF 1.3 a été généré par PScript5.dll Version 5.2 / Acrobat Distiller 5.0 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 24/01/2015 à 23:22, depuis l'adresse IP 196.206.x.x.
La présente page de téléchargement du fichier a été vue 667 fois.
Taille du document: 233 Ko (9 pages).
Confidentialité: fichier public
Aperçu du document
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى
اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة
* -ﺗﺮﺟﻤﺔ ﻣﻔﺎهﻴﻢ و ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻔﻴﺔ و اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت
* -اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷداة اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ هﻨﺪﺳﻴﺔ.
-Iﻣﻌﻠﻢ ﻣﺴﺘﻮى – اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ – ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
-1ﻣﻌﻠﻢ – إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ
ﻧﺸﺎط ﻟﺘﻜﻦ Iو Jو Oﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ و Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و Pﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ
) ( OIﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ( OJو Qﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ ) ( OJﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ( OI
-1أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ
-2ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر xأﻓﺼﻮل Pﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ( O; Iو yأﻓﺼﻮل Qﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ( O; J
JJJJG
JJJG JJG
أآﺘﺐ OMﺑﺪﻻﻟﺔ xو yو OIو OJ
------------------------- -1اﻟﺸﻜﻞ
-2ﻟﺪﻳﻨﺎ Pﻣﺴﻘﻂ Mﻋﻠﻰ ) ( OIﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ( OJو Qﻣﺴﻘﻂ Mﻋﻠﻰ ) ( OJﺑﺘﻮاز ﻣﻊ
JJJJG JJJG JJJG
وﻣﻨﻪ ) ( OPMQﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ OM = OP + OQ
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ( O; I
) ( O; J
و ﺣﻴﺚ أن xأﻓﺼﻮل P
JJJG
JJJG JJJG
JJG
ﻓﺎن OP = xOIو OQ = yOJ
JJJJG
JJG
JJJG
وﻣﻨﻪ OM = xOI + yOJ
و ﺑﻤﺎ أن Iو Jو Oﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ( x; yزوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ M
JJG JJJG
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ( O; I ; Jأو اﻟﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJﻧﻜﺘﺐ ) M ( x; y
)
و yأﻓﺼﻮل Qﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
) ( OI
(
ﺗﻌﺮﻳﻒ1
* آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ Iو Jو Oﺗﺤﺪد ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ( O; I ; Jأو
JJG JJJG
O; OI ; OJ
(
)
ﺗﺮﻣﻴﺰ و ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( OIﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ-
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( OJﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
JJG JJJG
إذا آﺎن ) ( OI ) ⊥ ( OJﻓﺎن O; OI ; OJﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا
JJG JJJG
إذا آﺎن ) ( OI ) ⊥ ( OJو OI = OJﻓﺎن O; OI ; OJﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻣﻤﻨﻈﻤﺎ.
)
(
(
)
ﺗﻌﺮﻳﻒ2
JJG JJJG
ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ( x; yزوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ Mﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
JJJJG
JJG
JJJG
OM = xOI + yOJ
ﻧﻜﺘﺐ ) M ( x; y
)
(
اﻟﻌﺪد xﻳﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮل M
اﻟﻌﺪد yﻳﺴﻤﻰ أرﺗﻮب M
Moustaouli Mohamed
1
http://arabmaths.ift.fr
-2إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
أ -اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﻧﺸﺎط
JJG JJJG
G
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O; OI ; OJو uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ .
G JJJJG
أﻧﺸﺊ Mﺣﻴﺚ u = OM
JJG JJJG
G
ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ) M ( x; yﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJأآﺘﺐ uﺑﺪﻻﻟﺔ xو y
(
)
(
)
-----------------------
G
JJG
JJJG
JJJJG
JJG
JJJG
ﻟﺪﻳﻨﺎ OM = xOI + yOJوﻣﻨﻪ u = xOI + yOJ
G
G
اﻟﺰوج ) ( x; yزوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ uﻧﻜﺘﺐ ) u ( x; y
ﺗﻌﺮﻳﻒ
JJG JJJG
JJG JJJG
G
زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ uﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJهﻮ زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ Mﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJ
JJJJG G
G
ﺣﻴﺚ OM = u
ﻧﻜﺘﺐ ) u ( x; y
JJG JJJG
G
G
اذا آﺎن ) M ( x; yﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ O; OI ; OJﻓﺎن زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ uهﻮ ) ( x; yﻧﻜﺘﺐ ) u ( x; y
)
)
)
(
(
(
ﺧﺎﺻﻴﺔ
JJG JJJG
اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ . O; OI ; OJ
G
G
) u ( x; yو )' u ' ( x '; yﻣﺘﺠﻬﺘﺎن و αو βﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن
G
G
زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ α u + β vهﻮ )' (α x + β x ';α y + β y
(
)
ب -ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
JJG JJJG
G
G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ، O; OI ; OJﻧﻌﺘﺒﺮ ) u ( x; yو )' u ' ( x '; yﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
G G
' u = uاذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' x = xو ' y = y
JJJG
د -اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ AB
ﺧﺎﺻﻴﺔ
JJJG
JJG JJJG
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ، O; OI ; OJإذا آﺎن ) A ( x; yو ) ' B ( x '; yﻓﺎن ) AB ( x '− x; y '− y
(
)
)
ﺗﻤﺮﻳﻦ
(
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; j
)
(
G
G
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) A (1; 2و ) B ( −3; −1و ) C ( 3; −2وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) u ( −2;3و ) .v ( 2; 4
G G
-1أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cو اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو v
G 1 G JJJJG JJJG
-2ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ آﻞ ﻣﻦ ABو ACو 2u − v
2
JJJG JJJJG
-3ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ Dﺣﻴﺚ AB = BD
-4ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ AB
Moustaouli Mohamed
2
http://arabmaths.ift.fr
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
G
G
ﻟﺘﻜﻦ uو vﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ و iو jﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ
G
G
و v = −4i + 3 j
G G
ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ uGو vGﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ( i ; j
G G
G G
ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ iو jﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ( u ; v
G
G
G
u = 3i − 2 j
-3ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
أ -ﻣﺤﺪدة ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
G
G
ﻟﺘﻜﻦ ) u ( x ; yو ) ' v ( x '; yﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
'x x
G G
G G
اﻟﻌﺪد xy '− x ' yﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﺪدة اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ uو ) vﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ( ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) det (u ;vأو
'y y
'x x
G G
= ) det (u ;v
ﻧﻜﺘﺐ = xy '− x ' y
'y y
G
G
G
ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ ) u ( −2;3و ) v ( 2; 4و ) w ( −5;0
G G
G G
ﺣﺪد ) det (u ;vو ) det (u ;w
G
G
ب -ﻟﺘﻜﻦ ) u ( x ; yو ) ' v ( x '; yﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ
G G
G
G
* uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ﺗﻜﺎﻓﺊ u = kv
ﺗﻜﺎﻓﺊ ' x = kxو ' y = ky
وﻣﻨﻪ xy '− x ' y = kx ' y '− kx ' y ' = 0
ﻧﻔﺘﺮض xy '− x ' y = 0و x ' ≠ 0
x
وﻣﻨﻪ ' x = kx
* ﻧﻀﻊ = k
'x
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ xy '− x ' y = 0ﺗﻜﺎﻓﺊ ' y = ky
G
G
إذن u = kv
G G
إذا آﺎن uأو vﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻓﺎن xy '− x ' y = 0
ﺧﺎﺻﻴﺔ
G G
G G
ﺗﻜﻮن uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن det (u ;v ) =0
GG
G G
ﺗﻜﻮن uو vﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن det (u;v ) ≠ 0
ﻣﺜﺎل
G
G
G
ﻟﺘﻜﻦ u 2 + 1;1و v 1; 2 − 1و w −1; 2
G G
G G
أدرس اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ uو vﺛﻢ uو w
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; j
)
( )
(
)
(
)
(
G
1
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ A ;3 و ) B ( −2; −2و ) C (1; 4وﻣﺘﺠﻬﺔ )u (1;3
2
G
-1أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cو اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ u
G
G
-2ﺣﺪد xﺣﻴﺚ uو ) v ( x − 2;5ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن
-3ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ
-4ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
G
G
-إذا آﺎن ) u ( x ; yﻓﺎن u = x 2 + y 2
Moustaouli Mohamed
3
http://arabmaths.ift.fr
-
إذا آﺎن ) A ( x A ; y Aو ) B ( xB ; yBﻓﺎن
( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
= AB
-IIاﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى
-1ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻬﺔ
G
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ و uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ
JJJJG G
ﻧﺤﺪد ) ( Dﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mﺣﻴﺚ t ∈ \ ; AM = tu
JJJG G
ﻟﻨﻀﻊ AB = u
* ∅ ≠ ) ( Dﻻن ) B ∈ ( D
JJJJG JJJG
* ﻧﻌﻠﻢ أن t ∈ \ ; AM = t ABﺗﻜﺎﻓﺊ
) M ∈ ( AB
) ( D ) = ( AB
G
) ( Dﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ u
ﺗﻌﺮﻳﻒ
G
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ و uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ
JJJJG G
G
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mﺣﻴﺚ t ∈ \ ; AM = tuهﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ uﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ
G
) D ( A ;u
ﻣﻼﺣﻈﺔ
G G
ﻟﺘﻜﻦ uو vﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ
G G
G
G
* إذا آﺎن uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ) D ( A ;u ) = D ( A ;v
G
G
G
* إذا آﺎن ) B ∈ D ( A ;uﻓﺎن ) D ( A ;u ) = D ( B ;u
JJJG
* ABﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AB
-2ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ، O ; i ; jﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ
G
ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A ( x 0 ; y 0و ) u (α ; βﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ
)
(
JJJJG
G
) M ∈ ( Dﺗﻜﺎﻓﺊ ﺗﻮﺟﺪ tﻣﻦ \ ﺣﻴﺚ AM = tu
x = x 0 + tα
ﺗﻜﺎﻓﺊ \ ∈ t
y = y 0 + t β
x = x 0 + tα
ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي
اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ t
y
=
y
+
t
β
0
G
ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) A ( x 0 ; y 0واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) u (α ; β
ﻣﺒﺮهﻨﺔ وﺗﻌﺮﻳﻒ
G G
G
اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو ) u (α ; βﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) A ( x 0 ; y 0ﻧﻘﻄﺔ.
)
(
G
آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﺎر ﻣﻦ ) A ( x 0 ; y 0وﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ) u (α ; βﻟﻪ ﻧﻈﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ \ ∈ t
اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ t
G
ﺑـ ) u (α ; β
x = x 0 + t α
y = y 0 + t β
x = x 0 + t α
ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) A ( x 0 ; y 0واﻟﻤﻮﺟﻪ
y = y 0 + t β
Moustaouli Mohamed
4
http://arabmaths.ift.fr
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; j
(
)
G
G
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) A ( −2;1و ) B ( 0; −2و ) C (1; 4وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) u ( −2;3و ).v ( 4; −6
x = 2 − t
ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ﻟﺘﻜﻦ \ ∈ t
y = 1+t
G
-1أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ uو اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
)∆(
-2
)∆(
أ -ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( D
ب -أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( D
Cﺗﻨﺘﻤﻴﺎن اﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( D
ج -هﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ Bو
G G
-3أ -ﺑﻴﻦ أن uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن
G
ب -ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ ) . D (C ;vﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ
-4ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
) ( AC
ﻣﻼﺣﻈﺔ
آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻼت اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮﻳﺔ
-3ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
أ -ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ، O ; i ; j
G
ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A ( x 0 ; y 0و ) u (α ; βﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ.
(
)
) (P
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
G JJJJG
) M ∈ ( Dﺗﻜﺎﻓﺊ AMو uﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن
x −x0 α
ﺗﻜﺎﻓﺊ = 0
y − y0 β
ﺗﻜﺎﻓﺊ β x − α y + α y 0 − β x 0 = 0
ﻧﻀﻊ c = α y 0 − β x 0 ; β = a ; −α = b
) M ∈ ( Dﺗﻜﺎﻓﺊ ax + by + c = 0ﺣﻴﺚ ) (a;b ) ≠ ( 0;0
ﻣﺒﺮهﻨﺔ
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ax + by + c = 0
* اﻟﻌﻜﺲ
ﻟﺘﻜﻦ aو bو cاﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ
ﺣﻴﺚ ) . ( a; b ) ≠ ( 0;0
) (a;b ) ≠ ( 0;0
ﻟﻨﺤﺪد ) ( Dﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M ( x ; yﺣﻴﺚ ax + by + c = 0
ﻟﻨﻔﺮض أن a ≠ 0
−c
) ( Dﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ ﻷن ) C ;0 ∈ ( D
a
ﻟﺘﻜﻦ ) A ( x 0 ; y 0ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) ( Dوﻣﻨﻪ ax 0 + by 0 + c = 0
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ c = −ax 0 − by 0
) M ( x ; y ) ∈ ( Dﺗﻜﺎﻓﺊ ax + by + c = 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ ax + by − ax 0 − by 0 = 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0
x − x 0 −b
ﺗﻜﺎﻓﺊ = 0
y − y0 a
Moustaouli Mohamed
5
http://arabmaths.ift.fr
JJJJG
G
ﺗﻜﺎﻓﺊ AMو ) u ( −b ; aﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن
G
ﺗﻜﺎﻓﺊ ) M ∈ D ( A ;u
ﻣﺒﺮهﻨﺔ
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ
) M (x ; y
G
و ) ( a; b ) ≠ ( 0;0هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) u ( −b ; a
ﺣﻴﺚ
ax + by + c = 0
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ax + by + c = 0ﺣﻴﺚ ) ( a; b ) ≠ ( 0;0ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﻮﺟﻪ
G
ﺑـ ) u ( −b ; a
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; jﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A ( −2;1و ) . u (1; 2
)
ﻟﺘﻜﻦ 2x − 3 y + 1 = 0ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
) (D
(
و\∈ t
x = 1 + 5t
ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي
y = 2 − 2t
ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
)' ( D
G
-1ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ u
-2أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dو ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ.
-3ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ' . ( Dأﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ.
ﻣﻼﺣﻈﺔ
* ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ، kاﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﺎن ax + by + c = 0و akx + bky + kc = 0ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﻴﻦ ،ﻓﻬﻤﺎ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن
ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
* ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ.
ب -ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ
* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻤﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ
ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﺤﻮري ﻣﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ) A ( a;0و ) B ( 0; bإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن
x y
ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ + = 1
a b
* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع x = c
ﺣﻴﺚ a ≠ 0و b ≠ 0
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﻴﻜﻦ
) (a;b ) ≠ ( 0;0
ﺗﻜﻮن ax + by + c = 0ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر
اﻷراﺗﻴﺐ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن b = 0
* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع . y = c
Moustaouli Mohamed
6
http://arabmaths.ift.fr
* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
G G
) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; j
)
+ by + c = 0
(
( D ) : ax
) ( Dﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﺗﻜﺎﻓﺊ b ≠ 0
−b
c
إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ( Dﺗﺼﺒﺢ x −
a
a
−c
−a
= pإذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ( Dﺗﻜﺘﺐ y = mx + p
=; m
ﻧﻀﻊ
b
b
ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ﻧﻌﺘﺒﺮ y = mx + pﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ( D
G G
G
وﻣﻨﻪ ) u (1; mﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ( Dو ﻟﺪﻳﻨﺎ det u ; j ≠ 0
= y
(
)
إذن ) ( Dﻻ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ.
ﺧﺎﺻﻴﺔ
) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ( Dﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ
y = mx + p
اﻟﻌﺪد mﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( D
G
اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (1; mﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( D
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = mx + pﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
)( D
ﻣﻼﺣﻆة
G
β
اذا آﺎن ) u (α ; βﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻪ هﻮ اﻟﻌﺪد
α
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; j
)
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A ( −2;1و \ ∈ t
(
x = 1 + 3t
. (∆) :
y = −2 + t
−1
-1ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ
2
-2ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﺛﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ.
.
- IIIاﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
-1اﻟﺘﻮازي
D
:
ax
+
by
+
c
=
0
;
D
:
a
'
x
+
b
'
y +c ' = 0
)( 1
)( 2
G
G
) u ( −b ; aﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ( D1و )' u ' ( −b '; aﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ( D 2
G G
) ( D1 ) // ( D 2ﺗﻜﺎﻓﺊ det (u ;u ') = 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ ab '− a 'b = 0
ﻣﺒﺮهﻨﺔ1
G G
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو
(
)
) ( a; b ) ≠ ( 0;0و ) . ( a '; b ') ≠ ( 0;0
ﻧﻌﺘﺒﺮ
( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0
) ( D1 ) // ( D 2اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ab '− a 'b = 0
;
( D1 ) : ax + by + c = 0
ﻣﺒﺮهﻨﺔ2
G G
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو
)
(
' ( D2 ) : y = m ' x + p
; = mx + p
( D1 ) : y
) ( D1 ) // ( D 2اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' m = m
Moustaouli Mohamed
7
http://arabmaths.ift.fr
ﻣﺜﺎل
( D1 ) : 2x − 3y + 4 = 0 ; ( D2 ) : −4x + 6y + 1 = 0
هﻞ ) ( D1و ) ( D 2ﻣﻨﻔﺼﻼ أم ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن
-2اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ
ﻣﺒﺮهﻨﺔ1
G G
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو
)
ﻧﻌﺘﺒﺮ
( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0
) ( D 2ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن
;
) ( D1و
(
) ( a; b ) ≠ ( 0;0و ) . ( a '; b ' ) ≠ ( 0;0
( D1 ) : ax + by + c = 0
ab '− a 'b ≠ 0
و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ
ax + by + c = 0
a ' x + b ' y + c ' = 0
ﻣﺒﺮهﻨﺔ2
G G
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو ' ( D1 ) : y = mx + p ; ( D2 ) : y = m ' x + p
(
)
) ( D1و ) ( D 2ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' m ≠ m
ﻣﺜﺎل
y = mx + p
و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ
' y = m 'x + p
( D1 ) : x + 3y − 5 = 0 ; ( D2 ) : 2x + y −1 = 0
ﺗﺄآﺪ أن ) ( D1و ) ( D 2ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ
-3اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ
ﻧﺸﺎط
ﻟﻴﻜﻦ
G G
) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ O ; i ; jو
(
)
) ( a; b ) ≠ ( 0;0و ) . ( a '; b ') ≠ ( 0;0
ﻧﻌﺘﺒﺮ
( D1 ) : ax + by + c = 0 ; ( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0
ﻟﻴﻜﻦ ) ( ∆1اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ( D1و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Oو ) ( ∆ 2اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ( D2و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ O
-1ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ) ( ∆1و ) ( ∆ 2ﺛﻢ ﺗﺄآﺪ أن ) A ( −b; a ) ∈ ( ∆1و ) A ' ( −b '; a ' ) ∈ ( ∆ 2
-2اذا آﺎن ) ، ( D1 ) ⊥ ( D2ﻣﺎ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ' OAA
-3ﺑﻴﻦ أن ) ( D1 ) ⊥ ( D2إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن aa '+ bb ' = 0
ﺗﺬآﻴﺮ *
( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
= AB
* ABCﻣﺜﻠﺚ
2
2
2
ABCﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ Aاذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن BC = AB + AC
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ م.م ﻧﻌﺘﺒﺮ
( D ) : ax + by + c = 0
( D ') : a ' x + b ' y + c ' = 0
ﺣﻴﺚ
) (a ';b ') ≠ ( 0;0
;
) (a;b ) ≠ ( 0;0
)' ( D ) ⊥ ( Dإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن aa '+ bb ' = 0
ﻧﺘﻴﺠﺔ
( D ') : y = m ' x + p ' mm ' = −1
= mx + p
(D ) : y
) ' ( D ) ⊥ ( Dإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن
ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ ( D ') : 3x + 2 y + 5 = 0
ﺑﻴﻦ أن )' ( D ) ⊥ ( D
ﺗﻤﺮﻳﻦ
( D ) : −2 x + 3 y − 1 = 0
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ )A ( 2;1
Moustaouli Mohamed
8
و )B ( −1;3
http://arabmaths.ift.fr
G
و ) ( Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ )u ( 2;3
ﺑﻴﻦ أن
) ( D ) ⊥ ( AB
------------------------------------------------------------------------
ﺗﻤﺮﻳﻦ
JJJG
JJJG 3 JJJG
1 JJJJG
ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ و Iو Jو Kﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ BCو . CK = − AC ; AJ = AB
4
2
JJJG JJJJG
ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ A ; AB ; AC
)
(
-1ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻨﻘﻂ Iو Jو K
-2ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ Iو Jو Kﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ
-3ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( IJﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻪ.
ﺗﻤﺮﻳﻦ
G G
ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ، O ; i ; jﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) A ( −2;1و ) B ( 2; 4و
G
) u ( 5; 2
)
(
و ( D ) : 2x − 3 y + 1 = 0و ( Dm ) : ( m −1) x − 2my + 3 = 0
G
-1ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ u
-2ﺗﺄآﺪ أن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ.
-3أ -ﺣﺪد mﺣﻴﺚ ) ( D ) // ( D m
ب -ﺣﺪد mﺣﻴﺚ ) ( D ) ⊥ ( Dm
-4أ -أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ( D 2 ) ; ( D1 ) ; ( D 0
3
ب – ﺑﻴﻦ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﺗﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ C 3;
2
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻧﻌﺘﺒﺮ )C ( 0; 2 ) ; B ( 6.7 ) ; A (10;3
ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ABC
ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ Gﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ . ABC
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻟﻴﻜﻦ ABCDو EFGHﻣﺘﻮازﻳﻲ اﻷﺿﻼع ﺣﻴﺚ
)
) E ∈ [ ABو ) G ∈ [ AD
أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ( BGو ) ( EDو ) (CFاﻣﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺔ إﻣﺎ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ ) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﻤﻌﻠﻢ
JJJG JJJJG
( A ; AB ; AD
(
Moustaouli Mohamed
9
http://arabmaths.ift.fr
