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Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

Séries temporelles
Chapitre introductif : Travail préliminaire
sur les données

Vincent Bouvatier
Université de Paris Ouest - Nanterre La Défense
Bâtiment G, bureau 308A
vbouvatier@u-paris10.fr

Plan

Désaisonnalisation

1
2

3

4

5

Level shift

Séries réelles, indices et log

Plan
Désaisonnalisation
Illustration
Méthode de regression linéaire
Méthode des moyennes mobiles
Méthode X11
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA
Méthode TRAMO SEATS
Level shift
Présentation du problème
Exemple de correction
Séries réelles, indices et log
Présentation du problème
Exemple
Utilisation des log et RU
Statistiques descriptives
Eléments à calculer
Application

Statistiques descriptives

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Plan et bibliographie

Plan :
1

Méthodes de désaisonnalisation

2

"Level shift"

3

Variables réelles, indices et log (en TD)

4

Statistiques descriptives (en TD)

Statistiques descriptives

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

Plan et bibliographie

Références :
Ladiray, D., et Quenneville, B. (1999), "Comprendre la
méthode X11",
,! http ://www.census.gov/ts/papers/x11doc.pdf

Stock, J., and Watson, M. (2003), "Forecasting Output and
In‡ation : The Role of Asset Prices", Journal of Economic
Literature, 41, 788–829.
,! http ://ideas.repec.org/p/nbr/nberwo/8180.html

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Illustration : composante saisonnière dans le PIB

Evolutions du PIB de la France "seasonally adjusted" et non
"seasonally adjusted" (Millions of national currency, current prices ;
source : OECD)
600000

500000

400000

300000

200000

100000
1980

1985

1990

1995

PIB_SA

2000

2005

PIB_NSA

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

1. Désaisonnalisation
Illustration : composante saisonnière dans le PIB

Zoom sur la période 2000-2005
440000
430000
420000
410000
400000
390000
380000
370000
360000
350000
2000

2001

2002
PIB_SA

2003
PIB_NSA

2004

Statistiques descriptives

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Illustration : composante saisonnière dans le PIB

Représentation de la di¤érence entre la série NSA et la série SA
15000
10000
5000
0
-5000
-10000
-15000
1980

1985

1990

1995

2000

EFFET_SAISON

2005

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Illustration : composante saisonnière dans le PIB

Plusieurs méthodes de désaisonnalisation sont disponibles
méthode de régression linéaire
méthode des moyennes mobiles
méthode (logiciel) X11
méthodes (logiciels) X11-ARIMA et X12-ARIMA
méthode (logiciel) TRAMO SEATS

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Pour une série Xt donnée, on considère la décomposition
suivante :
Xt = Zt + St + "t ;
où Zt représente la composante tendancielle, St la composante
saisonnière et "t la composante aléatoire.

La composante tendancielle peut prendre plusieurs formes :
tendance linéaire : Zt = 0 + 1 t
tendance quadratique : Zt = 0 + 1 t + 2 t 2
tendance logarithmique : Zt = 0 + 1 ln(t)
...

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Pour une série Xt donnée, on considère la décomposition
suivante :
Xt = Zt + St + "t ;
où Zt représente la composante tendancielle, St la composante
saisonnière et "t la composante aléatoire.

La composante tendancielle peut prendre plusieurs formes :
tendance linéaire : Zt = 0 + 1 t
tendance quadratique : Zt = 0 + 1 t + 2 t 2
tendance logarithmique : Zt = 0 + 1 ln(t)
...

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

La composante saisonnière prend la forme :
St =

n
P

i
i St ;

i =1

où n dépend de la fréquence des données (n = 4 pour du trimestriel
et n = 12 pour du mensuel) et Sti est une variable indicatrice qui
prend la valeur 1 les trimestres (mois) i et 0 sinon.

Dans le cas de données trimestrielles, on a donc :
St =

1
1 St

+

2
2 St

+

3
3 St

+

4
4 St ;

où St1 ; St2 ; St3 et St4 sont 4 variables indicatrices.

Le terme aléatoire : "t est iid et de moyenne nulle

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

La composante saisonnière prend la forme :
St =

n
P

i
i St ;

i =1

où n dépend de la fréquence des données (n = 4 pour du trimestriel
et n = 12 pour du mensuel) et Sti est une variable indicatrice qui
prend la valeur 1 les trimestres (mois) i et 0 sinon.

Dans le cas de données trimestrielles, on a donc :
St =

1
1 St

+

2
2 St

+

3
3 St

+

4
4 St ;

où St1 ; St2 ; St3 et St4 sont 4 variables indicatrices.

Le terme aléatoire : "t est iid et de moyenne nulle

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

En considérant une tendance linéaire et des données
trimestielles, on obtient donc :
Xt =
avec 0

B
B
B
B
B
t=B
B
B
B
@

1
2
3
4
5
6
..
.

1

0

+
0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 1 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

1t

1
0
0
0
1
0
..
.

+

1

1
1 St

+

0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 2 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

0
1
0
0
0
1
..
.

2
2 St

1

+

3
3 St

0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 3 B
C St = B
B
C
C
B
C
B
A
@

+
0
0
1
0
0
0
..
.

4
4 St

1

+ "t ;
0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 4 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

0
0
0
1
0
0
..
.

1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

Remarque : la constante est une combinaison linéaire des 4
variables indicatrices ) modèle dans la forme précédente n’est pas

identi…able (problème d’inversibilité)

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

En considérant une tendance linéaire et des données
trimestielles, on obtient donc :
Xt =
avec 0

B
B
B
B
B
t=B
B
B
B
@

1
2
3
4
5
6
..
.

1

0

+
0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 1 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

1t

1
0
0
0
1
0
..
.

+

1

1
1 St

+

0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 2 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

0
1
0
0
0
1
..
.

2
2 St

1

+

3
3 St

0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 3 B
C St = B
B
C
C
B
C
B
A
@

+
0
0
1
0
0
0
..
.

4
4 St

1

+ "t ;
0

C
B
C
B
C
B
C
B
C 4 B
C St = B
C
B
C
B
C
B
A
@

0
0
0
1
0
0
..
.

1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

Remarque : la constante est une combinaison linéaire des 4
variables indicatrices ) modèle dans la forme précédente n’est pas

identi…able (problème d’inversibilité)

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Première solution : supprimer la constante (ou une des
indicatrices)

Xt =

1t

+

1
1 St

+

2
2 St

+

3
3 St

+

4
4 St

+ "t :

(1)

Seconde solution : imposer une contrainte
Xt =

0

+

1t

c 1
c 2
c 3
c 4
(2)
1 S t + 2 S t + 3 S t + 4 S t + "t ;
c
c
c
c
1 + 2 + 3 + 4 = 0 (contrainte arbitraire

+

sous la contrainte
qui signi…e que "l’e¤et saison" est globalement nul sur une année)
,! le modèle peut donc se réécrire :

Xt =

0+

c 2
c 3
c 1
1 t + 1 St + 2 St + 3 St +(

c
1

c
2

c
4
3 )St +"t :

Remarque : on aura les relations suivantes entre les deux
spéci…cations : 1 = 0 + c1 ; 2 = 0 + c2 ; ...

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Première solution : supprimer la constante (ou une des
indicatrices)

Xt =

1t

+

1
1 St

+

2
2 St

+

3
3 St

+

4
4 St

+ "t :

(1)

Seconde solution : imposer une contrainte
Xt =

0

+

1t

c 1
c 2
c 3
c 4
(2)
1 S t + 2 S t + 3 S t + 4 S t + "t ;
c
c
c
c
1 + 2 + 3 + 4 = 0 (contrainte arbitraire

+

sous la contrainte
qui signi…e que "l’e¤et saison" est globalement nul sur une année)
,! le modèle peut donc se réécrire :

Xt =

0+

c 2
c 3
c 1
1 t + 1 St + 2 St + 3 St +(

c
1

c
2

c
4
3 )St +"t :

Remarque : on aura les relations suivantes entre les deux
spéci…cations : 1 = 0 + c1 ; 2 = 0 + c2 ; ...

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Application à la série de PIB de la France (Yt )
L’estimation par MCO de la spéci…cation (1) donne :

Yt

= 3062:4t + 113916:6St1 + 115544:0St2 + 104801:3St3
+121670:9St4 + "t ;

L’estimation par MCO de la spéci…cation (2) donne :

Yt = 113983:2+3062:4t 66:5St1 +1560:8St2 9181:9St3 +
avec

c
4

= 66:5

1560:8 + 9181:9 = 7687:6

c 4
4 St +"t ;

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Application à la série de PIB de la France (Yt )
L’estimation par MCO de la spéci…cation (1) donne :

Yt

= 3062:4t + 113916:6St1 + 115544:0St2 + 104801:3St3
+121670:9St4 + "t ;

L’estimation par MCO de la spéci…cation (2) donne :

Yt = 113983:2+3062:4t 66:5St1 +1560:8St2 9181:9St3 +
avec

c
4

= 66:5

1560:8 + 9181:9 = 7687:6

c 4
4 St +"t ;

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Ajustement obtenu :
600000
500000
400000
30000
300000
20000
200000
10000
100000
0
-10000
-20000
1980

1985

1990

1995

Residual

Remarque : "t ne semble pas iid

2000

Actual

2005
Fitted

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Permet de construire une série de PIB "seasonally adjusted"

YtSA = ^ 0 + ^ 1 t + "t = Yt

^ c1 St1

^ c2 St2

^ c3 St3

600000

500000

400000

300000

200000

100000
1980

1985

1990

1995

PIB_NSA

2000

2005

PIB_SA_RL

2010

^ c4 St4 ;

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode de régression linéaire

Représentation de la di¤érence entre la série NSA et la série SA
obtenue par régression linéaire
8000

4000

0

-4000

-8000

-12000
1980

1985

1990

1995

2000

EFFET_SAISON2

2005

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

On considère la même décomposition que précédemment :
Xt = Zt + St + "t :
On recherche un …ltre / une fonction f (:) à appliquer à Xt
permettant de "purger" la composante saisonnière
XtSA = f (Xt ) = Zt + "t :
Utilisation d’une moyenne mobile comme …ltre peut se faire
avec la notation suivante :
m2
X
i
XtMB =
i L Xt
i = m1

où L est l’opérateur retard (i.e. L1 Xt = Xt 1 ; L2 Xt = Xt
Remarque L 1 Xt = Xt+1 = F 1 Xt où F est l’opérateur
forward

2)

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

On considère la même décomposition que précédemment :
Xt = Zt + St + "t :
On recherche un …ltre / une fonction f (:) à appliquer à Xt
permettant de "purger" la composante saisonnière
XtSA = f (Xt ) = Zt + "t :
Utilisation d’une moyenne mobile comme …ltre peut se faire
avec la notation suivante :
m2
X
i
XtMB =
i L Xt
i = m1

où L est l’opérateur retard (i.e. L1 Xt = Xt 1 ; L2 Xt = Xt
Remarque L 1 Xt = Xt+1 = F 1 Xt où F est l’opérateur
forward

2)

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes pouvant être utilisé :
Etape 1 : on calcule les moyennes mobiles centrées
MAt =

(0:5Xt 2 + Xt 1 + Xt + Xt+1 + 0:5Xt+2 ) =4 en trimestriel
(0:5Xt 6 + ::: + Xt + ::: + 0:5Xt+6 ) =12 en mensuel

Etape 2 : on calcule la série
t

= Xt =MAt

Etape 3 : on calcule les indices saisonniers : iq est l’indice
pour le trimestre q correspondant à la moyenne de t calculée
uniquement sur les données du trimestre q.
Etape 4 : on calcule les facteurs saisonniers
iq
avec q = 1; 2; 3; 4
sq = p
4
i1 i2 i3 i4
correspondant à l’indice saisonnier divisé par la moyenne
géométrique des indices saisonniers

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes pouvant être utilisé :
Etape 1 : on calcule les moyennes mobiles centrées
MAt =

(0:5Xt 2 + Xt 1 + Xt + Xt+1 + 0:5Xt+2 ) =4 en trimestriel
(0:5Xt 6 + ::: + Xt + ::: + 0:5Xt+6 ) =12 en mensuel

Etape 2 : on calcule la série
t

= Xt =MAt

Etape 3 : on calcule les indices saisonniers : iq est l’indice
pour le trimestre q correspondant à la moyenne de t calculée
uniquement sur les données du trimestre q.
Etape 4 : on calcule les facteurs saisonniers
iq
avec q = 1; 2; 3; 4
sq = p
4
i1 i2 i3 i4
correspondant à l’indice saisonnier divisé par la moyenne
géométrique des indices saisonniers

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes pouvant être utilisé :
Etape 1 : on calcule les moyennes mobiles centrées
MAt =

(0:5Xt 2 + Xt 1 + Xt + Xt+1 + 0:5Xt+2 ) =4 en trimestriel
(0:5Xt 6 + ::: + Xt + ::: + 0:5Xt+6 ) =12 en mensuel

Etape 2 : on calcule la série
t

= Xt =MAt

Etape 3 : on calcule les indices saisonniers : iq est l’indice
pour le trimestre q correspondant à la moyenne de t calculée
uniquement sur les données du trimestre q.
Etape 4 : on calcule les facteurs saisonniers
iq
avec q = 1; 2; 3; 4
sq = p
4
i1 i2 i3 i4
correspondant à l’indice saisonnier divisé par la moyenne
géométrique des indices saisonniers

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes pouvant être utilisé :
Etape 1 : on calcule les moyennes mobiles centrées
MAt =

(0:5Xt 2 + Xt 1 + Xt + Xt+1 + 0:5Xt+2 ) =4 en trimestriel
(0:5Xt 6 + ::: + Xt + ::: + 0:5Xt+6 ) =12 en mensuel

Etape 2 : on calcule la série
t

= Xt =MAt

Etape 3 : on calcule les indices saisonniers : iq est l’indice
pour le trimestre q correspondant à la moyenne de t calculée
uniquement sur les données du trimestre q.
Etape 4 : on calcule les facteurs saisonniers
iq
avec q = 1; 2; 3; 4
sq = p
4
i1 i2 i3 i4
correspondant à l’indice saisonnier divisé par la moyenne
géométrique des indices saisonniers

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes (suite) :
Etape 5 : la série désaisonnalisée est donnée par :
XtSA = Xt =sq

Remarque 1 : les sq sont utilisés comme facteurs d’échelle et
indiquent dans quelle proportion Xt est au dessus de sa valeur
ajustée

Remarque 2 : généralisation des étapes 3, 4 et 5 avec im et sm
en cas de données mensuelles

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Algorithme en 5 étapes (suite) :
Etape 5 : la série désaisonnalisée est donnée par :
XtSA = Xt =sq

Remarque 1 : les sq sont utilisés comme facteurs d’échelle et
indiquent dans quelle proportion Xt est au dessus de sa valeur
ajustée

Remarque 2 : généralisation des étapes 3, 4 et 5 avec im et sm
en cas de données mensuelles

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

L’algorithme précédent correspond à une approche
multiplicative. Possibilité d’avoir une approche additive :
Epate 1 : est identique
Etape 2 : on utilise les di¤érences
dt = Xt

MAt

Etape 3 : les indices saisonniers sont calculés à partir des dt
Etape 4 : les facteurs saisonniers deviennent
sq = iq

{

où { est la moyenne arithmétique des facteurs saisonniers
Etape 5 : la série ajustée est donnée par :
XtSA = Xt

sq

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Application de la méthode multiplicative à la série de PIB (Yt )
600000

500000

400000

300000

200000

100000
1980

1985

1990

1995

PIB_SA_MA

2000

2005

PIB_NSA

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Représentation de la di¤érence entre la série NSA et la série SA
obtenue par la méthode MA (multiplicatif)
15000
10000
5000
0
-5000
-10000
-15000
-20000
1980

1985

1990

1995

2000

EFFET_SAISON3

2005

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Facteurs d’échelle obtenus (spéci…cation multiplicative) :
s1
s2
s3
s4

= 1:000743
= 1:005903
= 0:967765
= 1:026482

Remarque : application de la méthode sur la di¤érence
première de la série a…n de la rendre stationnaire
Application de la méthode additive
,! Facteurs d’échelle obtenus :
s1
s2
s3
s4

= 29:87352
= 1601:061
= 9129:743
= 7498:809

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Facteurs d’échelle obtenus (spéci…cation multiplicative) :
s1
s2
s3
s4

= 1:000743
= 1:005903
= 0:967765
= 1:026482

Remarque : application de la méthode sur la di¤érence
première de la série a…n de la rendre stationnaire
Application de la méthode additive
,! Facteurs d’échelle obtenus :
s1
s2
s3
s4

= 29:87352
= 1601:061
= 9129:743
= 7498:809

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Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode des moyennes mobiles

Représentation de la di¤érence entre la série NSA et la série SA
obtenue par la méthode MA (additif)
8000

4000

0

-4000

-8000

-12000
1980

1985

1990

1995

2000

EFFET_SAISON4

2005

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Développée dans les années 50-60 au US Bureau of Census
(recensement)
composante du US Department of Commerce et en charge de
la production de nombreuses données sur la société et
l’économie des USA
premier développement : "Method I " de Julius Shiskin en 1954
"Method II " avec onze versions eXpérimentales nommées X0,
X1,...,X11
méthode (logiciel) X11 en 1965 par Shiskin, Young et
Musgrave

Améliorations de la méthode X11
développement des modèles ARIMA à partir des travaux de
Box et Jenkins (1970)
méthode (logiciel) X11-ARIMA à partir de 1975
méthode (logiciel) X12-ARIMA à partir de 1998

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Développée dans les années 50-60 au US Bureau of Census
(recensement)
composante du US Department of Commerce et en charge de
la production de nombreuses données sur la société et
l’économie des USA
premier développement : "Method I " de Julius Shiskin en 1954
"Method II " avec onze versions eXpérimentales nommées X0,
X1,...,X11
méthode (logiciel) X11 en 1965 par Shiskin, Young et
Musgrave

Améliorations de la méthode X11
développement des modèles ARIMA à partir des travaux de
Box et Jenkins (1970)
méthode (logiciel) X11-ARIMA à partir de 1975
méthode (logiciel) X12-ARIMA à partir de 1998

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Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Pour une série Xt donnée, on considère 3 composantes :
TCt : la composante trend-cycle regroupant à la fois
l’évolution de long terme et l’évolution cyclique (quasi
périodique)
St : la composante saisonnière
It : la composante irrégulière

Des composantes supplémentaires peuvent être ajoutées :
,! ex : composante sur les « jours ouvrables » a…n de prendre en
compte la composition journalière du mois ou du trimestre

La méthode X11 permet d’estimer les di¤érentes composantes
avec une méthode itérative faisant appel à di¤érents types de
moyennes mobiles
,! les méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA proposent des
améliorations succéssives de la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Pour une série Xt donnée, on considère 3 composantes :
TCt : la composante trend-cycle regroupant à la fois
l’évolution de long terme et l’évolution cyclique (quasi
périodique)
St : la composante saisonnière
It : la composante irrégulière

Des composantes supplémentaires peuvent être ajoutées :
,! ex : composante sur les « jours ouvrables » a…n de prendre en
compte la composition journalière du mois ou du trimestre

La méthode X11 permet d’estimer les di¤érentes composantes
avec une méthode itérative faisant appel à di¤érents types de
moyennes mobiles
,! les méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA proposent des
améliorations succéssives de la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Les di¤érentes décompositions considérées dans X11 :
modèle additif : Xt = TCt + St + It
modèle multiplicatif : Xt = TCt :St :It
modèle log-additif : Xt = ln(TCt ) + ln(St ) + ln(It )

L’algorithme de la méthode X11 :
1

2

3

4

appliquer un …ltre (i.e. une MA) sur Xt pour estimer la
composante Tendance-Cycle (TCt )
déduire la composante Saisonnier-Irrégulier :
St + It = Xt TCt
appliquer un …ltre sur la composante Saisonnier-Irrégulier pour
estimer la composante saisonnière
calcul de la série corrigée des variations saisonnières :
XtSA = Xt St = TCt + It

Cf. annexe pour une présentation plus détaillée des
di¤érentes étapes de la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Les di¤érentes décompositions considérées dans X11 :
modèle additif : Xt = TCt + St + It
modèle multiplicatif : Xt = TCt :St :It
modèle log-additif : Xt = ln(TCt ) + ln(St ) + ln(It )

L’algorithme de la méthode X11 :
1

2

3

4

appliquer un …ltre (i.e. une MA) sur Xt pour estimer la
composante Tendance-Cycle (TCt )
déduire la composante Saisonnier-Irrégulier :
St + It = Xt TCt
appliquer un …ltre sur la composante Saisonnier-Irrégulier pour
estimer la composante saisonnière
calcul de la série corrigée des variations saisonnières :
XtSA = Xt St = TCt + It

Cf. annexe pour une présentation plus détaillée des
di¤érentes étapes de la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode X11

Les di¤érentes décompositions considérées dans X11 :
modèle additif : Xt = TCt + St + It
modèle multiplicatif : Xt = TCt :St :It
modèle log-additif : Xt = ln(TCt ) + ln(St ) + ln(It )

L’algorithme de la méthode X11 :
1

2

3

4

appliquer un …ltre (i.e. une MA) sur Xt pour estimer la
composante Tendance-Cycle (TCt )
déduire la composante Saisonnier-Irrégulier :
St + It = Xt TCt
appliquer un …ltre sur la composante Saisonnier-Irrégulier pour
estimer la composante saisonnière
calcul de la série corrigée des variations saisonnières :
XtSA = Xt St = TCt + It

Cf. annexe pour une présentation plus détaillée des
di¤érentes étapes de la méthode X11

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Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11

Limite de la méthode X11 :
pertes de points en début et …n d’échantillon du fait de
l’utilisation de moyennes mobiles (possibilité d’avoir des
moyennes mobiles asymétriques)
estimations en début et …n d’échantillon peuvent être
sensiblement modi…ées quand on intégre de nouvelles
observations

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA

Objectif : utiliser un modèle ARIMA pour prévoir les valeurs
futures de la série et ainsi ne pas perdre d’observations et avoir des
estimations plus stables sur les bornes
,! le modèle ARIMA doit être estimé sur une série "propre"

La méthodes X11-ARIMA propose les étapes suivantes :
1

2

3
4

Première désaisonnalisation par la méthode X11 a…n
d’identi…er les points aberrants, les e¤ets de calendrier...
Modélisation ARIMA de la série corrigée des points aberrants,
des e¤ets de calendrier...
Utilisation du modèle ARIMA pour compléter la série initiale
Seconde désaisonnalisation par la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA

Objectif : utiliser un modèle ARIMA pour prévoir les valeurs
futures de la série et ainsi ne pas perdre d’observations et avoir des
estimations plus stables sur les bornes
,! le modèle ARIMA doit être estimé sur une série "propre"

La méthodes X11-ARIMA propose les étapes suivantes :
1

2

3
4

Première désaisonnalisation par la méthode X11 a…n
d’identi…er les points aberrants, les e¤ets de calendrier...
Modélisation ARIMA de la série corrigée des points aberrants,
des e¤ets de calendrier...
Utilisation du modèle ARIMA pour compléter la série initiale
Seconde désaisonnalisation par la méthode X11

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA

Méthode X12-ARIMA repose sur le même principe mais intégre
des sophistications pour corriger les e¤ets indésirables et ainsi
parvenir à une meilleure modélisation ARIMA

Mise en oeuvre :
Logiciel X12-ARIMA distribué par le Bureau Census :
http ://www.census.gov/srd/www/x12a/
Incorporé dans la majorité des logiciels d’économétrie (Eviews,
SAS...)

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA

Application : …ltre X12-ARIMA (modèle multiplicatif) sur Yt
600000

500000

400000

300000

200000

100000
1980

1985

1990

1995

PIB_NSA

2000

2005

PIB_X12_SA

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthodes X11-ARIMA et X12-ARIMA

Représentation de la di¤érence entre la série NSA et la série SA
15000
10000
5000
0
-5000
-10000
-15000
1980

1985

1990

1995

2000

EFFET_SAISON5

2005

2010

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

1. Désaisonnalisation
Méthode TRAMO SEATS

Méthode TRAMO (Time series Regression with ARIMA noise,
Missing values and Outliers) SEATS (Signal Extraction in ARIMA
Time Series) développée par Gómez et Maravall (1996)
TRAMO permet d’avoir une modélisation ARIMA de la série
SEATS permet de décomposer une série modélisée par un
modèle ARIMA

) permet d’identi…er la compsante saisonnière
Mise en oeuvre :

programme TSW (TRAMO SEATS pour Windows) développé
par G. Caporello et A. Maravall à la Banque d’Espagne
,!
http ://www.bde.es/webbde/en/secciones/servicio/software
/econom.html
programme intégré dans certains logiciels (Eviews, Gretl...)
Utilisation par le bureau Census : X-13ARIMA-SEATS

Plan

Désaisonnalisation

Level shift

Séries réelles, indices et log

Statistiques descriptives

2. Level shift
Présentation du problème

Origine du problème : modi…cation des dé…nitions ou
re-classi…cations (i.e., le problème n’est pas de nature
"économique")
Implication :
sur les niveaux : rupture dans l’évolution de la série (i.e.
changement de niveau)
sur les taux de croissance : présence d’outliers

Exemple : séries de crédit :
crédit du secteur bancaire au secteur privé non …nancié
(private credit)
source : IMF IFS database (banking institutions’claims on the
private sector, series code 22D).



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