02 series numeriques cours complet 2.pdf


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En utilisant à nouveau l’inégalité triangulaire, on termine avec : ∀ N ∈ ,
+∞

à la limite, on a toujours :

∑u
n=0

N

N

n=0

n =0

∑ u n ≤ ∑ u n , et en passant

+∞

≤ ∑ un .

n

n =0

Théorème 3.2 : règle des équivalents
Soient
u n et
vn deux séries réelles dont les termes de l’une gardent un signe constant à partir





d’un certain rang et telles que : u n ~ vn .
Alors : (

∑u

converge) ⇔ (

n

∑v

+∞

n

converge).

Démonstration :
On sait donc que (un) et (vn) ont des termes de même signe à partir d’un certain rang, et donc quitte à
les changer en leur opposée, on peut supposer qu’elles restent positives à partir d’un certain rang.
On peut encore écrire : ∀ n ∈ , un = vn.(1 + ε(n)), avec : lim ε ( n) = 0 .
n → +∞

1
1
1
3
1
3
Donc, pour : ε = , ∃ n0 ∈ , ∀ n ≥ n0, |ε(n)| ≤ , et :
≤ (1 + ε(n)) ≤ , puis : .u n ≤ vn ≤ .u n .
2
2
2
2
2
2
Par comparaison de séries à termes positifs, on en déduit donc l’équivalence de convergence des deux
séries.
Théorème 3.3 : séries de Riemann
Soit : α ∈ .
La série

1

∑ nα

, avec converge, si et seulement si : α > 1.

Démonstration :
Soit : un,β =
La série

1
1

, avec β réel.
β
n
(n + 1) β

∑u

n,β

est télescopique de somme partielle : ∀ n ∈ , Sn,β = 1 –

1
, et elle converge si et
(n + 1) β

seulement si : β ≥ 0.
−β
1   1 
β
De plus : un,β = β .1 − 1 +   ~ β +1 , pour : β ≠ 0.
+

n   n   n
1
1
Soit maintenant : α ≠ 1. Alors : α ~
.u n , β , où on pose : β = α – 1 ≠ 0.
n +∞ α − 1

1

∑ nα

Comme les séries considérées gardent un signe constant, on en déduit que
seulement si

∑u

n,β

converge si et

converge, soit : β > 0, ou encore : α > 1.

Enfin, pour : α = 1, on a, pour les sommes partielles : ∀ N ≥ 1, S2.N – SN =

2. N

1
1
1
≥ N.
= .
2. N 2
n = N +1 n



Donc la suite (SN) ne peut converger puisque (S2.N – SN) ne tend pas vers 0, et (SN) tend vers +∞.
Théorème 3.4 : règle des « grands O », des « petits o »
Soient
u n et
vn des séries complexes telles
vn soit absolument convergente.





Si : un = O(vn) en +∞, alors



∑u

n

est aussi absolument converge.

Si de même : un = o(vn) en +∞, alors

∑u

n

est aussi absolument converge.

Démonstration :
• Dans le premier cas, on sait que : ∃ M ∈ , ∀ n ∈ , u n ≤ M . v n .
Donc par comparaison de séries à termes positifs, si
Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet.

∑v

n

converge,

∑u

n

converge aussi.
-5-