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• Dans le second cas, on sait que : ∀ n ∈ , u n = v n .ε n , où εn est une suite qui tend vers 0 en +∞.
Donc : ∃ n0 ∈ , ∀ n ≥ n0, ε n ≤ 1 , et : u n ≤ v n , ce qui nous ramène au premier cas.
Théorème 3.5 : règle des « nα »
Soit
u n une série réelle ou complexe.



α

Si (n .un) tend vers 0, avec : α > 1, alors

∑u

n

est absolument convergente.

Démonstration :

 1 
, en +∞ et que
α 
n 

Il suffit de remarquer que les hypothèses se réécrivent en : un = o

1

∑ nα

est

n ≥1

absolument convergente.
Théorème 3.6 : règle de d’Alembert
Soit
Si :

∑u

n

u n+1
=k.
n → +∞ u
n

une série réelle ou complexe non nulle à partir d’un certain rang, telle que : lim

∑u
• k > 1, alors ∑ u
• k < 1, alors

n

converge absolument,

n

diverge grossièrement, (même si : k = +∞)

• k = 1, on ne peut a priori rien dire.
Démonstration :
• Cas : 0 ≤ k < 1.
Soit : k < k’ < 1, et posons : ε = k’ – k > 0.
Alors : ∃ n0 ∈ , ∀ n ≥ n0,

u
u n +1
− k ≤ ε , et : n+1 ≤ ε + k = k ' , donc : u n +1 ≤ k '. u n .
un
un

Dans ce cas : ∀ n ≥ n0, u n ≤ ( k ' ) n − n0 . u n0 = C.( k ' ) n , et la série étant majorée à partir d’un certain rang,
par une série géométrique convergente est absolument convergente.
• Cas : 1 < k (éventuellement infini).
Comme précédemment, soit : 1 < k’ < k.
Alors, en adaptant la démonstration précédente : ∃ n0 ∈ , ∀ n ≥ n0, u n ≥ ( k ' ) n − n0 . u n0 , et le terme
général de la série tend alors vers +∞ donc la série diverge grossièrement.
Théorème 3.7 : exponentielle complexe
Soit : z ∈ .

zn
La série ∑
est absolument convergente.
n!
+∞
zn
On note alors : exp(z) = ∑
, et cette fonction coïncide avec l’exponentielle réelle sur .
n =0 n!
Démonstration :
Pour z nul, la série est évidemment convergente.
Pour : z ∈ *, la série est absolument convergente en utilisant la règle de d’Alembert.
+∞

Soit maintenant x un réel, non nul (car dans le cas où : x = 0, l’égalité : ex =

xn
est immédiate).

n =0 n!

Alors la formule de Taylor sur [0,x] (ou [x,0] si : x < 0) garantit que :
∀ N ∈ , ∃ cx,N ∈ ]0,x[ (ou ]x,0[), ex =

xn
x N +1
c
+
.e x , N .

( N + 1)!
n = 0 n!
N

Or comme cx,n reste dans l’intervalle ]0,x[ (ou ]x,0[), la quantité e
indépendant de n (par exemple : M = max(1,ex)).

Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet.

cx ,N

est majorée par un réel M

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