exos corrigé arithmétique .pdf



Nom original: exos corrigé arithmétique.pdfAuteur: Ouail

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par Microsoft® Word 2010, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 02/02/2015 à 11:50, depuis l'adresse IP 213.140.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 607 fois.
Taille du document: 1.5 Mo (35 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


‫متارين القسمة و املوافقات يف‬
‫التمرين ‪: 10‬‬
‫‪ .1‬أثبت أن العدد ‪ 151‬أولي‪.‬‬
‫‪ .1‬حلل العدد ‪ 1002‬إلى جداء عوامل أولية و استنتج األعداد الطبيعية التي مكعب كل منها يقسم ‪.1002‬‬
‫‪ ،‬علما ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫أن ‪) :‬‬
‫‪ .3‬عين األعداد الطبيعية ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 10‬‬
‫‪ .1‬أدرس تبعا لقيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي قسمة العدد‬
‫على ‪.7‬‬
‫‪ .1‬عين باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ .3‬عين قيم العدد الطبيعي ‪ n‬التي يكون من أجلها العدد )‬

‫على ‪.7‬‬
‫( قابال للقسمة على ‪.7‬‬

‫التمرين ‪: 13‬‬
‫‪ .1‬عين حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي قسمة العدد‬
‫‪ .1‬عين مجموعة األعداد الطبيعية ‪ n‬حيث ‪) :‬‬

‫على ‪.11‬‬
‫( يقبل القسمة على ‪.11‬‬

‫التمرين ‪: 10‬‬
‫على ‪.7‬‬

‫‪ .1‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي قسمة العدد‬
‫‪ .1‬أثبت أنّه من أجل كل عدد الطبيعي ‪ ، n‬العدد )‬
‫‪ .3‬عين قيم العدد الطبيعي ‪ n‬التي يكون من أجلها العدد )‬

‫( يقبل القسمة على ‪.7‬‬
‫( قابال للقسمة على ‪.7‬‬

‫التمرين ‪: 10‬‬
‫عيّن كل الثنائيات )‬
‫)‬
‫)‬

‫(‬
‫(‬

‫( من األعداد الطبيعية حيث ‪:‬‬
‫{) (‬

‫)‬

‫{) (‬

‫(‬
‫)‬

‫(‬

‫)‬
‫)‬

‫{) (‬

‫(‬

‫(‬

‫مع‬

‫التمرين ‪: 10‬‬
‫أعداد طبيعية غير معدومة حيث ‪:‬‬
‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫أن كل قاسم مشترك للعددين ‪ a‬و ‪ b‬يقسم ‪3‬‬
‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫إذا و فقط إذا‬
‫أن‬
‫(‬
‫‪ .3‬استنتج حسب قيم ‪) ، n‬‬
‫‪.‬‬
‫التمرين ‪: 17‬‬
‫أعداد طبيعية غير معدومة حيث ‪:‬‬
‫‪ .1‬بيّن أنّه إذا كان العددان ‪ a‬و ‪ b‬غير أوليين فيما بينهما ّ‬
‫فإن ‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬عيّن قيم ‪ n‬التي يكون من أجلها‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫) (‬

‫)‬

‫(‬

‫{) (‬

‫التمرين ‪: 18‬‬
‫أعداد طبيعية غير معدومة حيث ‪:‬‬
‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫( قاسم مشترك للعددين ‪ a‬و ‪b‬‬
‫أن العدد )‬
‫‪ .1‬باستعمال مبرهنة بيزو بيّن ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫أن‬
‫(‬
‫‪ .3‬استنتج )‬
‫‪.‬‬

‫و‬

‫(‬

‫)‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 19‬‬
‫عدد طبيعي‪ .‬نضع ‪:‬‬
‫‪ .1‬حلل ‪ A‬إلى جداء عاملين من الدرجة الثانية (الحظ ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫‪ .1‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬فردين‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫و)‬
‫أن كل قاسم مشترك للعددين ‪ a‬و ‪ b‬يقسم‬
‫ج‪ .‬بيّن ّ‬
‫أوليان فيما بينهما‬
‫أن العددين و‬
‫د‪ .‬استنتج ّ‬
‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬أوليان فيما بينهما‬
‫التمرين ‪: 01‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫أعداد طبيعية غير معدومة حيث ‪:‬‬
‫بيّن ّ‬
‫أن كل قاسم مشترك للعددين ‪ a‬و ‪ b‬يقسم‬
‫باستعمال خوارزمية إقليدس عيّن حال خاصا للمعادلة ‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫استنتج قيم ‪ n‬التي يكون من أجلها ‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ما هي قيم ‪ n‬التي يكون من أجلها ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ ،‬ثم حل في‬
‫‪.‬‬
‫؟‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫نعتبر في المعادلة ‪( ) :‬‬
‫‪ .1‬باستعمال خوارزمية إقليدس عيّن حال خاصا للمعادلة ) (‪ ،‬ثم حل في هذه المعادلة‬
‫( حال للمعادلة ) (‪ّ ،‬‬
‫فإن ‪:‬‬
‫‪ .1‬بيّن أنّه إذا كانت الثنائية )‬
‫(‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫‪ .3‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن القيم الممكنة للعدد ‪ d‬هي ‪ 1‬و ‪7‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫( حلول المعادلة ) ( بحيث‬
‫ب‪ .‬عيّن كل الثنائيات )‬
‫التمرين ‪: 00‬‬
‫‪ .1‬عيّن القاسم المشترك األكبر لألعداد ‪ 1497 ، 1991‬و ‪.1994‬‬
‫حيث ‪ x :‬و ‪ y‬عددان صحيحان‪.‬‬
‫–‪x‬‬
‫‪y=2‬‬
‫‪ .1‬نعتبر المعادلة ‪… ( ) :‬‬
‫أ‪ -‬أثبت ّ‬
‫أن ‪ x‬مضاعف للعدد ‪ 3‬و ‪ y‬مضاعف للعدد ‪ ، 1‬ث ّم حل المعادلة (‪.)1‬‬
‫‪.‬‬
‫ب‪ -‬عيّن الحلول )‪ (x,y‬بحيث يكون ‪:‬‬
‫التمرين ‪: 03‬‬
‫المعادلة ‪( ) :‬‬
‫‪ .1‬حل في‬
‫‪ .1‬ليكن ‪ d‬القاسم المشترك األكبر للعددين ‪ x‬و ‪ y‬حيث )‪ (x , y‬حل للمعادلة )‪(I‬‬
‫أ‪ -‬ما هي القيم الممكنة للعدد ‪ d‬؟‬
‫ب‪ -‬عيّن حلول المعادلة بحيث يكون‬
‫‪ .3‬عيّن الثنائيات )‪ (a , b‬الصحيحة حلول المعادلة ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫المعادلة ‪:‬‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫المعادلة ‪:‬‬
‫‪ .1‬حل في‬
‫‪ A .1‬عدد طبيعي يُكتب ̅̅̅̅ في النظام ذي األساس ‪ x‬و يُكتب ̅̅̅̅ في النظام ذي األساس ‪ y‬حيث‬
‫عيّن القيم الممكنة للعددين ‪ x‬و ‪ ، y‬ث ّم اكتب ‪ A‬في النظام العشري‪.‬‬
‫التمرين ‪: 00‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪.4‬‬

‫المعادلة ‪( ) :‬‬
‫حل في‬
‫و‬
‫( من األعداد الصحيحة تحقق ‪:‬‬
‫ليكن ‪ m‬عددا صحيحا بحيث توجد ثنائية )‬
‫( هي حل للمعادلة )‪ ، (I‬ث ّم استنتج ّ‬
‫أ‪ -‬بيّن ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫أن الثنائية )‬
‫ب‪ -‬عيّن أصغر عدد طبيعي ‪ m‬أكبر ‪1000‬‬
‫ليكن ‪ n‬عددا طبيعيا‬
‫أ‪ -‬أثبت أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ k‬لدينا ‪:‬‬
‫على ‪ 7‬؟‬
‫ب‪ -‬ما هو باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ ،‬و نعتبر العدد ‪ N‬الذي يكتب في النظام العشري على‬
‫و‬
‫ليكن ‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان حيث ‪:‬‬
‫الشكل ‪̅̅̅̅̅̅̅ :‬‬
‫)‬
‫(‪ .‬نريد تعيين من ضمن هذه األعداد الطبيعية ‪ N‬تلك التي تقبل القسمة على ‪7‬‬
‫أ‪ -‬تحقق من ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫ب‪ -‬استنتج األعداد الطبيعية ‪ N‬التي تقبل القسمة على ‪7‬‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫اختر اإلجابة الصحيحة مع التعليل ‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ .1‬في مجموعة األعداد الصحيحة ‪ ،‬المعادلة‬
‫(ب) حلولها زوجية‬
‫(أ) ال تقبل حلوال‬
‫أو‬
‫(د) حلولها تحقق‬
‫(جـ) حلولها تحقق‬
‫هي ‪:‬‬
‫‪ .1‬حلول المعادلة‬
‫(ب)‬
‫(أ)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(د) المجموعة الخالية‬
‫(جـ)‬
‫(‬
‫)‬
‫̅̅̅̅̅‬
‫‪ .‬كتابته في النظام ذي األساس ‪ 1‬هي ‪:‬‬
‫‪ N .3‬عدد طبيعي يُكتب في النظام ذي األساس ‪: 5‬‬
‫(ب) ̅̅̅̅̅‬
‫(أ) ̅̅̅̅̅‬
‫(د) ̅̅̅̅̅‬
‫(جـ) ̅̅̅̅̅‬
‫على العدد ‪ 3‬هو ‪:‬‬
‫‪ .4‬باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫(ب) ‪1‬‬
‫(أ) ‪0‬‬
‫(د) ‪3‬‬
‫(جـ) ‪1‬‬
‫ّ‬
‫‪ .‬بما ّ‬
‫(‬
‫‪ .5‬من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬نضع ‪) :‬‬
‫فإن )‬
‫أن‪:‬‬
‫(ب)‬
‫(أ) ‪n‬‬
‫(د) ‪2‬‬
‫(جـ)‬
‫التمرين ‪: 07‬‬
‫)‬

‫‪ b ، a‬عددان طبيعيان و ‪ p‬عدد طبيعي أولي حيث ‪:‬‬
‫‪ ،‬ث ّم استنتج ّ‬
‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫أن ‪ p‬يقسم ‪a‬‬
‫يقسم‬
‫أن‬
‫‪ ‬بطريقة مماثلة بيّن ّ‬
‫أن ‪ p‬يقسم ‪b‬‬
‫‪ ‬أثبت ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫أو‬
‫أن ‪:‬‬
‫= )‪PGCD (a + b ; ab‬‬
‫الجملة ‪:‬‬
‫‪ .1‬نعتبر في‬
‫)‪(E‬‬
‫‪PPCM (a ; b) = 2‬‬
‫‪ ‬بيّن ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫أن ‪:‬‬
‫و التي تحقق )‪.(E‬‬
‫‪ ‬عيّن كل الثنائيات )‪ (a , b‬في‬
‫‪3‬‬

‫(‬

‫(‬

‫هو ‪:‬‬

‫التمرين ‪: 08‬‬
‫‪،‬‬

‫‪ n‬عدد طبيعي ‪ ،‬نعتبر األعداد ‪:‬‬
‫‪ .1‬أحسب ‪c ، b‬‬
‫أن ‪ an‬و ‪ cn‬يقبالن القسمة على ‪ ، 3‬و ّ‬
‫‪ ‬بيّن ّ‬
‫أن ‪ b‬عدد أولي‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ ‬بيّن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬غير معدوم ‪:‬‬
‫استنتج تحليال إلى جداء عوامل أولية للعدد ‪a‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ ‬بيّن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬غير معدوم ‪) :‬‬
‫استنتج ّ‬
‫أن ‪ bn‬و ‪ cn‬أوليان فيما بينهما‬
‫المعادلة ) (‬
‫‪ .1‬نعتبر في المجموعة‬
‫‪ ‬بيّن ّ‬
‫أن المعادلة )‪ (E‬تقبل على األقل حال في‬
‫‪ ‬تحقق ّ‬
‫هذه المعادلة‪.‬‬
‫( حل للمعادلة )‪ ، (E‬ث ّم حل في‬‫أن ) ‪2‬‬
‫التمرين ‪: 09‬‬
‫ليكن ‪ n‬عددا طبيعيا‬
‫‪ .1‬برهن ّ‬
‫و‬
‫أن العددين‬
‫‪ .1‬عيّن قيم ‪ n‬حتى يقبل العدد‬
‫‪ .3‬استنتج أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ : n‬العدد‬

‫‪،‬‬

‫(‬

‫(‬

‫يقبالن القسمة على )‬
‫(‬
‫القسمة على )‬
‫ال يقبل القسمة على‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 01‬‬
‫‪ .1‬عيّن األعداد الطبيعية التي مربعاتها تقسم العدد ‪524‬‬
‫{‬

‫‪ .1‬عيّن العددين الطبيعيين ‪ a‬و ‪ b‬حيث ‪ b ˃ a‬اللذين يحققان ‪:‬‬
‫التمرين ‪: 00‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫‪n‬‬

‫أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليمية للعدد‬
‫استنتج باقي القسمة اإلقليمية على ‪ 10‬للعدد‬
‫)‬
‫برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬يكون ‪:‬‬
‫عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬حتى يكون ‪:‬‬

‫على ‪10‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ .1‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليمية للعدد‬
‫‪ .1‬برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ّ n‬‬
‫فإن العدد الطبيعي ‪ k‬حيث ‪:‬‬
‫يقبل القسمة على ‪11‬‬
‫‪ .3‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بحيث ‪:‬‬

‫على ‪11‬‬

‫التمرين ‪: 03‬‬
‫‪ .1‬عيّن )‪PGCD (2688 ; 3024‬‬
‫أ‪ .‬تحقق ّ‬
‫أن المعادلتين ) (‬
‫‪.1‬‬
‫ب‪ .‬تحقق ّ‬
‫أن )‪ ( ; -2‬حل خاص للمعادلة (‪)1‬‬

‫و ) (‬

‫متكافئتان‬

‫‪ .3‬نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ⃗⃗ ⃗ ⃗‬
‫) (‬
‫) ( و‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن المستويين )‪ (P‬و )'‪ (P‬يتقاطعان وفق مستقيم )‪(d‬‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن إحداثيات نقط )‪ (d‬تحقق المعادلة (‪ ، )1‬ث ّم استنتج )‪ (E‬مجموعة نقط )‪ (d‬التي إحداثياتها أعداد صحيحة‪.‬‬

‫( المستويين )‪ (P‬و )'‪ (P‬اللذين معادلتاهما على الترتيب‬

‫‪4‬‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫و‬
‫لتكن ‪ y ، x ، b ، a‬أربعة أعداد طبيعية غير معدومة حيث ‪:‬‬
‫‪ ،‬ث ّم استنتج أنه إذا كان ‪ a‬و ‪ b‬أوليين فيما بينهما ّ‬
‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫فإن ‪ x‬و ‪ y‬أوليان فيما بينهما‬
‫(‬
‫أن )‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‪.‬‬
‫و‬
‫( من األعداد الطبيعية بحيث ‪:‬‬
‫‪ .1‬عيّن الثنائيات )‬
‫التمرين ‪: 00‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان يُكتبان على الترتيب ̅̅̅̅̅̅̅ ‪،‬‬
‫‪ (2n‬يقسم كال من ‪ a‬و ‪ b‬و ّ‬
‫‪ .1‬برهن ّ‬
‫أن‬
‫أن )‬
‫المعادلة ‪:‬‬
‫‪ .‬حل في‬
‫‪ .1‬نأخذ‬

‫في نظام تعداد ذي األساس ‪ ، n‬و ليكن )‬
‫(‬
‫أو )‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫أ‪.‬‬

‫‪.1‬‬

‫ما هو باقي القسمة اإلقليمية للعدد‬

‫على ‪11‬؟ علل‪.‬‬
‫على ؟ علل‪.‬‬

‫ب‪ .‬ما هو باقي القسمة اإلقليمية للعدد‬
‫و ّ‬
‫ج‪ .‬استنتج ّ‬
‫أن‬
‫أن‬
‫د‪ .‬بيّن ّ‬
‫يقبل القسمة على ‪55‬‬
‫أن‬
‫‪ x .1‬و ‪ y‬عددان صحيحان‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن المعادلة التالية ليس لها حلول ‪( ) :‬‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن المعادلة التالية تقبل على األقل حال ‪( ) :‬‬
‫ج‪ .‬عيّن باستعمال خوارزمية إقليدس حال خاصا للمعادلة )'‪(E‬‬
‫د‪ .‬حل المعادلة )'‪ (E‬و استنتج وجود عدد طبيعي وحيد ‪ x‬أصغر من ‪ 40‬حيث ‪:‬‬
‫ّ‬
‫فإن ‪:‬‬
‫و‬
‫‪ .3‬من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، a‬بيّن أنّه إذا كان ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 07‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬

‫‪n‬‬

‫أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬باقي القسمة اإلقليمية للعدد على ‪11‬‬
‫على ‪ 11‬؟‬
‫ما هو باقي قسمة‬
‫قابال للقسمة على ‪11‬‬
‫أوجد قيم ‪ n‬الطبيعية بحيث يكون‬
‫أوجد األعداد الصحيحة ‪ β‬التي تحقق من أجل كل ‪ n‬من ‪:‬‬
‫| |‬
‫الصحيحة بحيث ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫بحيث ‪:‬‬
‫أوجد الثنائيات )‪ (x , y‬من‬

‫التمرين ‪: 08‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪.4‬‬

‫المعادلة ‪( ) :‬‬
‫حل في‬
‫ليكن ‪ n‬عددا طبيعيا غير معدوم‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫( هي حل للمعادلة )‪(E‬‬
‫أن الثنائية )‬
‫ب‪ .‬استنتج ّ‬
‫أوليان فيما بينهما‬
‫و‬
‫أن العددين‬
‫و‬
‫ليكن ‪ d‬هو القاسم المشترك األكبر للعددين ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن = ‪ d‬أو = ‪d‬‬
‫ب‪ .‬بيّن أنّه إذا كان ‪ّ d = 13‬‬
‫فإن‬
‫و‬
‫نضع ‪:‬‬
‫من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬حيث‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫( في المجموعة‬
‫أن العددين ‪ A‬و ‪ B‬يقبالن القسمة على )‬
‫ب‪ .‬جد حسب قيم ‪ n‬القاسم المشترك األكبر للعددين ‪ A‬و ‪.B‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ ،‬ث ّم استنتج قيم ‪β‬‬

‫التمرين ‪: 09‬‬
‫‪ .1‬نعتبر في مجموعة األعداد الصحيحة المعادلة ‪( ) :‬‬
‫أ‪ .‬برر ّ‬
‫أن المعادلة (‪ )1‬تقبل على األقل حال‬
‫ب‪ .‬عيّن مجموعة حلول المعادلة (‪ )1‬علما ّ‬
‫أن الثنائية )‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫و‬
‫أن ‪ 9‬يقسم‬
‫‪.1‬‬
‫ب‪ .‬بيّن أنّه مهما يكن الحل )‪ّ (n , m‬‬
‫)‬
‫فإن ‪:‬‬
‫و ّ‬
‫ج‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫يقسم‬
‫أن ‪:‬‬
‫)‬
‫استنتج وجود عددين صحيحين ‪ N‬و ‪ M‬بحيث ‪:‬‬
‫د‪ .‬بيّن ّ‬
‫و‬
‫أن كل قاسم مشترك للعددين‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫ه‪ .‬استنتج مما سبق )‬
‫التمرين ‪: 31‬‬
‫‪ ،‬نضع‬

‫)‬

‫(‬

‫( حل لها‬
‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫يقسم‬
‫(‬
‫يقسم ‪9‬‬

‫)‬

‫و‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ x‬و ‪ y‬عددان طبيعيان حيث‬
‫نريد تعيين ‪ x‬و ‪ y‬حيث ) (‬
‫‪ .1‬برهن أنّه إذا كانت الثنائية )‪ (x , y‬حال للمعادلة ( ) ّ‬
‫يكون قاسما للعدد ‪1000‬‬
‫فإن‬
‫‪ .1‬حلل العدد ‪ 1000‬إلى جداء عوامل أولية ‪ ،‬ث ّم استنتج القواسم المربعة التامة للعدد ‪1000‬‬
‫‪ .3‬برهن ّ‬
‫أن ‪ 5‬هو قاسم مشترك للعددين ‪ d‬و ‪ .m‬ما هي القيم الممكنة للعدد ‪ d‬؟‬
‫‪ .4‬استنتج القيم الممكنة للعددين ‪ x‬و ‪.y‬‬
‫التمرين ‪: 30‬‬
‫المعادلة ‪( ) :‬‬
‫نعتبر في المجموعة‬
‫‪ .1‬حلل إلى جداء عوامل أولية العدد ‪ ، 1001‬ث ّم استنتج أنّه إذا كانت الثنائية )‪ (x , y‬حال للمعادلة (‪ّ )1‬‬
‫فإن ‪ x‬مضاعف للعدد ‪59‬‬
‫‪ .1‬حل في المجموعة‬

‫المعادلة (‪)1‬‬

‫‪ .3‬عيّن الحلول )‪ (x , y‬للمعادلة (‪ )1‬التي تنتمي‬
‫‪ .4‬عيّن األعداد الطبيعية غير المعدومة ‪ a‬و ‪ b‬التي تحقق‬
‫(‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫و‬

‫)‬

‫حيث‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 30‬‬
‫‪n‬‬

‫و‬

‫‪n‬‬

‫على ‪7‬‬
‫قابال للقسمة على ‪7‬‬

‫‪ .1‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬باقي القسمة اإلقليمية لكل من العددين‬
‫‪ .1‬برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬يكون العدد‬
‫‪ .3‬من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ .‬أحسب بداللة ‪ n‬المجموع ‪ Sn‬حيث ‪:‬‬
‫ب‪ .‬ما هي قيم العدد الطبيعي ‪ n‬التي يكون من أجلها ‪ Sn‬قابال للقسمة على ‪.7‬‬
‫التمرين ‪: 33‬‬
‫المعادلة ‪( ) :‬‬
‫‪ .1‬نعتبر في المجموعة‬
‫أ‪ .‬عيّن حال خاصا للمعادلة (‪ ، )1‬ث ّم استنتج حال خاصا للمعادلة ) (‬
‫المعادلة (‪)1‬‬
‫ب‪ .‬حل في المجموعة‬
‫‪ .1‬برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬يكون العدد الطبيعي‬
‫‪ .3‬نعتبر في المجموعة‬

‫قابال للقسمة على ‪2‬‬

‫المعادلة ‪( ) :‬‬

‫حلول المعادلة (‪ ، )3‬ث ّم بيّن ّ‬
‫أن المعادلة (‪ )3‬تقبل حال وحيدا )‬
‫أ‪ .‬عيّن في المجموعة‬
‫)‬
‫(‪.‬‬
‫ب‪ .‬جد قيمة العدد الطبيعي‬
‫‪6‬‬

‫( من‬

‫يُطلب تعيينه‬

‫التمرين ‪: 30‬‬
‫‪ -1‬أدرس تبعا لقيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي قسمة‬
‫)‬
‫‪ -1‬بيّن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪: n‬‬
‫‪ -3‬عيّن العدد الطبيعي ‪ n‬بحيث ‪:‬‬
‫)‬
‫و‬

‫(‬

‫‪n‬‬

‫على ‪11‬‬
‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫( يقبل القسمة على ‪11‬‬

‫( يقبل القسمة على ‪11‬‬

‫‪n‬‬

‫التمرين ‪: 30‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان حيث ‪:‬‬
‫{‬
‫‪ .1‬أثبت أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬أوليان فيما بينهما‬
‫‪m ، y=2m‬‬‫‪، x= m‬‬
‫‪ .1‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ -‬عين عالقة بين ‪ x‬و ‪ y‬مستقلة عن العدد الطبيعي ‪m‬‬
‫ب‪ -‬نفرض أن ‪PGCD (x , y) = d‬‬
‫‪ ‬عين القيم الممكنة لـ ‪d‬‬
‫= ‪.d‬‬
‫‪ ‬عين الثنائيات )‪ (x , y‬حيث‬
‫التمرين ‪: 37‬‬
‫‪ -1‬أدرس تبعا لقيم العدد الطبيعي ‪ n‬باقي قسمة‬
‫‪ -1‬عيّن باقي قسمة‬

‫‪n‬‬

‫‪2n‬‬

‫على ‪5‬‬

‫على ‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 2‬على ‪ 5‬؟‬
‫‪ -3‬ما هو باقي قسمة‬
‫حيث ‪:‬‬
‫‪ -4‬ليكن العدد الطبيعي‬
‫‪ ‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بحيث‬

‫يقبل القسمة على ‪.5‬‬

‫التمرين ‪: 38‬‬
‫المعادلة ‪:‬‬
‫‪ .1‬حل في المجموعة‬
‫‪ .1‬استنتج األعداد الطبيعية ‪ A‬األصغر من ‪ 1000‬حيث باقي قسمة ‪ A‬على ‪ 13‬هو ‪ 1‬و باقي قسمة ‪ A‬على ‪ 17‬هو ‪2‬‬
‫‪ .3‬أكتب األعداد ‪ A‬المح ّ‬
‫صل عليها في النظام ذي الساس ‪.7‬‬
‫التمرين ‪: 39‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ -1‬أدرس تبعا لقيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ ‬استنتج أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، k‬يقبل العدد‬
‫‪ -1‬من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، n‬نضع ‪:‬‬
‫‪ ‬أثبت أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪، n‬‬
‫‪ ‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليدية للعدد‬

‫‪7‬‬

‫على ‪10‬‬
‫القسمة على ‪10‬‬

‫على ‪.10‬‬

‫التمرين ‪: 01‬‬
‫أرقام نظام التعداد ذو األساس ‪ 11‬هي ‪β ، α ، 9 ، 2 ، 7 ، 1 ، 5 ، 4 ، 3 ، 1 ، 1 ، 0 :‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫في النظام العشري‬
‫العدد المكتوب في النظام ذي األساس ‪ 11‬على الشكل ̅̅̅̅̅‪ .‬أكتب‬
‫ليكن‬
‫في النظام ذي األساس ‪11‬‬
‫العدد المكتوب في النظام العشري على الشكل ‪ .1131‬أكتب‬
‫ليكن‬
‫ليكن العدد المكتوب في النظام ذي األساس ‪ 11‬على الشكل ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫‪ ،‬ث ّم استنتج خاصية لقابلية القسمة على ‪ 3‬لعدد مكتوب في النظام ذي األساس ‪11‬‬
‫أن‬
‫في النظام ذي األساس ‪11‬‬
‫‪ ‬تأكد من ذلك باستعمال كتابة‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫‪ ،‬ث ّم استنتج خاصية لقابلية القسمة على ‪ 11‬لعدد مكتوب‬
‫أن‬
‫في النظام ذي األساس ‪11‬‬
‫في النظام ذي األساس ‪11‬‬
‫‪ ‬تأكد من ذلك باستعمال كتابة‬
‫نُذ ّكر أنّه إذا كان ‪ a‬و ‪ b‬أوليان فيما بينهما و كان ‪ N‬يقبل القسمة على ‪ a‬و ‪ّ b‬‬
‫فإن ‪ N‬يقبل القسمة على الجداء ‪ab‬‬
‫‪ ‬نعتبر ̅̅̅̅̅‬
‫‪ .‬عيّن قيم ‪ x‬و ‪ y‬التي من أجلها يكون ‪ N‬قابال للقسمة على ‪.33‬‬

‫التمرين ‪: 00‬‬
‫نعتبر في المجموعة‬

‫المعادلة ‪( ) :‬‬

‫‪ .1‬جد حال خاصا للمعادلة )‪ ، (E‬ث ّم حل في المجموعة‬

‫هذه المعادلة‬
‫{‬

‫‪ .1‬ليكن ‪ N‬عددا طبيعيا حيث يوجد عددان طبيعيان ‪ a‬و ‪ b‬يحققان ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫( حل للمعادلة )‪(E‬‬
‫أن الثنائية )‬
‫ب‪ .‬جد باقي القسمة اإلقليدية للعدد ‪ N‬على ‪4‬‬

‫المعادلة ‪:‬‬
‫‪ .3‬حل في المجموعة‬
‫‪ .4‬لالشتراك في رحلة ‪ ،‬دفع مجموعة أشخاص من الجنسين ‪ 100‬قطعة نقدية ‪ ،‬حيث دفع كل ذكر ‪ 2‬قطع نقدية و دفعت كل‬
‫أنثى ‪ 5‬قطع نقدية‪.‬‬
‫ما هو عدد الذكور و عدد اإلناث في هذه المجموعة ؟‬
‫التمرين ‪: 00‬‬
‫عدد طبيعي أكبر من أو يساوي ‪.1‬‬
‫‪ .‬بيّن ّ‬
‫أوليان فيما بينهما‬
‫أن العددين و‬
‫(‬
‫)‬
‫و‬
‫‪،‬‬
‫‪ .‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ .‬ما هي القيم الممكنة للعدد ‪ d‬؟‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن ‪ α‬و ‪ β‬مضاعفان للعدد ‪ 5‬إذا و فقط إذا كان )‬
‫‪ .‬نعتبر العددين ‪ a‬و ‪ b‬حيث ‪:‬‬
‫بيّن ّ‬
‫(‬
‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬يقبالن القسمة على )‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫‪ .4‬نضع ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن أنّ‬
‫(‬
‫ب‪ .‬استنتج )‬
‫ث ّم من أجل‬
‫من أجل‬
‫ج‪ .‬حدد ) (‬

‫‪8‬‬

‫( مضاعفا للعدد ‪5‬‬

‫‪.‬‬

‫مواضيع القسمة و املوافقات يف البكالوريا‬
‫التمرين ‪ : 10‬بكالوريا ‪ 0100‬ر‬
‫‪ )1‬نعتبر في‬

‫المعادلة ذات المجهول )‬

‫(التالية ‪( ) :‬‬

‫أ‪ .‬أثبت أن العدد ‪ 1011‬أولي‬
‫ب‪ .‬باستعمال خوارزمية إقليدس‪ ،‬عيّن حال خاصا )‬

‫( للمعادلة (‪ ، )1‬ث ّم حل المعادلة (‪)1‬‬
‫على ‪ ، 7‬ث ّم جد باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬

‫‪ )1‬أ‪ .‬عيّن حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫على ‪7‬‬
‫ب‪ .‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬التي من أجلها يكون ‪:‬‬
‫في نظام التعداد الذي أساسه ‪ 9‬حيث ‪:‬‬
‫‪ N )3‬عدد طبيعي يُكتب‬
‫( حل للمعادلة (‪)1‬‬
‫حسابية متزايدة تماما و )‬
‫عيّن ‪ ،‬و ‪ ،‬ث ّم اكتب ‪ N‬في النظام العشري‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫بهذا الترتيب تشكل حدودا متتابعة من متتالية‬

‫التمرين ‪ : 10‬بكالوريا ‪ 0100‬ر‬
‫)‪ (un‬هي المتتالية العددية المعرفة على‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫‪،‬‬
‫‪،‬‬
‫‪،‬‬
‫‪ )1‬أ‪ .‬احسب بواقي قسمة كل من‬
‫ب‪ .‬خ ّمن قيمة للعدد ‪ a‬و قيمة للعدد ‪ b‬بحيث‪:‬‬

‫و من أجل كل عدد طبيعي ‪، n‬‬
‫‪،‬‬

‫على ‪7‬‬
‫و‬

‫‪ )1‬أ‪ .‬برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪، n‬‬
‫ب‪ .‬برهن بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪، k‬‬

‫‪ ،‬ث ّم استنتج ّ‬
‫أن ‪:‬‬

‫‪ )3‬نضع من أجل كل عدد طبيعي ‪، n‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن المتتالية )‪ (vn‬هندسية ‪ ،‬يُطلب تعيين أساسها و حدها األول‬
‫ب‪ .‬أحسب بداللة ‪ n‬كال من ‪ un‬و ‪ Sn‬حيث ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪ : 13‬بكالوريا ‪ 0100‬ت ر‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي قسمة‬
‫على ‪ 11‬؟‬
‫ما هو باقي قسمة‬
‫برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، n‬العدد )‬
‫عيّن األعداد الطبيعية ‪ n‬بحيث يكون العدد )‬

‫على ‪11‬‬
‫( يقبل القسمة على ‪11‬‬
‫( مضاعفا للعدد ‪.11‬‬

‫‪9‬‬

‫التمرين ‪ : 10‬بكالوريا ‪ 0100‬ت ر‬
‫{ حيث ‪ x‬عدد صحيح )‬

‫نسمي )‪ (S‬المجلة التالية ‪:‬‬

‫(‬

‫‪ .1‬بيّن ّ‬
‫أن العدد ‪ 153‬حل للجملة )‪(S‬‬
‫‪ .1‬إذا كان‬

‫حال لـ )‪ ، (S‬بيّن ّ‬
‫أن ‪ ) :‬حل لـ ) (( يكافئ )‬

‫(‬

‫‪ .3‬حل الجملة )‪(S‬‬
‫‪ .4‬يُريد مكتبي وضع عدد من الكتب في علب ‪ ،‬فإذا استعمل علبا تتسع لـ ‪ 15‬كتاب بقي لديه ‪ 3‬كتب ‪ ،‬و إذا استعمل علبا‬
‫تتسع لـ ‪ 7‬كتب بقي لديه ‪ 1‬كتب‪ .‬إذا علمت ّ‬
‫أن عدد الكتب التي بحوزته محصور بين ‪ 500‬و ‪ 100‬كتاب ‪ ،‬ما هو عدد هذه‬
‫الكتب ؟‬
‫التمرين ‪ : 10‬بكالوريا ‪ 0100‬ر‬
‫)‪ (un‬متتالية حسابية متزايدة تماما حدودها أعداد طبيعية تحقق‪:‬‬
‫= ‪u‬‬
‫‪m+d= 2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫حيث ‪:‬‬

‫) ‪m = PPCM (u ,u‬‬
‫) ‪d = PGCD (u ,u‬‬

‫عيّن الحدين ‪ u‬و ‪ ، u‬ث ّم استنتج ‪u‬‬
‫أكتب )‪ (un‬بداللة ‪ ، n‬ث ّم بيّن ّ‬
‫أن ‪ 1010 :‬حد من حدود )‪ (un‬و عيّن رتبته‬
‫عيّن الحد الذي ابتدا ًء منه يكون مجموع ‪ 5‬حدود متعاقبة من )‪ (un‬يساوي ‪10020‬‬
‫‪ n‬عدد طبيعي غير معدوم‪.‬‬
‫…‬
‫‪S=u +u +u +‬‬
‫أ‪ -‬أحسب بداللة ‪ n‬المجموع ‪ S‬حيث ‪+ u2n :‬‬
‫ب‪ -‬استنتج بداللة ‪ n‬المجموعين ‪ S‬و ‪ S‬حيث ‪S = u + u + u + … + u2n :‬‬
‫‪S = u + u + u + … + u2n‬‬‫و‬

‫التمرين ‪ : 10‬بكالوريا ‪ 0100‬ر‬
‫‪ .1‬نعتبر المعادلة ‪x – y = - … (E) :‬‬

‫حيث ‪ x :‬و ‪ y‬عددان صحيحان‪ .‬ح ّل المعادلة )‪(E‬‬

‫‪ .1‬عيّن األعداد الصحيحة النسبية ‪ a‬بحيث ‪:‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ .3‬ادرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ ، n‬بواقي القسمة اإلقليدية للعدد على كل من ‪ 7‬و ‪13‬‬
‫‪ .4‬ليكن العدد الطبيعي ‪ b‬المكتوب في نظام التعداد ذي األساس ‪ 9‬كما يلي ‪ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ :‬حيث ‪ α :‬و ‪ β‬عددان طبيعيان ‪،‬‬
‫‪ .‬عيّن ‪ α‬و ‪ β‬حتى يكون ‪ b‬قابال للقسمة على ‪.91‬‬

‫التمرين ‪ : 17‬بكالوريا ‪ 0100‬ت ر‬
‫أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير في كل حالة من الحاالت اآلتية ‪:‬‬
‫‪ 2 x‬ال تقبل حلوال في مجموعة األعداد الصحيحة‬
‫‪ .1‬المعادلة = ‪y‬‬
‫‪ .1‬في نظام التعداد ذي األساس ‪ 7‬يكون ‪̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫على ‪ 7‬هو ‪1 :‬‬
‫…‪+‬‬
‫‪ .3‬باقي القسمة اإلقليدية للعدد ‪:‬‬
‫‪11‬‬

‫التمرين ‪ : 18‬بكالوريا ‪ 0100‬ت ر‬
‫من أجل كل عدد طبيعي ‪ n‬نضع ‪:‬‬
‫‪ .1‬تحقّق ّ‬
‫أن ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪An = 2‬‬

‫‪ ،‬ث ّم بيّن ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ .1‬ادرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ ، n‬بواقي القسمة اإلقليدية لكل من العددين ‪ 2‬و على ‪7‬‬
‫‪ .3‬بيّن أنّه إذا كان ‪ n‬فرديا ّ‬
‫‪ An‬يقبل القسمة على ‪ 7‬و استنتج باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫فإن ‪:‬‬
‫‪ A‬على ‪ 7‬؟‬
‫‪ .4‬ما هو باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬

‫‪ A‬على ‪7‬‬

‫التمرين ‪ : 19‬بكالوريا ‪ 0101‬ر‬
‫‪ ، x‬حيث ‪ x :‬و ‪ y‬عددان صحيحان‪.‬‬
‫‪y=2‬‬
‫‪ .1‬نعتبر المعادلة ‪… ( ) :‬‬
‫أ‪ -‬بيّن أنّه إذا كانت الثنائية )‪ (x , y‬حال للمعادلة ) ( ّ‬
‫فإن ‪ y‬مضاعف للعدد ‪7‬‬
‫ب‪ -‬حل المعادلة (‪)1‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ .1‬ادرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ ، n‬بواقي القسمة اإلقليدية لكل من العددين ‪ 2‬على ‪9‬‬
‫‪ .3‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بحيث يقبل العدد ‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 2‬القسمة على ‪9‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ .4‬نضع من أجل كل عدد طبيعي ‪un = 2 – : n‬‬
‫أ‪ -‬تحقّق ّ‬
‫أن ‪ un‬يقبل القسمة على ‪9‬‬
‫)‬
‫) (‬
‫( ذات المجهول )‪ ، (x , y‬حيث ‪ x :‬و ‪ y‬عددان‬
‫ب‪ -‬حل المعادلة ‪( ) :‬‬
‫صحيحان‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ت‪ -‬عيّن الثنائية ) ‪ (x , y‬حل المعادلة (‪ )1‬حيث ‪ x‬و ‪ y‬عددان طبيعيان مع‬
‫التمرين ‪ : 01‬بكالوريا ‪ 0101‬ر‬
‫‪n‬‬

‫‪ .1‬برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، n‬العدد‬
‫‪ .1‬استنتج أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪ ، n‬يقبل كل من العددين‬
‫–‬

‫‪n‬‬

‫يقبل القسمة على ‪13‬‬
‫–‬

‫‪n+‬‬

‫و‬

‫–‬

‫‪n+2‬‬

‫على ‪ ، 13‬و استنتج باقي قسمة‬

‫القسمة على ‪13‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .3‬عيّن حسب قيم ‪ ، n‬باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ .4‬نضع من أجل كل عدد طبيعي ‪: p‬‬
‫على ‪13‬‬
‫أ‪ .‬من أجل ‪ ، p = n‬عيّن باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫ب‪ .‬برهن أنّه إذا كان ‪ّ ، p = n +‬‬
‫يقبل القسمة على ‪13‬‬
‫فإن‬
‫على ‪ 13‬من أجل ‪p = n + 2‬‬
‫ج‪ .‬عيّن باقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ .5‬يكتب العددان الطبيعيان ‪ a‬و ‪ b‬في نظام العد ذي األساس ‪ 3‬كما يلي ‪:‬‬
‫و ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬
‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬
‫أ‪ .‬تحقق ّ‬
‫في النظام العشري‬
‫أن العددين الطبيعيين ‪ a‬و ‪ b‬يكتبان على الشكل‬
‫ب‪ .‬استنتج باقي القسمة اإلقليدية لكل من العددين ‪ a‬و ‪ b‬على ‪.13‬‬

‫‪ 2‬على ‪13‬‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪ 0101‬ت ر‬
‫نعتبر العدد الطبيعي ‪ n‬الذي يكتب في نظام العد ذي األساس ‪ 7‬كما يلي ‪̅̅̅̅̅̅̅̅̅ :‬‬

‫حيث ‪ α‬عدد طبيعي‬

‫‪ .1‬عيّن ‪ α‬حتى يكون ‪ n‬قابال للقسمة على ‪3‬‬
‫‪ .1‬عيّن العدد ‪ α‬حتى يكون ‪ n‬قابال للقسمة على ‪ .5‬استنتج قيمة ‪ α‬حتى يكون ‪ n‬قابال للقسمة على ‪15‬‬
‫‪ .3‬نأخذ = ‪ ، α‬أكتب العدد ‪ n‬في النظام العشري‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪ 0101‬ت ر‬
‫‪ .1‬عيّن حسب قيم العدد الطبيعي ‪ ، n‬بواقي القسمة اإلقليدية للعدد‬
‫‪ .1‬تحقّق ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫أن ‪:‬‬
‫‪ .3‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بحيث يكون ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫على ‪13‬‬
‫‪.‬‬

‫التمرين ‪ : 03‬بكالوريا ‪ 0119‬ر‬
‫‪ x‬عدد طبيعي أكبر من ‪ 1‬و ‪ y‬عدد طبيعي‪ A .‬عدد طبيعي يكتب في نظام التعداد ذي األساس ‪ x‬بالشكل ̅̅̅̅̅̅̅‬
‫( ‪ ،‬ث ّم أوجد عالقة تربط بين ‪ x‬و ‪ y‬إذا علمت ّ‬
‫(‬
‫()‬
‫أن )‬
‫()‬
‫‪ .1‬أ‪ .‬أنشر العبارة )‬
‫ب‪ .‬أحسب ‪ x‬و ‪ y‬إذا علمت ّ‬
‫أن ‪ x‬عدد أولي أصغر من ‪ ، 11‬ث ّم اكتب تبعا لذلك العدد ‪ A‬في نظام التعداد العشري‬
‫‪ .1‬أ‪ .‬عيّن األعداد الطبيعية التي مربعاتها تقسم العدد ‪524‬‬
‫التي تحقق ‪:‬‬
‫ب‪ .‬عيّن األعداد الطبيعية ‪ a‬و ‪ b‬حيث‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪ 0119‬ت ر‬
‫‪ .1‬أ‪ .‬عيّن األعداد الطبيعية التي مربع كل منها يقسم ‪1009‬‬
‫‪ u‬و ‪ a‬عددان طبيعيان غير معدومين ‪ (un) ،‬متتالية هندسية أساسها ‪ a‬و حدها األول‬

‫‪ u‬بحيث ‪:‬‬

‫ب‪ .‬أحسب ‪ a‬و ‪u‬‬
‫‪ a‬و ‪ ، u = 2‬أحسب ‪ un‬بداللة ‪n‬‬
‫‪ .1‬نضع‬
‫‪ .3‬نضع‬
‫أ‪ .‬عبّر عن ‪ Sn‬بداللة ‪n‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫ب‪ .‬عيّن العدد الطبيعي ‪ n‬حتى يكون‬
‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪ 0119‬ت ر‬
‫(‬
‫‪ .1‬حل المعادلة التفاضلية ‪) :‬‬
‫‪ .1‬نسمي ‪ f‬الحل الخاص لهذه المعادلة الذي يحقق = ) ( ‪ ، f‬عيّن عبارة )‪f (x‬‬
‫‪ n .3‬عدد طبيعي‪.‬‬
‫‪n‬‬

‫‪.4‬‬

‫أ‪ .‬أدرس بواقي القسمة اإلقليدية على ‪ 7‬للعدد ‪2‬‬
‫ب‪ .‬استنتج باقي القسمة اإلقليدية على ‪ 7‬للعدد – )‪f (2009‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫أ‪ .‬أحسب بداللة ‪ n‬المجموع ‪ Sn‬حيث ) (‬
‫ب‪ .‬عيّن قيم العدد الطبيعي ‪ n‬التي يقبل من أجلها ‪ Sn‬القسمة على ‪7‬‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪ 0118‬ر‬
‫نعتبر المعادلة )‪ (E‬ذات المجهولين الصحيحين ‪ x‬و ‪ y‬حيث ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن )‪ (E‬تقبل حلوال في‬
‫‪.1‬‬
‫حال للمعادلة )‪ّ (E‬‬
‫فإن‬
‫ب‪ .‬أثبت أنه إذا كانت الثنائية )‪ (x , y‬من‬
‫‪.1‬‬

‫‪ .‬استنتج حلول المعادلة )‪(E‬‬

‫‪n‬‬

‫أ‪ .‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليدية للعدد على ‪7‬‬
‫التي هي حلول للمعادلة )‪ (E‬و تحقق‬
‫ب‪ .‬عيّن الثنائيات )‪ (x , y‬من‬

‫‪12‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪ : 07‬بكالوريا ‪ 0118‬ت ر‬
‫‪ n‬عدد طبيعي أكبر من ‪.5‬‬
‫‪b = 2n‬‬
‫‪ a .1‬و ‪ b‬عددان طبيعيان حيث ‪ a = n - 2 :‬و‬
‫أ‪ .‬ما هي القيم الممكنة للقاسم المشترك األكبر للعددين ‪ a‬و ‪ b‬؟‬
‫ب‪ .‬بيّن ّ‬
‫‪ n‬مضاعفا للعدد ‪7‬‬
‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬من مضاعفات ‪ 7‬إذا و فقط إذا كان‬
‫ج‪ .‬عيّن قيم ‪ n‬التي يكون من أجلها = )‪PGCD (a ; b‬‬
‫و‬
‫‪ .1‬نعتبر العددين الطبيعيين ‪ p‬و ‪ q‬حيث ‪:‬‬
‫أ‪ .‬بيّن ّ‬
‫أن كل العددين ‪ p‬و ‪ q‬يقبل القسمة على – ‪n‬‬
‫ب‪ .‬عيّن تبعا لقيم ‪ n‬و بداللة ‪.PGCD (p ; q) ، n‬‬
‫التمرين ‪ : 08‬بكالوريا ‪ 0118‬ت ر‬
‫نعتبر المعادلة ذات المجهولين الصحيحين ‪ x‬و ‪( ) : y‬‬
‫‪ .1‬تأكد ّ‬
‫أن الثنائية ) ‪ ( 2‬حل للمعادلة )‪(I‬‬
‫أ‪ -‬حل المعادلة )‪(I‬‬
‫‪ .1‬عيّن الثنائيات )‪ (a , b‬الصحيحة حلول المعادلة ‪( ) :‬‬
‫‪ .3‬استنتج الثنائيات ) ‪ (x , y‬حلول المعادلة )‪ (I‬بحيث ‪ x‬و ‪ y‬مربعين تامين‪.‬‬
‫التمرين ‪ : 09‬بكالوريا ‪0117‬‬
‫و‬
‫‪،‬‬
‫‪ n‬عدد طبيعي أكبر تماما من ‪ ، 1‬و نعتبر األعداد الطبيعية ‪:‬‬
‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬أوليان فيما بينهما و استنتج ّ‬
‫‪ .1‬أثبت ّ‬
‫أن األعداد ‪ b ، a‬و ‪ c‬أولية فيما بينها‬
‫‪ .1‬عيّن تبعا لقيم العدد ‪ n‬قيمة القاسم المشترك األكبر للعددين ‪ b‬و ‪c‬‬
‫= )‪PPCM (b ; c‬‬
‫‪ .3‬عيّن قيمة ‪ n‬بحيث يكون ‪ PGCD (b ; c) = :‬و‬
‫في نظام العد الذي أساسه ‪a‬‬
‫‪ .4‬أكتب العدد‬
‫‪ .5‬نفرض ّ‬
‫أن )‪ (a ; b ; c‬هي إحداثيات نقطة ‪ ω‬في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس ) ⃗⃗ ⃗ ⃗‬
‫أ‪ -‬بيّن ّ‬
‫أن النقطة ‪ ω‬تنتمي إلى مستقيم (‪ )Δ‬يطلب تعيينه‬
‫ب‪ -‬أكتب معادلة للمستوي )‪ (P‬الذي يشمل المبدأ ‪ O‬و يحوي المستقيم (‪.)Δ‬‬
‫التمرين ‪ : 01‬بكالوريا ‪0110‬‬
‫و‬
‫‪ n‬عدد طبيعي ‪ ،‬و نعتبر العددين الطبيعيين ‪:‬‬
‫‪ .1‬برهن ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫أن )‬
‫(‬
‫‪ .1‬استنتج القيم الممكنة لـ )‬
‫‪ a .3‬و ‪ b‬عددان طبيعيان يُكتبان في نظام العد الذي أساسه ‪ n‬على الشكل ‪̅̅̅̅̅̅̅ :‬‬
‫أ‪ .‬برهن ّ‬
‫أن العدد ‪ n 2‬قاسم مشترك للعددين ‪ a‬و ‪b‬‬
‫ب‪ .‬استنتج تبعا لقيم ‪ّ n‬‬
‫(‬
‫أن )‬
‫هو ‪ n 2‬أو )‪2( n 2‬‬
‫ج‪ .‬عيّن العددين ‪ α‬و ‪ β‬علما ّ‬
‫(‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫أن‬

‫(‬

‫و ̅̅̅̅̅‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪0110‬‬
‫المعادلة ) (‬
‫ليكن ‪ λ‬عددا صحيحا و نعتبر في المجموعة‬
‫‪ .1‬تحقق ّ‬
‫( حل للمعادلة (‪ )1‬و اعط مجموعة حلول هذه المعادلة‬
‫أن )‬
‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬
‫و يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪5‬‬
‫‪ n .1‬عدد طبيعي يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪ 1‬على الشكل ‪:‬‬
‫على الشكل ̅̅̅̅̅̅̅̅ ‪ ،‬حيث ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬أعداد طبيعية‬
‫أ‪ .‬تحقق ّ‬
‫أن‬
‫ب‪ .‬عيّن األعداد ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و اكتب العدد ‪ n‬في النظام العشري‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪0113‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ α .1‬و ‪ β‬عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما و ‪ .α ˃ β‬عيّن ‪ α‬و ‪ β‬بحيث يكون ‪:‬‬
‫‪ (un) .1‬متتالية هندسية ح ّدها األول ‪ u‬و أساسها ‪ q‬حيث ‪ u‬و ‪ q‬عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما و ‪q ˃ u‬‬
‫أ‪ .‬عيّن ‪ u‬و ‪ q‬إذا علمت ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫ب‪ .‬أحسب بداللة ‪ n‬المجموع ‪:‬‬
‫القسمة على ‪.30‬‬
‫ج‪ .‬عيّن قيم ‪ n‬بحيث يقبل العدد‬
‫التمرين ‪ : 03‬بكالوريا ‪0110‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ α .1‬و ‪ β‬عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما‪ .‬عيّن ‪ α‬و ‪ β‬بحيث يكون ‪:‬‬
‫‪ d ، c ، b ، a .1‬و‪ e‬أعداد طبيعية غير معدومة تشكل بهذا الترتيب حدودا متتابعة لمتتالية هندسية أساسها ‪q‬‬
‫عيّن هذه األعداد إذا علمت أن العددين ‪ a‬و ‪ q‬عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما و ّ‬
‫‪.‬‬
‫أن‬
‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪0110‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫(‬

‫عيّن )‬
‫المعادلة ) (‬
‫حل في المجموعة‬
‫|‬
‫عيّن مجموعة الثنائيات )‪ (x ; y‬حلول المعادلة (‪ )1‬التي تحقق‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان طبيعيان يُكتبان في نظام ع ّد أساسه ‪ α‬على الشكل ‪̅̅̅̅ :‬‬
‫و ̅̅̅̅̅‬
‫أساسه ‪ β‬على الشكل ‪̅̅̅̅ :‬‬
‫‪ .‬عيّن ‪ α‬و ‪ β‬ث ّم ‪ a‬و ‪.b‬‬

‫|‬
‫و ̅̅̅̅̅‬

‫و يُكتبان في نظام ع ّد‬

‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪0111‬‬
‫المعادلة ) (‬
‫‪ .1‬حل في المجموعة‬
‫المعادلة ) (‬
‫‪ .1‬نعتبر في المجموعة‬
‫فإن ‪ x‬مضاعف للعدد ‪ 1‬و ّ‬
‫أ‪ .‬بيّن أنّه إذا كان )‪ (x ; y‬حال للمعادلة (‪ّ )1‬‬
‫أن ‪ y‬مضاعف للعدد ‪5‬‬
‫ب‪ .‬عيّن مجموعة حلول المعادلة (‪)1‬‬
‫‪ n .3‬عدد طبيعي يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪ 9‬على الشكل ‪ ̅̅̅̅̅̅̅ :‬و يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪ 7‬على الشكل‬
‫̅̅̅̅̅̅̅ ‪ ،‬حيث ‪ α‬و ‪ β‬عددان طبيعيان‬
‫(الحظ ّ‬
‫أن )‬

‫( ح ّل خاص)‬

‫عيّن العددين ‪ α‬و ‪ β‬و اكتب العدد ‪ n‬في النظام العشري‪.‬‬
‫التمرين ‪ : 00‬بكالوريا ‪0990‬‬
‫‪ .1‬حلل كال من العددين ‪ 1995‬و ‪ 105‬إلى جداء عوامل أولية‬
‫= ‪αβ‬‬
‫المعادلة‬
‫‪ α .1‬و ‪ β‬عددان طبيعيان حيث ‪ .α ˂ β‬حل في المجموعة‬
‫‪ a .3‬و ‪ b‬عددان طبيعيان غير معدومين و غير أوليين فيما بينهما بحيث ‪.a ˂ b‬‬
‫حيث ‪ d‬هو )‪ PGCD (a ; b‬و ‪ m‬هو )‪.PPCM (a ; b‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪m‬‬
‫عيّن ‪ a‬و ‪ b‬بحيث يكون ‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫التمرين ‪ : 07‬بكالوريا ‪0990‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ .1‬أدرس حسب قيم العدد الطبيعي ‪ n‬بواقي القسمة اإلقليمية للعدد ‪ 2‬على ‪ .10‬استنتج رقم آحاد العدد‬
‫‪n‬‬

‫‪ (un) .1‬متتالية عددية مع ّرفة من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم ‪ n‬بـ ‪un = 2 :‬‬
‫أ‪ .‬تحقق ّ‬
‫أن )‪ (un‬هندسية‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫(‬
‫ب‪ .‬احسب بداللة ‪ n‬العدد ‪) :‬‬
‫ج‪ .‬أوجد قيم العدد ‪ n‬بحيث يكون العدد مضاعفا للعدد ‪.10‬‬

‫‪14‬‬

‫)‬

‫(‬

‫التمرين ‪ : 08‬بكالوريا ‪0990‬‬
‫‪xy‬‬
‫و عيّن مجموعة الحلول )‪ (x ; y‬التي تحقق‬
‫المعادلة‬
‫‪ .1‬حل في المجموعة‬
‫‪ n .1‬عدد طبيعي يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪ 5‬على الشكل ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ و يُكتب في نظام الع ّد الذي أساسه ‪ 7‬على الشكل‬
‫̅̅̅̅̅̅̅ ‪ ،‬حيث ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬أعداد طبيعية‬
‫عيّن األعداد ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و اكتب العدد ‪ n‬في النظام العشري‪.‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪15‬‬

‫حلول متارين القسمة و املوافقات‬
‫التمرين ‪:10‬‬
‫بما ّ‬
‫أن العدد ‪ 152‬ال يقبل القسمة على كل من ‪ 22 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1‬و ‪ 23‬فهو إذن أولي‬

‫√‬

‫األعداد الطبيعية التي مكعب كل منها يقسم ‪ 1002‬هي ‪ 2‬و ‪1‬‬
‫(‬

‫}‬

‫]‬

‫{‬

‫مستحيل ألن‬

‫و‬

‫(‬

‫([‬
‫(‬

‫√‬

‫عددان صحيحان‬

‫(‬

‫√‬
‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫]‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫([‬
‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫التمرين ‪:12‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫التمرين ‪:13‬‬
‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫]‬
‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫التمرين ‪:14‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫طريقة ثانية‪ :‬ل ّما يكون معامل المجهول في الطرف األول للمعادلة (‪ )5‬أوليا مع الترديد (‪ ،)7‬نضيف الترديد إلى الطرف الثاني للمعادلة (‪)3‬‬
‫حتى نحصل على عدد قابل للقسمة على معامل المجهول ‪ ،‬فيكون حل المعادلة كالتالي‪:‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫التمرين ‪:15‬‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫)‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫الحالة األولى‬
‫الحالة الثانية‬
‫مالحظة‪ :‬الحالتان‬

‫{و‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫{‬

‫({‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫({‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬
‫{‬

‫(‬
‫{‬

‫(‬

‫{ مرفوضتان ألن‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫}‬
‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫}‬
‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫{‬

‫التمرين ‪:16‬‬
‫(‬
‫و‬
‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫(‬

‫{‬

‫] [‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬
‫(‬

‫] [‬
‫(‬

‫التمرين ‪:17‬‬
‫(‬
‫و‬
‫إذا كان العددان ‪ a‬و ‪ b‬غير أوليين فيما بينهما فإن‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫] [‬
‫] [‬

‫‪ d ‬منه ‪d = 19‬‬
‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫التمرين ‪:18‬‬

‫العدد‬

‫( قاسم مشترك للعددين‬

‫و‬

‫)حسب نظرية بيزو(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫]‬

‫)حسب نظرية بيزو(‬
‫([‬

‫]‬

‫( [‬

‫(‬

‫(‬

‫⏟‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫التمرين ‪:19‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫أن جداء عددين متتابعين هو عدد زوجي ‪ّ ،‬‬
‫بما ّ‬
‫فإن العددين‬

‫و‬
‫(‬

‫)حسب نظرية بيزو(‬
‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫( زوجيان ‪ ،‬و منه يكون العددان ‪ a‬و ‪ b‬فرديين‬

‫و‬

‫(‬

‫و‬
‫(‬

‫(‬

‫أن العددين ‪ a‬و ‪ b‬فرديان ‪ ،‬نستنتج ّ‬
‫بما ّ‬
‫أن‬

‫و‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫و‬

‫‪‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ ،‬منه العددان أوليان فيما بينهما‪.‬‬

‫التمرين ‪:01‬‬

‫و‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫] (‬

‫(‬

‫[‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫}‬

‫{‬

‫(‬
‫({‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫(‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫(‬

‫) زوجي(‬

‫التمرين ‪:00‬‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫[‬

‫]‬

‫(‬

‫(‬

‫] (‬

‫(‬

‫[‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫}‬
‫(‬
‫] [‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫و‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫(‬
‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫التمرين ‪:02‬‬
‫(‬
‫(‬
‫] [‬

‫{‬

‫(‬

‫] [‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫(‬
‫({‬

‫}‬
‫(‬

‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬

‫)مرفوضة(‬

‫(‬

‫التمرين ‪:03‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫}‬

‫] [‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬
‫أو‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫و‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫{‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬
‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫}‬
‫(‬
‫نالحظ أنّه إذا كانت الثنائية‬
‫فقط ‪ ،‬و بالتالي يكون‬

‫(‪،‬‬

‫( حال للمعادلة ‪ ،‬فكذلك الثنائيات‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫( ‪ ،‬لذا سنبحث عن الثنائية الموجبة‬

‫(و‬

‫(‬

‫{‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫التمرين ‪:04‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫̅̅̅̅‬
‫̅̅̅̅‬

‫{‬

‫{‬

‫أو‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫{‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬

‫التمرين ‪:05‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬
‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫}‬
‫(‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬
‫(‬

‫] [‬

‫̅̅̅̅̅̅̅‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫] [‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫] [‬
‫(‬

‫(‬

‫] [‬
‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫}‬

‫(‬
‫{‬

‫التمرين ‪: 06‬‬
‫(‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫الجواب د( ] [‬
‫الجواب أ(‬

‫(‬

‫(‬

‫أو ] [‬

‫الجواب جـ( ̅̅̅̅̅‬

‫(‬

‫(‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫(‬
‫] [‬

‫الجواب ب( ] [‬
‫(‬

‫الجواب جـ( )بيزو(‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 07‬‬
‫ّ‬
‫)ألن‬

‫أولي(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫ّ‬
‫)ألن‬

‫أولي(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫{‬

‫}‬

‫{‬

‫بما ّ‬
‫أن ‪ p‬يقسم ‪ a‬و يقسم ‪ b‬و هو يختلف عن ‪ 2‬ألنّه أولي ‪ ،‬إذن‬
‫)مرفوض ّ‬
‫ألن‬

‫(‬
‫(‬

‫ال يقسم‬

‫{‬
‫(‬

‫‪ ،‬منه‬
‫{‬

‫(‬
‫أو‬

‫{‬

‫أو‬

‫(‬
‫{‬

‫{‬

‫(‬
‫}‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫({‬
‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 08‬‬
‫‪،‬‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫‪،‬‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫‪‬‬

‫√‬

‫بما ّ‬
‫أن العدد ‪ 2111‬ال يقبل القسمة على أي من األعداد التالية }‬
‫فهو إذن أولي‪.‬‬
‫(‬

‫{ ‪،‬‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫أو‬
‫بما ّ‬
‫أن العدد‬

‫أولي ‪ ،‬إذن‬

‫منه‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬

‫أن العدد ‪ 2111‬أولي ‪ّ ،‬‬
‫بما ّ‬
‫فإن‬
‫(‬

‫‪ ،‬منه المعادلة )‪ (E‬تقبل على األقل حال في‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫({‬

‫}‬
‫التمرين ‪: 09‬‬
‫( يقبل القسمة على‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫( يقبل القسمة على‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫)مستحيل(‬

‫‪‬‬

‫)مستحيل(‬
‫نستنتج إذا ّ‬
‫أن العدد‬

‫ال يقبل القسمة على العدد‬

‫التمرين ‪: 21‬‬
‫األعداد التي مربعاتها تقسم العدد ‪ 525‬هي ‪ 2‬و ‪1‬‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫{‬
‫(‬

‫}‬

‫({‬

‫(‬
‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫‪‬‬

‫{‬
‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 20‬‬
‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬
‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫(‬

‫فردي ‪ ،‬فإنّ ]‬

‫بما أنّ العدد‬
‫أي ] [‬

‫أو ]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫⏟‬

‫]‬

‫[‬

‫⏟‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫⏟‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬

‫‪ ،‬نستنتج أنّ الموافقة السابقة تتحقق لمّا ]‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 22‬‬

‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫}‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫{‬
‫{‬

‫}‬
‫التمرين ‪: 23‬‬
‫(‬
‫(‬

‫)بعد القسمة على‬

‫(‬

‫(‬

‫( حل خاص للمعادلة‬

‫الثنائية‬

‫أ‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫⃗⃗⃗‬
‫{‬

‫نستنتج ّ‬
‫أن إحداثيات نقط‬

‫( تحقق المعادلة (‪)1‬‬

‫(‬
‫( ⃗⃗⃗‬

‫⃗‬
‫{‬

‫ب‬

‫(‬

‫(⃗‬
‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫نستنتج ّ‬
‫أن مجموعة نقط‬

‫( {‬

‫( التي إحداثياتها أعداد صحيحة هي ‪} :‬‬

‫{‬

‫(‬

‫( حيث‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 24‬‬
‫(‬

‫(‬
‫{‬
‫(‬
‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬
‫و‬

‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫(‬
‫{‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬

‫طبيعي(‬

‫)مرفوض ألن العدد‬

‫({‬
‫{‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫{‬
‫{‬

‫{‬

‫التمرين ‪: 25‬‬
‫̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅̅̅‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫⏟‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫( حل خاص للمعادلة‬

‫نالحظ ّ‬
‫أن الثنائية‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫التمرين ‪: 26‬‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫(‬
‫] [‬
‫[‬

‫[‬
‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬

‫]‬

‫] [‬
‫(]‬

‫(‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫] [‬
‫] [‬

‫[‬

‫{ ‪.‬د‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬
‫‪.‬ج‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬
‫‪.‬ج‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫ال يقسم‬
‫المعادلة تقبل على األقل حال‬

‫(‬

‫[‬

‫]‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫}‬

‫({‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫{ ‪.‬د‬

‫(‬

‫]‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫(‬

‫[‬

‫التمرين ‪: 27‬‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬
‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬
‫]‬

‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫]‬

‫أو‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫أو ]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫| |‬
‫}‬
‫]‬

‫( }‬

‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫{‬
‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫{‬

‫}‬

‫[‬

‫]‬

‫({‬

‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬

‫التمرين ‪: 28‬‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫)بيزو(‬

‫(‬
‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬
‫(‬

‫أو‬
‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫(‬

‫[‬
‫[‬

‫{‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫بما ّ‬
‫أن العدين‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫أوليان فيما بينهما ‪ّ ،‬‬
‫فإن ‪:‬‬

‫و‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫و منه نستنتج ّ‬
‫أن‪:‬‬
‫(‬

‫(‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫التمرين ‪: 29‬‬

‫(‬
‫(‬

‫المعادلة تقبل على األقل حال‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫}‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫طريقة ثانية ‪:‬‬
‫(‬

‫({‬

‫] [‬

‫(‬

‫(‬

‫{ ‪.‬ب‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬

‫( ‪.‬ب‬

‫)‬
‫)‬
‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬ج‬
‫(‬

‫(‬

‫و)‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{ ‪.‬د‬

‫(‬

‫{ ‪.‬ه‬

‫التمرين ‪: 31‬‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫القواسم المربعة التامة للعدد ‪ 1000‬هي ‪10 - 20 - 5 - 5 - 1 - 2 :‬‬

‫)ألن‬

‫عدد أولي(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫{‬

‫}‬
‫ليس مربع تام(‬

‫)مرفوض ألن العدد‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫ليس مربع تام(‬

‫)مرفوض ألن العدد‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 30‬‬

‫(‬
‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫}‬

‫{‬
‫{ أو )مرفوض ألن‬

‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬

‫ال يقسم‬

‫{‬

‫{‬
‫{‬

‫(‬
‫}‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 32‬‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫)‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬
‫)‬

‫] [‬

‫(‬

‫(‬

‫] [‬

‫‪.‬أ‬

‫(‬

‫(‬

‫] [‬

‫] [‬

‫‪.‬ب‬

‫] [‬
‫] [‬
‫] [‬
‫] [‬
‫التمرين ‪: 33‬‬
‫(‬

‫(‬
‫( حل خاص للمعادلة‬

‫الثنائية‬
‫الثنائية‬
‫(‬

‫(‬

‫( حل خاص للمعادلة‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫}‬

‫{ ‪.‬ب‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬

‫(‬

‫({‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫}‬

‫] [‬

‫({‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫(‬

‫التمرين ‪: 34‬‬
‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫{‬

‫[‬

‫{‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫{‬

‫{‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫[‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫{‬

‫التمرين ‪: 35‬‬
‫(‬
‫(‬

‫(⃗‬

‫⃗⃗⃗ ⃗‬

‫(‬
‫|‬

‫√‬

‫(‬

‫√‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫( ⃗⃗⃗‬

‫|‬

‫(‬

‫)‬

‫√‬

‫(‬

‫⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(⃗‬
‫(‬

‫)‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫{‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫متزايدة‬

‫(‬

‫(‬
‫)‬

‫متناقصة‬
‫(‬

‫‪‬‬

‫(‬

‫(‬

‫‪.‬ج‬

‫(‬
‫(‬

‫‪‬‬

‫أصغرية‬
‫(‬

‫‪.‬د‬

‫(‬

‫(‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬
‫مجموعة النقط‬

‫و‬
‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫{‬

‫( التي تكون إحداثياتها أعدادا طبيعية هي ‪:‬‬

‫من المستقيم‬

‫أول حل طبيعي هو ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫(‬

‫حيث‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪: 36‬‬
‫{‬
‫(‬

‫)بيزو(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬
‫أو‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬
‫[‬

‫‪‬‬

‫و‬
‫]‬
‫]‬

‫{‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫{‬

‫[‬
‫[‬

‫‪‬‬

‫{‬
‫(‬

‫(‬
‫التمرين ‪: 37‬‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫(‬

‫] [‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬

‫التمرين ‪:38‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫({‬

‫̅̅̅̅‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫̅̅̅̅̅̅̅‬
‫̅̅̅̅̅̅̅‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫التمرين ‪: 39‬‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬
‫[‬

‫]‬

‫[‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫[‬
‫]‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬

‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫التمرين ‪: 41‬‬
‫̅̅̅̅̅‬
‫̅̅̅̅̅‬
‫]‬

‫[‬

‫⏟‬

‫⏟‬
‫]‬

‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬

‫]‬

‫[‬

‫أ‬

‫[‬

‫(‬

‫] [‬
‫نتيجة ‪ :‬يقبل عدد القسمة على ‪ 3‬إذا كان رقم آحاده في النظام ذي األساس ‪ 21‬مضاعفا لـ‪3‬‬
‫(] [‬
‫]‬
‫]‬

‫[‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫] [‬
‫]‬

‫]‬

‫[‬

‫[‬

‫ب‬

‫[‬

‫نتيجة ‪ :‬يقبل عدد القسمة على ‪ 22‬إذا كان مجموع أرقامه في النظام ذي األساس ‪ 21‬مضاعفا لـ‪22‬‬
‫(]‬
‫}‬
‫]‬

‫{‬
‫[‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫[‬
‫] [‬

‫{‬

‫]‬

‫{‬

‫[‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫] [‬
‫] [‬
‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫(‬

‫[‬
‫[‬
‫[‬

‫]‬

‫{‬

‫]‬
‫]‬
‫]‬

‫]‬
‫[‬

‫[‬
‫[‬
‫[‬

‫[‬
‫]‬

‫[‬

‫̅̅̅̅̅‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫التمرين ‪: 40‬‬
‫(‬
‫( حل خاص للمعادلة‬

‫الثنائية‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫}‬

‫(‬
‫({‬
‫{‬

‫( حل للمعادلة‬

‫الثنائية‬

‫(‬
‫] [‬

‫(‬

‫}‬
‫}‬

‫(‬

‫({‬

‫({‬
‫}‬

‫(‬

‫‪.‬أ‬
‫‪.‬ب‬

‫(‬

‫{‬

‫(‬
‫{‬

‫{‬

‫و‬

‫{‬

‫التمرين ‪: 42‬‬
‫(‬

‫)بيزو(‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬
‫و‬
‫] [‬
‫] [‬

‫] [‬

‫] [‬
‫(‬

‫] [‬
‫] [‬

‫{‬

‫{‬

‫(‬

‫(‬

‫]‬

‫( [‬

‫(‬

‫(‬

‫{ ‪.‬ب‬

‫(‬
‫]‬

‫(‬

‫(‬

‫و‬

‫] [‬
‫] [‬

‫‪.‬أ‬

‫( [‬
‫و‬

‫و‬

‫‪.‬أ‬
‫(‬

‫و‬

‫و‬
‫(‬

‫(‬

‫]‬

‫(‬
‫(‬

‫( [‬

‫(‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫(‬
‫(‬
‫(‬

‫(‬

‫‪.‬ب‬

‫(‬
‫(‬

‫(‬
‫(‬

‫‪.‬ج‬


Aperçu du document exos corrigé arithmétique.pdf - page 1/35

 
exos corrigé arithmétique.pdf - page 3/35
exos corrigé arithmétique.pdf - page 4/35
exos corrigé arithmétique.pdf - page 5/35
exos corrigé arithmétique.pdf - page 6/35
 




Télécharger le fichier (PDF)


Télécharger
Formats alternatifs: ZIP Texte



Documents similaires


9 exrcices de diagramme de classe
livres mathematique
exercices algorithmiques 2 corriges
pdf full
adresses de sites maths
merise ex

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.029s