exocomplex .pdf



Nom original: exocomplex.pdfAuteur: Laid

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 04/02/2015 à 18:43, depuis l'adresse IP 105.235.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 470 fois.
Taille du document: 3.1 Mo (10 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫التمرين‪: 12‬عين ‪ Re  z ‬و ‪ Im  z ‬فً كل خالٌ من‬
‫‪3‬‬
‫الخاِت التاليٌ ‪ z  3  2i :‬؛ ‪ z  1  3i‬؛‬
‫‪3‬‬
‫‪ z  i  3 2‬؛ ‪ z  5  7‬؛ ‪. z  i 3‬‬

‫‪ z 1  3  2i  2‬؛ ‪ z 2  2i  2  5‬؛‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬
‫‪5‬‬

‫التمرين‪ z :14‬عدد مركب خيث ‪:‬‬

‫‪z   x  x   i  x 2  y  1‬‬
‫‪2‬‬

‫عين العددين الخقيقيين ‪ x‬و ‪ y‬ختٍ يكون ‪ z‬معدوما ‪.‬‬
‫التمرين ‪ A 1 5‬نقطٌ من المستوي ِخقتوا العدد المركب‬
‫‪ a  1  2i‬؛ عيّن العدد المركب ‪ z‬بخيث تكون صورتى‬
‫‪ M‬نظيرة النقطٌ ‪ A‬بالنسبٌ إلٍ ‪:‬‬
‫ـ خامل مخور الفواصل ؛‬
‫ـ مبدأ المعلم ؛‬
‫ـ المنصف األول ‪.‬‬
‫ـ خامل مخور التراتيب ؛‬
‫‪ )1‬بدون إجراء الخساب برر أن ‪ z 1  z 2‬هو عدد خقيقً و‬
‫‪ z 1  z 2‬هو عدد تذيلً صرف ‪.‬‬
‫‪ )2‬أخسب ‪ z 1  z 2‬و ‪ z 1  z 2‬ثم استنتح الشكل الجبري للعدد‬
‫المركب ‪. z 1‬‬
‫المعادِت ذات‬
‫التمرين‪ 1 6‬خل فً المجموعٌ‬
‫المجوول ‪ z‬التاليٌ (تعطٍ الخلول علٍ الشكل الجبري)‬
‫أ ) ‪. 1  i  z  3  i‬ب ) ‪. 3z  2  i  1  i  z 1  2i‬‬
‫‪.‬هـ ) ‪. 2z  1  i‬‬

‫‪z 1‬‬
‫ع ) ‪ .  2z  1  i   i z  i  2   0‬ي ) ‪ i‬‬
‫‪z 1‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين ‪06‬أكتب بدِلٌ ‪ َ z‬مرافق األعداد المركبٌ ‪Z‬‬
‫ب ) ‪. Z   2  iz 1  3z ‬‬
‫التاليٌ ‪:‬أ) ‪. Z  2  3iz‬‬

‫‪2  iz‬‬
‫جـ )‬
‫‪z 2‬‬

‫‪.Z ‬‬

‫‪i‬‬
‫ب ـ أكتب علٍ الشكل الجبري العدد المركب ‪. z ' ‬‬
‫‪z‬‬
‫التمرين‪:09‬نعتبر العدد المركب ‪z  2  i‬‬

‫أكتب علٍ الشكل الجبري العدد المركب ' ‪ z‬المعرف فً كل من‬
‫‪1 i‬‬
‫الخاِت المقترخٌ التاليٌ ‪) 1:‬‬
‫‪‬‬
‫‪z z‬‬
‫‪1  3i 3  2i‬‬
‫‪1  2i 3  i‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪) 3 .z '‬‬
‫‪z '‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ z3 ‬؛‬
‫‪ z2 ‬؛ ‪) 6‬‬
‫‪ ) 5 z1  ) 4‬؛‬
‫‪i‬‬
‫‪1 i‬‬
‫‪3i 2‬‬

‫‪.z '‬‬

‫‪ z 3  3  3  2i 3‬؛ ‪. z 1   2i  i 3‬‬

‫‪z 1‬‬
‫جـ ) ‪.  3  4i  z 2  iz‬د ) ‪ 2i‬‬
‫‪z 1‬‬

‫أ ـ أخسب ‪. z  z‬‬

‫‪ z ‬؛‬

‫التمرين‪ : 13‬من بين األعداد المركبٌ التاليٌ َ عيّن األعداد‬
‫المكتوبٌ علٍ شكلوا الجبري ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫التمرين‪ :08‬نعتبر العدد المركب ‪z  3  4i‬‬

‫د ) ‪. Z  z 3  iz 2  3z  3i‬‬

‫‪5  15i‬‬
‫‪4  6i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪ z1 ‬؛ ‪) 9‬‬
‫‪)8 . z 4 ‬‬
‫‪1  2i‬‬
‫‪3  2i‬‬
‫‪3i  5‬‬
‫‪1 i‬‬
‫‪1 i‬‬
‫‪. z4 ‬‬
‫‪ z 3 ‬؛ ‪) 11‬‬
‫‪)10‬؛‬
‫‪1 i‬‬
‫‪3i 2‬‬

‫‪z2 ‬‬

‫التمرين‪ :10‬أكتب مرافق لكل من األعداد المركبٌ التاليٌ علٍ الشكل‬
‫‪3i‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ z 2  1  2i ‬؛‬
‫‪1 i‬‬

‫الجبري ‪ z 1  1  i  2  i  .‬؛‬
‫‪4‬‬

‫‪z3 ‬‬

‫‪ 1  3i ‬‬

‫‪. z4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2i ‬‬

‫التمرين‪:11‬أثبت أنى من أجل كل عدد خقيقً ‪َ ‬‬
‫‪cos   i sin ‬‬
‫‪ cos 2  i sin 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪cos   i sin ‬‬
‫التمرين‪:12‬خل فً المجموعٌ المعادِت ذات المجوول ‪ z‬التاليٌ ‪:‬‬
‫‪z 3‬‬
‫ب ) ‪3i  0‬‬
‫أ ) ‪. 3z  5  2i  0‬‬
‫‪2  5i‬‬
‫‪iz  3‬‬
‫جـ ) ‪ 2  i‬‬
‫‪.‬‬
‫‪z 1‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين‪ B َ A :13‬و ‪ C‬النقط ذات اللواخق ‪1  3i َ 3  2i‬‬
‫و ‪ 2  2i‬علٍ الترتيب ‪.‬‬

‫أ ـ عين ِخقٌ النقطٌ ‪ I‬منتصف القطعٌ ‪.  AB ‬‬
‫ب ـ عين ِخقٌ المرجد ‪ G‬للجملٌ المثقلٌ‬
‫‪.  A , 2 ;  B ,  3 ; C ,5‬‬

‫التمرين‪ C َ B َ A :07‬و ‪ D‬أربع نقط من المستوي لواخقوا التمرين‪ B َ A :14‬و ‪ C‬ثّث نقط من المستوي لواخقوا علٍ‬
‫الترتيب ‪ 2  i َ 2  i‬و ‪. i‬‬
‫علٍ الترتيب ‪ 3  2i َ 1  4i َ 2  i‬و ‪. 2  i‬‬
‫عين ِخقٌ النقطٌ ‪ D‬ختٍ تكون النقطٌ ‪ A‬مركز ثقل المثلث ‪BCD‬‬
‫برهن أن الرباعً ‪ A BCD‬هو متوازي أضّع ‪.‬‬
‫التمرين‪:15‬نضع ‪. z 3  3  3i َ z 2  2  4i َ z 1  5  2i‬‬
‫‪ z B , z A‬و ‪ z C‬هً علٍ الترتيب َ لواخق النقط‬

‫‪‬‬

‫‪3 ;1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ B  3 ;  1 َ A‬و ‪ C  0;2‬عين ِخقٌ النقطٌ‬

‫‪ D‬ختٍ يكون الرباعً ‪ A BCD‬متوازي أضّع ‪.‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪ Re  2z 1  z 2  z 3  , Re  z 1  z 2  z 3 ‬و‬

‫‪ 01/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫التمرين‪:16‬من أجل كل عدد مركب ‪ َ z‬نضع ‪:‬‬
‫‪ f  z   z 2  z‬خيث ‪ z  x  y i‬مع ‪ x‬و ‪ y‬عددين‬
‫أن ‪Re f  z   x 2  y 2  x :‬‬
‫خقيقيين ‪ .‬برهن ّ‬

‫و ‪. Im f  z   y  2x  1‬‬
‫التمرين‪ z C َ z B , z A :17‬و ‪ z D‬هً علٍ الترتيب َ لواخق‬
‫النقط ‪3 ;1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 3;3 ‬‬

‫‪D‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪C  0;2 َ B  3 ;  1 َ A‬‬

‫‪.‬‬
‫و‬
‫‪ )1‬أخسب ‪, z A‬‬

‫‪. Re z 2  z 1  z 3 ‬‬
‫‪ )2‬أخسب ‪َ Im  z 1  3iz 3 ‬‬

‫) أخسب ‪  4‬ثم استنتح ‪. ‬‬
‫‪ )3‬عين مجموعٌ النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ العدد المركب ‪ z‬خيث‬
‫‪. z  6‬‬
‫التمرين‪ z :24‬عدد مركب غير معدوم ‪.‬‬
‫أ ـ باستعمال البرهان بالتراجع َ أثبت أنّى من أجل كل عدد طبيعً‬
‫غير معدوم ‪. arg  z n   n arg  z  َ n‬‬

‫‪ z B‬و ‪ . z C‬ماذا يمكنك أن تستنتح ؟‬

‫‪ )2‬ما هً طبيعٌ الرباعً ‪ A OCD‬؟‬
‫التمرين‪:18‬نعتبر النقط ‪ B َ A‬و ‪ C‬ذات اللواخق ‪َ z 1  2‬‬
‫‪ z 2  i‬و ‪. z 3  1  2i‬‬

‫استنتح أنّى من أجل كل عدد صخيد غير معدوم ‪َ n‬‬
‫‪. arg  z n   n arg  z ‬‬
‫التمرين‪ z :25‬عدد مركب غير معدوم طويلتى ‪ r‬و ‪ ‬عمدة لى ‪.‬‬
‫ج د الطويلٌ وعمدة لكل من األعداد المركبٌ التاليٌ ‪:‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪ z 3  z 1 , z 2  z 1‬و ‪. z 3  z 2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫؛ ‪ z3‬؛‬
‫‪ z‬؛ ‪ z‬؛‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬

‫‪ )2‬استنتح طبيعٌ المثلث ‪. A BC‬‬
‫التمرين‪:19‬نعتبر األعداد المركبٌ ‪َ z 2  2  4i َ z 1  5  2i‬‬
‫و ‪. z 3  3  3i‬‬
‫أخسب ‪ z 1  z 2  z 3 َ z 2 َ z 1 :‬و ‪. z 1z 2z 3‬‬

‫ب ) ‪. 3z  2‬جـ ) ‪. z  2 Re  z   0‬‬
‫‪2‬‬

‫ثم م ّثل مجموعٌ النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ‬
‫التمرين‪:21‬عيّن ّ‬
‫المركب ‪ z‬الذي يخقق المساواة المقترخٌ ‪.‬‬
‫أ ـ ‪. z  1  2i  z  4‬‬

‫ب ـ ‪. z  3i  2‬‬

‫جـ ـ ‪2z  i  2‬‬

‫التمرين‪:22‬المطلوب كتابة األعداد المركبة المقترحة‬
‫على شكلوا المثلّثي‬

‫‪‬‬

‫‪3 i‬‬

‫‪‬‬

‫‪َ z 1   2  2i ‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3 i‬‬

‫‪6‬‬
‫‪1 i‬‬

‫‪. z4 ‬‬

‫‪3i‬‬
‫‪2  2i 3‬‬

‫‪َ z3 ‬‬

‫‪4  4i‬‬
‫‪1 i 3‬‬

‫‪. Z ‬‬

‫‪ )1‬أكتب العدد المركب ‪ Z‬علٍ الشكل الجبري‬
‫‪ )2‬أكتب العدد المركب ‪ Z‬علٍ الشكل المثلثً ‪.‬‬

‫‪. n‬‬

‫‪‬‬

‫‪ z‬عدد مركب غير معدوم طويلتى ‪ r‬و ‪ ‬عمدة لى ‪.‬‬
‫‪7 z‬‬
‫؛ ‪2iz‬‬
‫جد الطويلٌ وعمدة لكل من األعداد المركبٌ التاليٌ ‪:‬‬
‫؛‬
‫‪z‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ iz ‬‬
‫؛ ‪  iz ‬؛ ‪ iz 5‬؛ ‪  ‬مع‬
‫‪r ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. n‬‬

‫التمرين‪ :26‬فً كل خالٌ من الخاِت المقترخٌ أدناه َ عين الطويلٌ‬
‫وعمدة للعدد المركب ‪. z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫أ ـ ‪ . z  4  cos  i sin ‬ب ـ ‪. z  3  cos  i sin ‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫جـ ـ ‪ . z  5  sin  i cos ‬د ـ ‪. z  sin  i cos‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫التمرين‪ :27‬فً كل خالٌ من الخاِت التاليٌ مثل مجموعٌ النقط ذات‬
‫الّخقٌ العدد المركب ‪ z‬الذي يخقق المساواة المقترخٌ‬
‫‪3‬‬
‫‪ z  ‬‬
‫‪. Arg ‬‬
‫أـ‬
‫‪ . A rg  iz  ‬ب ـ ‪ ‬‬
‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 1 i ‬‬

‫جـ ـ ‪Arg  z   Arg  z ‬‬

‫‪َ z2 ‬‬

‫التمرين‪:23‬نعتبر العدد المركب‬

‫مع‬

‫‪n‬‬

‫التمرين‪:20‬فً كل خالٌ من الخاِت التاليٌ َ عيّن مجموعٌ‬
‫النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ العدد المركب ‪ z‬الذي يخقق المساواة‬
‫المقترخٌ ‪.‬‬
‫أ )‪z  2‬‬

‫‪ Imz 2  z 1z 3 ‬و ‪. Im  z 1z 2z 3 ‬‬

‫‪‬‬
‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪2e‬‬

‫َ‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬

‫َ ‪ e i‬و‬

‫‪5‬‬
‫‪i‬‬
‫‪6‬‬

‫‪. 2e‬‬

‫التمرين‪ :28‬أكتب علٍ الشكل الجبري كل من األعداد المركبٌ التاليٌ‬
‫‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ 6e‬؛‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪5e‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫؛ ‪ e i‬؛‬

‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪. 2 3e‬‬

‫سً ‪.‬‬
‫التمرين‪:29‬أكتب األعداد المركبٌ التاليٌ علٍ الشكل األ ّ‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ z 1  2  2i‬؛ ‪ z 2  3 3  3i‬؛ ‪ z 3  i‬؛ ‪. z 4  1‬‬

‫‪ 02/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )3‬أكتب علٍ الشكل المثلّثً األعداد ‪:‬‬
‫‪Z‬‬

‫َ ‪ Z 2009‬و ‪. Z‬‬

‫التمرين‪ Z 30‬عدد مركب خيث‬
‫‪2  6i‬‬
‫‪2 1  i ‬‬

‫أخسب كّ من األعداد المركبٌ التاليٌ ‪ Z 6 :‬؛ ‪ Z 12‬و ‪Z 2010‬‬
‫تعطٍ النتاُح علٍ الشكل الجبري ‪.‬‬

‫التمرين‪ 31‬خل فً‬
‫التاليٌ ‪:‬‬

‫كّ من المعادِت ذات المجوول ‪z‬‬

‫‪. 2z 2  6z  5  0 ) 1‬‬

‫‪. z 2  5z  9  0 )2‬‬

‫‪. z 2  z 1  0 ) 3‬‬
‫‪. z 2  z 1 ) 5‬‬

‫‪. z 2  2z  3  0 )4‬‬
‫‪. z 2 3 0 ) 6‬‬

‫) ‪. z 2  8 3z  64  0 )7‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ z 1  e‬؛‬

‫‪‬‬

‫‪8‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪ z 2  3e‬؛‬

‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ z 3   2e‬؛ ‪. z 4   e i ‬‬
‫‪‬‬

‫التمرين‪:37‬تعطٍ األعداد المركبٌ ‪:‬‬

‫‪Z ‬‬

‫‪2 2 0 ) 8‬‬

‫سيا لكل من األعداد المركبٌ التاليٌ ‪.‬‬
‫التمرين‪:36‬عين شكّ أ ّ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. z 2  2 1 2 z  2‬‬

‫‪ z 2  2  cos  z  1  0 )9‬خيث ‪ ‬عدد خقيقً ‪.‬‬
‫‪ z 2  2 sin   z  1  0 ) 10‬خيث ‪ ‬عدد خقيقً ‪.‬‬
‫التمرين‪:32‬خل فً‬

‫‪2‬‬

‫الجملٌ ذات المجوول ‪  z 1 ; z 2 ‬التاليٌ‬

‫‪ z 1z 2  5‬‬
‫‪:‬‬
‫‪z 1  z 2  2‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪, z1 e‬‬

‫و ‪. z 3  2e‬‬
‫سيا لكل من األعداد المركبٌ التا ليٌ ‪ z 1z 2 .‬؛ ‪ z 1z 2 z 3‬؛‬
‫عين شكّ أ ّ‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ z 3z 1z 2‬؛ ‪ z 13‬؛ ‪ z 34‬؛ ‪ 1‬؛ ‪ 2‬؛‬
‫‪z3‬‬
‫‪z3 z2‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين‪:38‬أعط شكّ أسيّا لكل من األعداد المركبٌ التاليٌ ‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬
‫‪2 e‬‬

‫‪‬‬

‫‪ z 1  2 3  6i e‬؛‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪3 i 3 e‬‬

‫‪‬‬

‫‪ z2 ‬؛‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z 3  1 ‬؛ ‪. z 4  3  cos  i sin ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫التمرين‪ :39‬فً كل خالٌ من الخاِت التاليٌ أكتب العدد المركب ‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫سً ثم استنتح الشكل الجبري لكل من ‪ z‬و ‪.‬‬
‫علٍ الشكل األ ّ‬
‫‪z‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫ب ـ ‪. z  1 i 3‬‬
‫‪. z ‬‬
‫أـ‬
‫‪1 i‬‬

‫‪‬‬

‫جـ ـ‬

‫‪‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫دـ‬

‫‪. z  3ie‬‬

‫‪‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪5‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫التمرين‪ T :40‬التخويل النقطً فً المستوي يرفق بكل نقطٌ ‪M‬‬
‫ذات اإلخداثيتين ‪ َ  x ; y ‬النقطٌ ' ‪ M‬ذات اإلخداثيتين ‪ x '; y '‬‬

‫التمرين‪:33‬خل فً‬
‫كّ من المعادلتين ذات المجوول ‪z‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫التاليتين ‪:‬أ ـ ‪. z  3z  2  0‬‬

‫‪ )1‬عيّن إخداثيتً صورة النقطٌ ‪. A  1;1‬‬

‫‪ )2‬استنتح الخلين فً‬

‫‪.  iz  3i  3  2  iz  3i  3  2  0‬‬
‫‪2‬‬

‫التمرين‪ T :35‬التخويل النقطً فً المستوي يرفق بكل نقطٌ‬
‫‪ M‬ذات اإلخداثيتين ‪ َ  x ; y ‬النقطٌ ' ‪ M‬ذات اإلخداثيتين‬
‫‪ x '  3x  4 y  12‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x '; y '‬خيث‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫'‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪ّ )1‬عن مجموعٌ النقطٌ صامدة بالتخويل ‪. T‬‬
‫‪ )2‬أثبت أنّى من أجل كل نقطٌ ‪ M‬من المستوي َ صورتوا‬
‫' ‪ M‬تنتمً إلٍ مستقيم ثابت يطلب تعيينى ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪z  2 3  2i‬‬

‫التمرين‪ :09‬جد العددين المركبين ‪ ‬و ‪ ‬خيث المعادلٌ‬
‫‪ z 2   z    0‬تقبل الخلين ‪ 1  2i‬و ‪. 3  5i‬‬

‫للمعادلٌ‬

‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪z 2  3e‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ x '  3x  2 y  1‬‬
‫خيث ‪:‬‬
‫‪ y '  5x  3 y‬‬

‫ب ـ ‪. z 4  32z 2 144  0‬‬
‫التمرين‪ )1 :34‬خل فً المعادلٌ ‪ . z 2  2z  2  0‬عين‬
‫الطويلٌ وعمدة لكل من الخلين لوذه المعادلٌ ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪ )2‬عيّن إخداثيتً سابقٌ النقطٌ ‪. B  2;3‬‬
‫‪ )3‬عيّن مجموعٌ النقط الصامدة بالتخويل ‪T‬‬

‫الموجى َ ‪ A MN‬هو مثلث متساوي الساقين‬
‫التمرين‪:41‬فً المستوي‬
‫ّ‬
‫‪‬‬
‫وقاُم فً ‪ A‬خيث ‪.  A M , A N  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪N1‬‬
‫مرجد النقطتين المثقلتين ‪  A , 2‬و ‪.  N ,  1‬‬
‫ّ‬

‫‪ B‬نقطٌ متمايزة عن النقط ‪ N َ M َ A‬و ‪. N 1‬‬
‫‪ T‬صورة المثلث ‪ AMN 1‬بالدوران ذي المركز ‪ B‬والزاويٌ‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫أن المثلثين ‪ A MN‬و ‪ T‬متقايسان ‪.‬‬
‫أنجز شكّ ‪ .‬وبرهن ّ‬
‫التمرين‪    :42‬مستقيم ثابت ‪ A .‬نقطٌ ثابتٌ ِ تنتمً إلٍ‬
‫المستقيم ‪ .   ‬من أجل كل نقطٌ ‪ M‬من ‪ َ   ‬نرسم النقطٌ ‪N‬‬
‫منتصف القطعٌ ‪.  AM ‬‬

‫‪ 03/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫‪.‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫األعداد المركبة‬

‫تمارين تطبيقية‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫‪ )3‬أثبت أنّى إذا كانت النقطٌ ‪ M‬غير صامدة و ' ‪ M‬صورتوا‬
‫فإن منتصف القطعٌ ‪  MM '‬ينتمً إلٍ مستقيم‬
‫بالتخويل ‪ّ T‬‬

‫ما هو المخل الوندسً للنقطٌ ‪ N‬لما تتػير النقطٌ ‪ M‬علٍ‬
‫المستقيم ‪   ‬؟‬

‫ثابت ‪.‬‬
‫‪ )4‬استنتح طريقٌ هندسيٌ إلنشاء النقطٌ ' ‪. M‬‬

‫التمرين‪ T :49‬التخويل النقطً فً المستوي يرفق بكل نقطٌ ‪M‬‬
‫ذات اإلخداثيتين ‪ َ  x ; y ‬النقطٌ ' ‪ M‬ذات اإلخداثيتين ‪.  x '; y '‬‬

‫التمرين‪ A BC :43‬مثلث ‪ F َ E .‬و ‪ G‬صور ‪ B َ A‬و ‪C‬‬
‫علٍ الترتيب باِنسخاب الذي شعاعى ‪. AB‬‬

‫فً كل خالٌ من الخالتين التاليتين َ عين طبيعٌ التخويل ‪ T‬مبيّ نا‬
‫عناصره المم ّيزة ‪:‬‬

‫‪ J َ I‬و ‪ K‬صور ‪ B َ A‬و ‪ C‬علٍ الترتيب باِنسخاب‬
‫الذي شعاعى ‪. BC‬‬
‫أثبت أن ‪ C‬ي منتصف القطعٌ ‪.  IG ‬‬
‫التمرين‪  :44‬و ‪ d‬مستقيما ن من المستوي معادلتاهما علٍ‬
‫الترتيب ‪ 3x  2 y  5  0‬و ‪. 3x  2 y  1  0‬‬
‫أكتب معادلٌ لكل من صورتً المستقيمين ‪ ‬و ‪ d‬باِنسخاب‬
‫الذي شعاعى ‪. u  2;  3‬‬
‫الموجى خيث‬
‫التمرين‪ A BC :45‬مثلث فً المستوي‬
‫ّ‬

‫‪ BA , BC   3‬‬

‫' ‪ A‬و ' ‪ C‬صورتا علٍ الترتيب للنقطتين ‪ A‬و ‪ C‬بالدوران ‪r‬‬
‫‪‬‬
‫ذي المركز ‪ B‬والزاويٌ ‪. ‬‬
‫‪4‬‬

‫" ‪ A‬و " ‪ C‬منتصفا القطعتين ‪ A ' B ‬و ‪  BC '‬علٍ الترتيب‬
‫أ ـ أنجز شكّ ‪.‬‬
‫أن المثلثين ‪ A BC‬و " ‪ A " BC‬متشابوان‬
‫ب ـ بيّن ّ‬
‫التمرين‪:46‬أكتب العبارة المركبٌ لّنسخاب الذي شعاعى‬

‫‪ x '  2 x  3‬‬
‫بـ‬
‫‪ y '  2 y  4‬‬

‫‪x '  x  4‬‬
‫أـ‬
‫‪y '  y  2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬؛‬

‫التمرين‪ t :50‬هو التخويل فً المستوي الذي يرفق بكل نقطٌ ‪ M‬ذات‬
‫اإلخداثيتين ‪ َ  x , y ‬النقطٌ ' ‪ M‬ذات اإلخداثيتين ‪  x ', y '‬خيث ‪:‬‬
‫‪ x '  1 y‬و ‪. y '  x  2‬‬
‫نضع ‪ z  x  iy‬و ' ‪. z '  x ' iy‬‬
‫أ ـ أكتب ' ‪ z‬بدِلٌ ‪. z‬‬
‫ب ـ ما هً طبيعٌ التخول ‪ t‬مبيّ نا عناصره المميّزة ؟‬
‫التمرين‪ t :51‬هو التخويل فً المستوي الذي يرفق بكل نقطٌ ‪ M‬ذات‬
‫اإلخداثيتين ‪ َ  x , y ‬النقطٌ ' ‪ M‬ذات اإلخداثيتين ‪  x ', y '‬خيث ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x '  2x ‬و ‪. y '  2 y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫أ ـ ما هً طبيعٌ التخويل ‪ t‬؟‬
‫ب ـ أكتب العبارة الم ّكبٌ للتخويل ‪. t‬‬
‫التمرين‪:52‬خل فً المجموعٌ‬

‫‪2‬‬

‫‪3z  z '  2  5i‬‬
‫‪.‬‬
‫التاليٌ ‪:‬أ ـ‬
‫‪ z  z '  2  i‬‬

‫الجمل ذات المجوول ‪ z ; z '‬‬
‫‪3z  z '  5  2i‬‬
‫‪.‬‬
‫بـ‬
‫‪ z  z '  1  2i‬‬

‫‪ 2iz  z '  2i‬‬
‫‪. ‬‬
‫جـ ـ‬
‫‪3z  iz '  1‬‬

‫‪u  1; 2 ‬‬

‫ت ‪ :‬أكتب العبارة المركبٌ للتخاكً ذي المركز ‪ O‬مبدأ المعلم‬
‫ونسبتى ‪. 3‬‬

‫التمرين‪:53‬‬

‫التمرين‪  :47‬نقطٌ ِخقتوا العدد المركب ‪.   1  i‬‬

‫أثبت أنى من أجل كل عدد طبيعً ‪ 1 َ n‬‬

‫‪1‬‬
‫عين العبارة المركبٌ للتخكً ذي النسبٌ‬
‫‪2‬‬

‫‪ ‬والمركز ‪. ‬‬

‫أكتب عبارة مركبٌ للدوران الذي مركزه ‪ O‬مبدأ المعلم‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫وزاويتى‬
‫‪6‬‬

‫التمرين‪ t :48‬تخويل نقطً فً المستوي يخول ‪ M  z ‬إلٍ‬
‫‪ M '  z '‬خيث ‪. z '   z  ‬‬
‫فً كل من الخاِت المقترخٌ أدناه َ عيّن طبيعٌ التخويل ‪ t‬مع‬
‫ذكر عناصره المميّزة ‪.‬‬
‫أ ـ ‪   1‬و ‪.   3i‬‬

‫ب ـ ‪   i‬و ‪.   1 i‬‬

‫برر أن العددين ‪ 1  i ‬و‬
‫ّ‬
‫‪8‬‬

‫‪2008‬‬

‫‪4n‬‬

‫‪ 1 i ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 i ‬‬

‫‪ 1 i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪ ‬خقيقيان ‪.‬‬

‫التمرين‪ z  x  iy :54‬عدد مركب مع ‪ x‬و ‪ y‬عددين خقيقيين ‪.‬‬
‫نضع ‪.   z  2z  2  3i‬‬
‫‪ )1‬أخسب بدِلٌ ‪ x‬و ‪ y‬الجزء الخقيقً والجزء التذيلً للعدد‬
‫المركب ‪‬‬
‫‪ )2‬خل فً المعادلٌ ‪ ,   0‬ذات المجوول ‪. z‬‬
‫التمرين‪ z  x  iy :55‬عدد مركب مع ‪ x‬و ‪ y‬عددين خقيقيين ‪.‬‬
‫نضع ‪.   iz  z  3  2i‬‬

‫‪ 04/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫األعداد المركبة‬

‫تمارين تطبيقية‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 i 2‬‬
‫‪  ‬و ‪.   0‬د ـ ‪  ‬و‬
‫جـ ـ‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪   ‬بدِلٌ ‪ x‬و ‪. y‬‬

‫‪ )2‬برهن أن ‪ " :‬النقطٌ ذات الّخقٌ ‪ , ‬تنتمً إلٍ مخور الفواصل‬
‫التمرين‪ B َ A :56‬و ‪ C‬ثّث نقط من المستوي لواخقوا علٍ " تكافئ " النقطٌ ذات الّخقٌ ‪ z‬تنتمً إلٍ المستقيم ذي المعادلٌ‬
‫الترتيب ‪ b  2  3i َ a  3  i‬و ‪. 8  i‬‬
‫‪. " y  x 2‬‬
‫يخول ‪ A‬إلٍ‬
‫أ ‪ -‬عيّن نسبٌ التخاكً ‪ h‬ذي المركز ‪ C‬والذي ّ‬
‫التمرين‪:63‬نضع ‪ z  x  iy‬مع ‪ x‬و ‪ y‬عددي ن خقيقيين ‪ .‬نرفق‬
‫‪.B‬‬
‫بكل عدد مركب ‪ z‬العدد المركب ‪ ‬خيث ‪.   2z  2  6i‬‬
‫ب ـ نقول عن مستقيم الذي ينطبق علٍ صورتى بتخويل َ أنى‬
‫صامدا إجماليا ‪.‬‬
‫برهن أن المستقيم الذي يشمل النقطٌ ‪ C‬ومعامل توجيوى ‪2‬‬

‫هو صامد إجمالً َ ثم أكتب معادلٌ لى ‪.‬‬

‫التمرين‪ :57‬و ‪ B‬نقطتان من المستوي ِخقتاهما‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  1  i ‬و ‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪.b‬‬

‫‪ )2‬هل يوجد عدد مركب ‪ z‬يخقق ‪.   z‬‬
‫التمرين‪:64‬فً المستوي المركب ِخقٌ النقطٌ ‪ M‬هً العدد المركب‬
‫‪ z  x  iy‬مع ‪ x‬و ‪ y‬عددين خقيقيين ‪.‬‬
‫نرفق بكل عدد مركب ‪ z‬يذتلف عن ‪ , 1‬العدد المركب ‪ L‬خيث‬

‫عين زاويٌ الدوران الذي مركزه مبدأ المعلم ‪O‬‬
‫ويخول ‪A‬‬
‫ّ‬

‫إلٍ ‪. B‬‬

‫) بين أنى من أجل كل عدد طبيعً ‪ i 4n 1  i َ n‬واستنتح‬
‫‪i 2009‬‬
‫التمرين‪:58‬فً كل خالٌ من الخاِت التاليٌ ‪ ,‬مثل مجموعٌ‬
‫النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ العدد المركب ‪ z‬الذي يخقق المساواة‬
‫المقترخٌ ‪.‬‬
‫أ ـ ‪. Re  z   3‬‬

‫‪ )1‬أخسب بدِلٌ ‪ x‬و ‪ y‬الجزء الخقيقً والجزء التذيلً‬
‫للعددالمركب ‪. ‬‬

‫ب ـ ‪ . Im  z   2‬جـ ـ‬

‫‪ . Re  z   Im  z ‬د ـ ‪.  Re  z  1   Im  z  2   0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪5z  2‬‬
‫‪z 1‬‬

‫‪. L‬‬

‫‪ )1‬عبر عن ‪ L  L‬بدِلٌ ‪ z‬و ‪. z‬‬
‫‪ )2‬برهن أن " ‪ L‬هو عدد تذيلً صرف " معناه أن " ‪ M‬هً نقطٌ‬
‫من داُرة باستثناء نقطٌ " ‪.‬‬
‫التمرين‪:65‬باستعمال الذاصيٌ ‪ , z  z  2Re  z ‬خل فً‬
‫المعادِت ذات المجوول ‪ z‬التاليٌ ‪:‬أ ـ ‪. z  2z  2  6i‬‬
‫ب) برهن أن مجموعٌ النقط ‪ M‬بخيث يكون ‪ Z‬تذيليا صرفا هً‬
‫داُرة باستثناء نقطٌ ‪.‬‬
‫التمرين‪:66‬نرفق بكل عدد مركب ‪ z‬يذتلف عن ‪ َ 2i‬العدد‬

‫التمرين‪ :59‬عدد مركب ‪ M َ A .‬و ' ‪ M‬نقط من المستوي‬
‫لواخقوا ‪ z َ 1‬و ‪ z 2‬علٍ الترتيب ‪.‬‬

‫‪z 2i‬‬
‫المركب‬
‫‪z  2i‬‬

‫عين مجموعٌ النط ‪ M‬ختٍ تكون النقط ‪ M , A‬و ' ‪ M‬فً‬
‫استقاميٌ ‪.‬‬

‫نضع ‪ z  x  iy‬و ‪ M‬نقطٌ من المستوي المركب ِخقتوا العدد ‪z‬‬

‫التمرين‪ p :60‬كثير خدود للمتػير المركب ‪ z‬والمعرف بـِ ‪:‬‬
‫‪p  z   z 3  1  5i  z 2   7  4i  z  3  3i‬‬

‫أن ‪ p‬يقبل جذرين تذيليين صرفا يطلب تعيينوما ‪.‬‬
‫‪ )1‬أثبت ّ‬
‫‪ )2‬تخقق أن العدد المركب ‪  1  i ‬هو كذلك جذرا لِـ ‪. p‬‬
‫التمرين‪ B , A :61‬و ‪ C‬نقط من المستوي المركب لواخقوا‬
‫‪ 3i , 3i‬و ‪. 2  3i‬‬
‫‪ )1‬عين ِخقٌ النقطٌ ‪ G‬مرجد الجملٌ المثقلٌ‬
‫‪.  A ,1 ;  B , 2 ; C ,  2‬‬
‫‪ )2‬عين مجموعٌ النقط ‪ M‬من المستوي التً يكون من أجلوا‬
‫‪. AM 2  2BM 2  2CM 2  25‬‬
‫المعادِت ذات المجوول ‪ z‬التاليٌ ‪:‬‬
‫التمرين‪:62‬خل فً‬
‫أ ـ ‪. 2z  i z  5  4i‬‬

‫‪. Z ‬‬

‫أن‬
‫‪ )1‬برهن ّ‬

‫‪x 2  y 2  2x  3 y  2‬‬

‫‪x  2 y  4‬‬

‫و‬
‫‪2‬‬

‫‪x 2   y  2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x 2   y  2‬‬

‫‪Re  Z  ‬‬

‫‪. Im  Z  ‬‬

‫‪ )2‬استنتح طبيعٌ المجموعتين ‪ E‬و ‪ F‬بخيث ‪:‬‬
‫‪ E‬هً مجموعٌ النقط ‪ M‬خيث ‪ Z‬خقيقً ؛ و ‪ F‬هً مجموعٌ‬
‫النقط ‪ M‬خيث ‪ Z‬تذيلً صرف ‪.‬‬
‫‪ )3‬أنشئ المجموعتين ‪ E‬و ‪. F‬‬
‫التمرين‪ M َ A :67‬و ' ‪ M‬نقط من المستوي المركب لواخقوا علٍ‬
‫الترتيب ‪ z َ i‬و ' ‪. z‬‬
‫نرفق بكل نقطٌ ‪ M‬تذتلف عن ‪ A‬النقطٌ ' ‪ M‬خيث ‪:‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪z '‬‬
‫‪i z‬‬

‫‪ 05/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫األعداد المركبة‬

‫تمارين تطبيقية‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫ب ـ ‪. z z  2z  5  2i  0‬‬
‫جـ ـ ‪. z z  5z  5 1  3i   0‬‬

‫‪ )1‬عين النقط ‪ M‬التً تنطبق علٍ صورها ' ‪. M‬‬

‫التمرين‪:68‬من أجل كل عدد مركب ‪ z‬يذتلف عن ‪ 1‬نضع‬
‫‪2z‬‬
‫‪1 z‬‬

‫‪. Z ‬‬

‫‪ z  x  iy‬و ‪ Z  X  iY‬مع ‪ X , y , x‬و ‪ Y‬أعداد‬
‫خقيقيٌ ‪ M .‬نقطٌ من المستوي المركب ِخقتوا العدد ‪. z‬‬
‫‪ )1‬أخسب ‪ X‬و ‪ Y‬بدِلٌ ‪ x‬و ‪. y‬‬
‫‪ )2‬برهن أن مجموعٌ النقط ‪ M‬بخيث يكون ‪ Z‬خقيقيا هً‬
‫مستقيم باستثناء نقطٌ‬
‫) برهن أن مجموعٌ النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ ‪ z‬التً يكون من‬
‫أجلوا ‪ L‬تذيليا صرفا هً داُر ة باستثناء نقطٌ يطلب تخديد‬
‫مركزها ونصف قطرها ‪.‬‬
‫التمرين‪ z :69‬عدد مركب يذتلف عن ‪ َ 1‬صورتى النقطٌ ‪M‬‬

‫فً المستوي المركب ‪.‬‬

‫‪z 1‬‬
‫نضع‬
‫‪z 1‬‬

‫‪ L ‬و ' ‪ M‬صورة العدد المركب ‪. L‬‬

‫عين مجموعٌ النقط ‪ M‬فً كل خالٌ من الخاِت التاليٌ ‪:‬‬
‫أ ـ يكون ‪ L‬عددا خقيقيا ‪ .‬ب ـ يكون ‪ L‬عددا تذيليا صرفا ‪.‬‬
‫جـ ـ تكون النقط ‪ M َ O‬و ' ‪ M‬فً استقاميٌ ‪.‬‬
‫التمرين‪ :70‬نعتبر النقط ‪ B َ A‬و ‪ C‬ذات اللواخق‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b ‬و ‪i‬‬
‫‪i , a i 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ )2‬برهن أن‬

‫‪x  x 2  y 2  2 y ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x 2  1  y ‬‬

‫‪. Re  z ' ‬‬

‫‪ )3‬استنتح ‪ َ C‬مجموعٌ النقط ‪ M‬التً تكون من أجلوا ' ‪ M‬تنتمً‬
‫إلٍ مخور التراتيب ‪.‬‬
‫أنشئ المجموعٌ ‪ ( C‬وخدة الرسم ‪. ) 3cm‬‬
‫التمرين‪ z  x  iy :73‬عدد مركب خيث ‪ z  1‬و ‪ y َ x‬عددان‬
‫خقيقيان‬
‫‪z  2i‬‬
‫نعتبر العدد المركب ‪ L‬خيث‬
‫‪z 1‬‬

‫‪. L‬‬

‫‪ )1‬أكتب العدد المركب ‪ L‬علٍ الشكل الجبري ‪.‬‬
‫‪ )2‬عين مجموعٌ النقط ‪ M‬ذات الّخقٌ ‪ z‬التً يكون من أجلوا ‪L‬‬
‫خقيقيا ‪.‬‬
‫‪ C‬هً مجموعٌ النقط ‪ M‬التً يكون من أجلوا‬
‫‪.  z 1  i   z 1  i   2‬‬
‫‪ )1‬تخقق أن المبدأ ‪ O‬ينتمً إلٍ المجموعٌ ‪. C‬‬
‫‪ )2‬عين المجموعٌ ‪ C‬ثم أنشُوا ‪.‬‬
‫التمرين‪ z  x  iy :74‬عدد مركب خيث ‪ z  1‬و ‪ y َ x‬عددين‬
‫خقيقيين ‪ M .‬نقطٌ من المستوي المركب ِخقتوا العدد ‪ . z‬نضع ‪:‬‬
‫‪2iz  i‬‬
‫‪. Z ‬‬
‫‪z 1‬‬

‫‪ c  ‬علٍ الترتيب ‪.‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪ Im  Z  َ Re  Z  َ Z‬و ‪ Z‬بدِلٌ ‪ x‬و ‪. y‬‬

‫‪ )1‬عين ِخقٌ النقطٌ ‪ G‬مرجد النقط ‪ B َ A‬و ‪ C‬المرفقٌ‬
‫بالمعامّت ‪ 1  6 َ  3‬و ‪ 1  6‬علٍ الترتيب ‪.‬‬

‫‪ )2‬عين المجموعٌ ‪ E1‬للنقط ‪ M‬بخيث يكون ‪. Z  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ )2‬بين أن النقطٌ ‪ G‬مركز الداُرة المخيطٌ بالمثلث ‪. A BC‬‬
‫التمرين‪ u :71‬و ‪ v‬عددان مركبان غير خقيقيين َ نضع‬
‫‪u  uv‬‬
‫‪1 v‬‬
‫برهن أن ‪ z " :‬خقيقً " يكافئ ‪. v  1‬‬

‫‪. z ‬‬

‫التمرين‪ a :72‬و ‪ b‬عددان مركبان خيث ‪a  b  1‬‬

‫و ‪. ab  1‬‬
‫نضع ‪:‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪1  ab‬‬

‫‪.z ‬‬

‫‪ )3‬عين المجموعٌ ‪ E 2‬للنقط ‪ M‬التً يكون من أجلوا ‪ Z‬تذيليا‬
‫صرفا ‪.‬‬
‫‪ )4‬أرسم المجموعتين ‪ E1‬و ‪ E 2‬وعين نقط تقاطعوما ‪.‬‬
‫التمرين‪  :75‬عدد مركب غير معدوم طويلتى ‪ r‬و ‪ ‬عمدة لى‪.‬‬
‫نعتبر العددين المركبين ‪ z 1   i‬و ‪z 2   2‬‬
‫‪ )1‬أخسب بدِلٌ ‪ r‬و ‪ ‬الطويلٌ وعمدة العددين المركبين ‪ z 1‬و ‪. z 2‬‬
‫‪ )2‬خدد ‪ r‬و ‪ ‬ختٍ يكون ‪ z 1‬و ‪ z 2‬مترافقين ‪.‬‬
‫التمرين‪ A :76‬؛ ‪ B‬و ‪ C‬نقط من المستوي لواخقوا علٍ الترتيب‬
‫‪ z 2  2i , z 1  1‬و ‪. z 3  1  i‬‬

‫عبر عن ‪ z‬بدِلٌ ‪ a‬و ‪ َ b‬استنتح أن العدد ‪ z‬خقيقً ‪.‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪ z 2  z 1‬و ‪. z 3  z 1‬‬

‫‪ z‬عدد مركب ‪ A .‬و ‪ M‬نقطتان من المستوي المركب‬
‫ِخقتيوما ‪ 1  i‬و ‪ z‬علٍ الترتيب‬

‫‪ z 2  z1 ‬‬
‫‪ )2‬أخسب ‪‬‬
‫‪ z 3  z1 ‬‬

‫‪ )3. Arg ‬استنتح طبيعٌ المثلث ‪. A BC‬‬

‫التمرين‪:77‬أكتب علٍ الشكل المثلّثً العدد المركب ‪ z‬فً كل خالٌ‬

‫‪ 06/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫التمرين‪:78‬أكتب علٍ الشكل المثلّثً العدد المركب ‪ z‬فً كل‬
‫خالٌ من الخاِت التاليٌ ‪.‬‬

‫من الخاِت التاليٌ ‪.‬أ ـ ‪. z  1  i ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫أ ـ ‪. z   cos  i sin ‬ب ـ‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫جـ ـ ‪3  i‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z   cos  i sin ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫جـ ـ ‪. z   i  1  cos  i sin ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 i 3‬‬
‫بـ‬
‫‪1 i‬‬

‫‪‬‬

‫‪. z  1  i ‬‬

‫دـ‬

‫‪‬‬

‫أـ‬

‫‪. z   2  2i ‬‬

‫بـ‬

‫‪8n‬‬

‫جـ ـ‬

‫‪‬‬

‫‪12 n‬‬

‫‪‬‬

‫‪3n‬‬

‫‪‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫‪2 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ cos‬و‬
‫‪ )3‬استنتح أن‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪ cos ‬و‬
‫أن ‪:‬‬
‫‪ )3‬استنتح ّ‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1  3i‬‬
‫‪.z ‬‬
‫التمرين‪:81‬يعطٍ العدد المركب‬
‫‪2i‬‬

‫‪‬‬
‫‪12‬‬

‫‪sin‬‬

‫‪ a ‬و ‪. b  1 i‬‬

‫‪a‬‬
‫سً كّ من األعداد ‪ b َ a‬و‬
‫‪ )1‬أكتب علٍ الشكل األ ّ‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫علٍ الشكل الجبري ‪.‬‬
‫‪ )2‬أكتب العدد‬
‫‪b‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos‬و‬
‫استنتح القيمتين المضبوطتين للعددين‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬

‫‪ )3‬خل فً المجال ‪   ;  ‬المعادلٌ‬

‫‪‬‬

‫‪6  2 sin x  2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪6  2 cos x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪z‬‬
‫‪ u  3  i 3 َ z  3  3  i 3  3‬و ‪. v ‬‬
‫‪u‬‬

‫‪ )1‬أكتب ‪ v‬علٍ الشكل الجبري ‪.‬‬
‫‪ )2‬عين الطويلٌ وعمدة لكل من األعداد المركبٌ ‪ v َ u‬و ‪. z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos‬و ‪. sin‬‬
‫‪ )3‬استنتح‬
‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ )4‬أثبت أن العدد ‪ z 2010‬تذيلً صرف ‪.‬‬

‫‪ )1‬أكتب ‪ z‬علٍ الشكل الجبري ثم استنتح طويلتى وعمدة لى ‪.‬‬
‫‪ )2‬عين قيم العدد الطبيعً ‪ n‬التً يكون من أجلوا ‪ z n‬عددا‬
‫خقيقيا ‪.‬‬
‫‪6 i 2‬‬
‫التمرين‪:82‬نضع ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬

‫‪. sin‬‬

‫التمرين‪ u َ z :85‬و ‪ v‬أعداد مركبٌ خيث‬

‫‪z1‬‬
‫‪ )1‬أعط الشكل المثلثً لكل من األعداد ‪ z 2 َ z 1‬و‬
‫‪z2‬‬

‫‪‬‬

‫‪.z ‬‬

‫‪ )1‬أخسب ‪ z 2‬ثم عين الطويلٌ وعمدة للعدد المركب ‪. z 2‬‬
‫‪ )2‬عين الطويلٌ وعمدة للعدد المركب ‪. z‬‬

‫‪z  3i 3‬‬

‫‪6 i 2‬‬
‫التمرين‪:80‬يعطٍ العددين المركبين‬
‫‪2‬‬
‫و ‪z 2  1 i‬‬

‫‪ )2‬عين قيم العدد الطبيعً ‪ n‬التً يكون من أجلوا العدد‬
‫‪n‬‬
‫‪  z 1  2iz 2 ‬تذيليا صرفا ‪.‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫التمرين‪:84‬نعتبر العدد المركب‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪. z  1  i 3‬‬

‫‪z1‬‬
‫‪ )2‬أعط الشكل الجبري للعدد المركب‬
‫‪z2‬‬

‫‪1‬‬
‫و ‪. z2  i‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ )1‬أخسب الطويلٌ وعمدة للعدد المركب ‪. z 1  2iz 2‬‬

‫التمرين‪ :79‬فً كل خالٌ من الخاِت المقترخٌ أدناه َ أثبت أنّى‬
‫من أجل كل عدد طبيعً ‪ َ n‬يكون ‪ z‬خقيقيا ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪.z ‬‬

‫‪1  i ‬‬

‫‪12‬‬

‫‪20‬‬

‫‪3 1‬‬
‫‪z1   i‬‬
‫‪2 2‬‬

‫‪3i‬‬

‫‪. z ‬‬

‫‪. sin‬‬

‫‪.‬‬

‫التمرين‪:86‬يعطٍ العددان المركبان ‪ z 1  2  3i‬و ‪. z 2  2  i‬‬
‫‪)1‬أكتب ‪ z 12  z 22‬علٍ شكلى المثلثً ‪.‬‬
‫‪ )2‬أكتب العدد المركب‬

‫‪2008‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  z 1  z 2 ‬علٍ شكلى الجبري‪.‬‬

‫‪ 8 2 ‬‬

‫التمرين‪ z :87‬عدد مركب خيث ‪ z  1  e i ‬مع ‪.    ; ‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ )1‬أ ـ تخقق أن ‪. z  e 2  e 2  e 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬

‫ب ـ استنتح الطويلٌ ‪ r‬وعمدة ‪ ‬للعدد المركب ‪ z‬بدِلٌ ‪.‬‬
‫‪ )2‬جد َ بدِلٌ ‪ َ ‬الطويلٌ وعمدة للعدد المركب‬
‫‪1  cos   i sin ‬‬
‫‪. L‬‬
‫‪cos   i sin ‬‬
‫التمرين‪:88‬نضع‬

‫‪‬‬
‫‪5‬‬

‫‪2i‬‬

‫‪ A  z z َ z e‬و ‪.B  z z‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫التمرين‪:83‬المستوي المركب منسوب إلٍ المعلم ‪O ;u ;v ‬‬

‫‪ )1‬برهن أن ‪ 1  A  B  0‬و ‪. A B  1  0‬‬

‫( وخدة الرسم ‪.) 4cm‬‬

‫استنتح أن ‪ A‬و ‪ B‬هما خّن للمعادلٌ ‪. x 2  x 1  0‬‬

‫‪ 07/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫نعتبر النقط ‪ C , B , A‬و ‪ D‬ذات اللواخق علٍ الترتيب‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬
‫‪3i 3‬‬
‫‪3 i 6‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪, b  e 3 , a 1‬‬
‫‪c‬و ‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫سً و ‪ d‬علٍ الشكل الجبري ‪.‬‬
‫‪ )1‬أكتب ‪ c‬علٍ الشكل األ ّ‬

‫‪ )2‬مثل النقط ‪ C , B , A‬و ‪ D‬فً المعلم ثم برهن أن‬
‫الرباعً ‪ OA CB‬هو معين ‪.‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ )2‬بين أن ‪ z 4  z‬ثم عين ‪ A‬بدِلٌ‬
‫‪5‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ )3‬خل المعادلٌ ‪ x 2  x 1  0‬واستنتح قيمٌ‬
‫‪5‬‬

‫التمرين‪:90‬نعتبر العدد المركب ‪ z‬خيث ‪:‬‬
‫‪z  2sin 2   i sin 2‬‬
‫مع ‪ ‬عدد خقيقً من المجال ‪. 0;2 ‬‬
‫سيٌ للعدد المركب ‪z‬‬
‫عين خسب قيم العدد ‪ ‬الكتابٌ األ ّ‬

‫) ‪ d‬مجموعٌ نقط نصف مستقيم مبدأه ‪ َ O‬باستثناء ‪. O‬‬
‫أ ـ عين مجموعٌ النقط ‪ M‬عندما ‪ m‬تمسد المجموعٌ ‪. d‬‬
‫ب ـ عين مجموعٌ النقط ‪ m‬عندما تمسد ‪ M‬المجموعٌ ‪. d‬‬
‫التمرين‪:91‬فً المستوي المركب َ نرفق بكل نقطٌ ‪ m‬ذات‬
‫الّخقٌ العدد المركب ‪ َ z‬النقطٌ ‪ M‬ذات الّخقٌ‬
‫‪z3‬‬
‫‪3‬‬

‫‪2 z‬‬

‫‪. Z ‬‬

‫تعطٍ الكتابٌ األسيٌّ لكل من العددين المركبين ‪ z‬و ‪: Z‬‬
‫‪ z  re i ‬و ‪. Z  e i ‬‬
‫‪ )1‬عبر عن ‪ ‬و ‪ ‬بدِلٌ ‪ r‬و ‪ ‬علٍ الترتيب ‪.‬‬
‫‪ )2‬نرمز ِبـ ‪ C‬الداُرة ذات المركز ‪ O‬ونصف القطر ‪A . 1‬‬
‫النقطٌ ذات الّخقٌ ‪. 1  i‬‬

‫أ ـ عين مجموعٌ النقط ‪ M‬لما النقطٌ ‪ m‬تمسد الداُرة ‪. C‬‬
‫ب ـ عين مجموعٌ النقط ‪ M‬لما النقطٌ ‪ m‬تمسد نصف‬
‫المستقيم ‪. OA ‬‬

‫‪. cos‬‬

‫التمرين‪:93‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪5‬‬

‫أن ‪:‬‬
‫‪ )1‬برهن ّ‬

‫التمرين‪  :89‬عدد خقيقً ‪ .‬عين الطويلٌ وعمدة لكل من‬
‫األعداد المركبٌ التاليٌ ‪ z 1  e i  .‬؛ ‪z 2   cos   i sin ‬‬
‫؛ ‪. z 3  sin   i cos ‬‬

‫‪. cos‬‬

‫‪‬‬
‫‪10‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪sin‬‬

‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬

‫‪3‬‬
‫‪5‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪ )2‬أخسب المجموع ‪. 1  e  e  e  e‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪S   cos‬‬
‫‪ )2‬عين قيمٌ لكل من المجموعين ‪ S‬و ‪ T‬خيث‬
‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪5‬‬

‫‪i‬‬

‫‪5‬‬

‫‪k‬‬
‫و‬
‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪. T   sin‬‬
‫‪k 0‬‬

‫التمرين‪:94‬فً المستوي المركب َ نرفق بكل نقطٌ ‪ m‬ذات الّخقٌ‬
‫‪1‬‬
‫العدد المركب غير المعدوم ‪ , z‬النقطٌ ‪ M‬ذات الّخقٌ ‪Z  2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ )1.‬نضع ‪z  re i ‬‬

‫سً ‪.‬‬
‫أ ـ أكتب ‪ Z‬علٍ الشكل األ ّ‬
‫ب ـ ‪ Z 0‬عدد مركب غير معدوم معطٍ ‪ .‬هل يمكن إيجاد عدد مركب‬
‫‪1‬‬
‫‪ z 0‬يخقق ‪ Z 0  2‬؟‬
‫‪z0‬‬

‫‪ )2‬نفرض أن ‪. z  1‬‬
‫أ ـ تعطٍ النقطٌ ‪ m‬أنشئ النقطٌ ‪. M‬‬
‫ب ـ عين النقط ‪ m‬التً يكون من أجلوا ‪. Z  z‬‬
‫أ ـ عيّن ِخقٌ النقطٌ ‪ G‬التً تخقق ‪. GO  GA  GB  0‬‬
‫ـ ماذا تم ّثل النقطٌ ‪ G‬بالنسبٌ إلٍ النقط ‪ B َ A‬والمبدأ ‪ O‬للمعلم ؟‬
‫التمرين‪ r :95‬عدد خقيقً موجب تمام ًا و ‪ ‬عدد خقيقً ‪.‬‬
‫‪ ‬عدد مر ّكب طويلتى ‪ r‬و ‪ ‬عمدة لى‪.‬‬

‫‪ )1‬خلَ فً مجموعٌ األعداد المركبٌ‬
‫‪3‬‬
‫‪ f  x   x‬التاليٌ‬
‫‪ )3‬نعتبر الدالٌ ‪ f‬المعرفٌ علٍ ‪ 0; ‬بِـ ‪:‬‬
‫‪2x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. z z   0‬‬
‫أ ـ بين أن الدالٌ ‪ f‬متزايدة تماما وعين صورة المجال‬
‫‪ )2‬عبر بدِلٌ ‪ r‬و ‪ ‬علٍ طويلتً الخلين وعمدتيوما ‪.‬‬
‫‪ 0; ‬بواسطٌ الدالٌ ‪. f‬‬
‫التمرين‪:96‬نضع من أجل كل عدد مركب ‪َ z‬‬
‫ب ـ استنتح أنى من أجل كل نقطٌ ‪ m‬من المستوي ‪ ,‬النقطٌ‬
‫‪. p  z   z 3  2 3  i z 2  4 1  i 3 z  8i‬‬
‫‪ M‬تنتمً إلٍ قرص يطلب تعيينى ‪.‬‬
‫‪ )1‬تخقق أنى من أجل كل عدد مركب ‪ z‬؛‬
‫التمرين‪ )1 :92‬خل فً مجموعٌ األعداد المركبٌ َ كّ من‬

‫المعادلٌ ذات المجوول ‪z‬‬

‫‪‬‬

‫المعادلتين ‪ z 2  2z  5  0‬؛‬

‫‪‬‬

‫‪. z 2  2 1 3 z  5  2 3  0‬‬

‫‪ )2‬خل فً‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪p  z    z  2i  z 2  2 3z  4‬‬

‫المعادلٌ ‪. p  z   0‬‬

‫‪ )2‬نعتبر النقط ‪ C َ B َ A‬و ‪ D‬صور األعداد المركبٌ‬

‫‪ 08/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫األعداد المركبة‬

‫تمارين تطبيقية‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫‪ 1  2i َ 1  3  i َ 1  2i‬و ‪ 1  3  i‬علٍ الترتيب‬
‫أ ـ ما هً طبيعٌ المثلث ‪ A BC‬؟‬
‫ب ـ أكتب معادلٌ للداُرة ‪ C‬المخيطٌ بالمثلث ‪. A BC‬‬
‫ج ـ أثبت أن النقطٌ ‪ D‬تنتمً إلٍ الداُرة ‪. C‬‬
‫د ـ أنشئ ‪ C‬والنقط ‪ C َ B َ A‬و ‪ D‬فً المعلم المعطٍ ‪.‬‬
‫التمرين‪  :97‬عدد خقيقً معطٍ ‪.‬‬
‫‪ )1‬خل فً المعادلٌ ‪. z 2  2z sin   1  0 :  E ‬‬

‫‪ 2‬نعتبر النقطتين ‪ A‬و ‪ِ B‬خقتيوما خلً المعادلٌ ‪ E ‬‬
‫عين قيم العدد الخقيقً ‪ ‬التً يكون من أجلوا المثلث ‪OA B‬‬
‫متقايس أضّع ‪.‬‬
‫التمرين‪ A  2;1 :98‬و ‪ B 3;0‬نقطتان من المستوي ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ h‬التخاكً ذو المركز ‪ A‬والنسبٌ‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫المركز ‪ B‬والزاويٌ ‪ ‬؛ ‪ t‬اِنسخاب ذو الشعاع ‪. BO‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ ‬؛ ‪ r‬الدوران ذو‬

‫أ ـ اكتب العبارة المركبٌ لكل من التخويّت الثّث ‪.‬‬
‫ب ـ أكتب العبارة المر ّكبٌ للتخويل ‪. t r h ‬‬
‫ج ـ عيّن النقطٌ ‪ C‬خيث ‪. t r h C   O‬‬
‫التمرين‪ B َ A :99‬و ‪ C‬ث ّث نقط من المستوي المركب َ‬
‫لواخقوا علٍ الترتيب ‪z B  5  5i َ z A  2  2i‬‬
‫و ‪. z C  2  2i‬‬
‫‪zC  z A‬‬
‫أن‬
‫أ ـ أثبت ّ‬
‫‪zB zA‬‬

‫هو عدد خقيقً ‪.‬‬

‫يخول ‪ B‬إلٍ ‪ C‬و ‪A‬‬
‫ب ـ استنتح طبيعٌ التخويل ‪ T‬الذي ّ‬

‫نقطتى الصامدة الوخيدة ‪.‬‬
‫جـ ـ أكتب العبارة المر ّكبٌ للتخويل ‪.T‬‬
‫‪1‬‬
‫د ـ ‪ ‬المنخنً ذي المعادلٌ‬
‫‪x‬‬

‫‪. y  3x ‬‬

‫أكتب معادلٌ لصورة المنخنً ‪ ‬بالتخويل ‪T‬‬
‫المعادلٌ ذات المجوول ‪ z‬التاليٌ ‪Z  3 :‬‬
‫‪ )1  II‬خل فً‬

‫سً ‪.‬‬
‫‪ .‬تعطٍ الخلول علٍ الشكل الجبر ثم علٍ الشكل األ ّ‬
‫‪ )2‬نفرض فً هذا السؤال أن ‪ z  1  e i ‬مع ‪.  ‬‬
‫أخسب ‪ Z‬بدِلٌ ‪ ‬ثم استنتح مجموعٌ النقط ‪ M‬عندما ‪‬‬
‫يمسد‬
‫‪ )3‬نضع ‪ m  x ; y ‬و ‪ M  X ;Y ‬فً المستوي المنسوب‬
‫إلٍ المعلم ‪. O ;u ;v ‬‬

‫أ ‪ -‬عين مجموعٌ النقط ‪ M‬عندما النقطٌ ‪ m‬تمسد‬
‫المجموعٌ ‪d‬‬

‫التمرين‪ )1 :100‬خل فً المعادلٌ ‪. z 2  z  1  0‬‬
‫‪ ,‬خلول المعادلٌ ‪. z 3  1  0‬‬
‫‪ )2‬استنتح ‪ ,‬فً‬
‫‪1  i 3‬‬
‫‪ )3‬نضع‬
‫‪2‬‬
‫أ ـ أخسب ‪ u 3 , u 2‬و ‪. u 2008‬‬

‫‪.u‬‬

‫ب ـ أخسب ‪. s  u  u 2  ...  u 2008‬‬
‫التمرين‪:101‬نعتبر كثير الخدود ‪p  z   z 4 19z 2  52z  40 :‬‬

‫خيث ‪ z‬عدد مركب‪.‬‬
‫‪ )1‬عين عددين خقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬ختٍ يكون من أجل كل عدد مركب‬
‫‪. p  z    z 2  az  b  z 2  4z  2a  َ z‬‬
‫‪ )2‬خل فً‬

‫المعادلٌ ‪. p  z   0‬‬

‫التمرين‪ )1 :102‬خل فً‬

‫المعادلٌ ‪. z 4  1  0‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ 2z  1 ‬‬

‫‪. ‬‬
‫‪ )2‬استنتح َ فً‬
‫‪ ,‬خلول المعادلٌ ‪  1‬‬
‫‪ z 1 ‬‬
‫التمرين‪:103‬من أجل كل عدد مركب ‪ َ z‬نضع ‪:‬‬
‫‪. p  z   z 4 10z 3  38z 2  90z  261‬‬
‫‪ a )1‬عدد خقيقً ‪ .‬عبر بدِلٌ ‪ a‬عن الجزء الخقيقً والجزء‬
‫التذيلً للعدد المركب ‪. p  ia ‬‬
‫‪ )2‬عين قيم ‪ a‬التً يكون من أجلوا ‪. p  ia   0‬‬
‫‪ )3‬عين عددين خقيقيين ‪ b‬و ‪ c‬ختٍ يكون من أجل كل عدد مركب‬
‫‪. p  z    z 2  9  z 2  bz  c  , z‬‬
‫‪ )4‬خل فً‬

‫المعادلٌ ‪. p  z   0‬‬

‫التمرين‪:104‬لتكن النقطتان ‪ A‬و ‪ B‬صورتً العددين المركبين‬
‫‪ a  4  2i‬و ‪ b  3  i‬علٍ الترتيب‪.‬‬
‫أ ـ بين أن المثلث ‪ OA B‬قاُم ومتقايس الساقين ‪.‬‬
‫ب ـ عين مركز وزاويٌ الدوران الذي يخول النقطٌ ‪ A‬إلٍ‬
‫النقطٌ ‪ َ B‬والنقطٌ ‪ B‬إلٍ النقطٌ ‪. O‬‬
‫جـ ـ لتكن النقطٌ ‪ C‬صورة النقطٌ ‪ O‬بوذا الدوران‪ .‬ما هً طبيعٌ‬
‫الرباعً ‪ A BOC‬؟‬
‫التمرين‪:105‬النقطتان ‪ A‬و ‪ B‬صورتا العددين المر ّكبين‬
‫‪ z 1  3  2i‬و ‪z 2  1  6i‬‬
‫‪ ‬نقطٌ من خامل مخور الفواصل و ‪ r‬الدوران الذي مركزه ‪ ‬و‬
‫يخول ‪ A‬إلٍ ‪ . B‬ـ ع ّين مركز و زاويٌ الدوران ‪. r‬‬
‫ّ‬
‫التمرين‪:106‬النقط ‪ C َ B َ A‬و ‪ D‬لواخقوا علٍ الترتيب ‪َ 2i‬‬
‫‪ 1  i َ 6‬و ‪. 3  3i‬‬
‫‪ ‬و ‪ ‬عددان مر ّكبان َ ‪ t‬تخويل نقطً فً المستوي يخول‬

‫‪ 09/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫راجع معنا الرياضيات السنة الدراسية ‪ 3122‬اقتراح األستاذ ‪ :‬مـخـلـوف الـعـيـد‬
‫تمارين تطبيقية‬

‫األعداد المركبة‬

‫في كل التمارين ينسب المستوي المركب إلى معلم متعامد ومتجانس ‪O ; u ; v ‬‬
‫ب ‪ -‬عين مجموعٌ النقط ‪ M‬عندما النقطٌ ‪ m‬تمسد‬
‫المجموعٌ ‪. ‬‬
‫‪ )4‬أ ـ أخسب ‪ X‬و ‪ Y‬بدِلٌ ‪ x‬و ‪. y‬‬
‫ب ـ عين مجموعٌ النقط‬

‫‪ m‬عندما ‪ M‬تمسد المخور ‪O ;u ‬‬

‫التمرين‪  I :107‬ليكن ‪ A‬و ‪ B‬عددين خقيقيين ‪ .‬نعتبر الدالٌ‬
‫ِبـ ‪. F  z   Az  B z :‬‬
‫‪ F‬المعرفٌ من فً‬
‫‪ )1‬أخسب ‪ F 1‬و ‪. F  i ‬‬
‫‪ )2‬برهن أنى إذا كان من أجل كل عدد مركب ‪F  z   0 , z‬‬

‫فإن ‪. A  B  0‬‬
‫‪ )3‬عين ‪ A‬و ‪ B‬ختٍ يكون من أجل كل عدد مركب ‪, z‬‬
‫‪. F z   z‬‬
‫‪  II‬ليكن ‪ a‬و ‪ b‬عددين خقيقيين ‪ .‬نعتبر الدالٌ ‪ f‬المعرفٌ‬
‫ِبـ ‪. f  z   az  bz :‬‬
‫من فً‬

‫‪ )1‬عبر عن ‪ z ‬‬

‫‪  f f‬من أجل كل عدد مركب ‪. z‬‬

‫‪ )2‬برهن أن " من أجل كل عدد مركب ‪َ z‬‬

‫‪ z   z‬‬

‫‪ "  f f‬يكافئ‬

‫‪a 2  b 2  1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ )3‬عين كل الدوال ‪ f‬التً تخقق من أجل كل عدد مركب ‪َ z‬‬
‫‪(  f f  z   z‬الدوال ‪ f‬تسمٍ تضامنيٌ )‬
‫نعتبر الدالٌ ‪ g‬المعرفٌ من‬

‫‪III‬‬
‫‪‬‬

‫‪z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪g z   e‬‬

‫أ ـ عيّن ‪ ‬و ‪ ‬علما أن ‪ t  A   B‬و ‪. t C   D‬‬
‫ب ـ ما هً طبيعٌ التخويل ‪ t‬مع تع ّيين عناصره المميّزة ؟‬
‫التمرين‪:108‬نعتبر فً المجموعٌ‬

‫المعادلٌ‬

‫‪. z 4  4z 3  14z 2  36z  45  0‬‬
‫أن المعادلٌ تقبل خلين تذيّليين صرفا مترافقين ‪ z 0‬و ‪ z 0‬خيث‬
‫‪ )1‬بيّن ّ‬
‫‪ z 0‬جزُى التذيلً موجبا ‪.‬‬
‫برر أن الخلين اآلذرين لوذه المعادلٌ هما كذالك مترافقين ثم‬
‫‪ّ )2‬‬
‫عيّنوما ‪ .‬ونرمز بـ ‪ z 1‬الخل الذي جزُى التذيلً موجبا ‪.‬‬

‫‪ ‬‬

‫ويخول ‪A ' z 1‬‬
‫يخول ‪ A  z 0 ‬إلٍ ‪B  z 1 ‬‬
‫ّ‬
‫‪ )3‬استنتح تخويّ نقطيا ّ‬

‫‪ ‬‬

‫إلٍ ‪B ' z 0‬‬

‫التمرين‪  I :109‬نعتبر العدد المركب ‪ u‬خيث ‪. u  1  i‬‬
‫سً ‪.‬‬
‫‪ )1‬أكتب ‪ u‬و ‪ u‬علٍ الشكل األ ّ‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ )2‬من أجل كل عدد طبيعً غير معدوم ‪ , n‬نضع ‪. s n  u  u :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ s n  n cos‬مع ‪ n‬عدد خقيقً يطلب تعيينى ‪.‬‬
‫بين أن‬
‫‪4‬‬

‫‪ab  0‬‬

‫فً‬

‫‪ M  z ‬إلٍ ‪ M '  z '‬خيث ‪. z '  3 z  ‬‬

‫ِبـ ‪:‬‬

‫‪ )3‬عين قيم العدد الطبيعً ‪ َ n‬التً يكون من أجلوا ‪. s n  0‬‬
‫‪ )4‬أثبت أنى إذا كان ‪ n‬عددا زوجيا َ فإن ‪ s n‬يكون عددا صخيخا ‪.‬‬
‫‪  II‬نفرض أن ‪ n  2m‬مع ‪. m  ‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ )1‬باستعمال دستور ثناًُ الخدين َ أنشر العددين ‪1  i ‬‬
‫‪2m‬‬
‫و ‪1  i ‬‬

‫‪ p )2‬عدد طبيعً ‪ ,‬أكتب علٍ أبسط شكل العبارتين التاليتين ‪:‬‬
‫‪2 p 1‬‬

‫‪ i 2 p 1   i ‬و ‪. i 2 p   i ‬‬
‫‪2p‬‬

‫أن ‪C 224p  212‬‬
‫‪ )3‬تطبيق ‪ :‬نأذذ ‪ m  12‬برهن ّ‬

‫‪p‬‬

‫‪12‬‬

‫‪  1‬‬
‫‪p 0‬‬

‫‪ 10/10‬تصحيح هذه التمارين حصريا على الموقع ‪www.MathsMak.com/forum :‬‬

‫‪.‬‬


exocomplex.pdf - page 1/10
 
exocomplex.pdf - page 2/10
exocomplex.pdf - page 3/10
exocomplex.pdf - page 4/10
exocomplex.pdf - page 5/10
exocomplex.pdf - page 6/10
 




Télécharger le fichier (PDF)


exocomplex.pdf (PDF, 3.1 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Sur le même sujet..