Logarithme avec correction .pdf



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4ème M

Série N°…
Logarithme népérien

RESUME DU COURS
Définition : La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive sur 0,  qui s’annule en 1, de la
fonction : x 

x1
1
. On donc, pour tout réel x >0, lnx   dt .
1
t
x

Conséquence : ln est définie, continue et dérivable sur 0,  et, pour tout réel strictement positive on a : ln   x  

1
de
x

plus ln(1) = 0.
Propriétés algébriques : pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
ln  ab   ln a  ln b

ln

a
ln    ln a  ln b
b

 a   n1 ln a Limites :
n

ln  a n   n ln a  n   

lim ln x  

x 

limln x  
x 0

ln

 a   12 ln a

lim

x 

ln x
0
x

lim x ln x  0 lim
x 0

h 0

ln 1  h 
h

1

ln n  x 
ln x
 0 et lim x m ln n  x   0
 1 Pour tous entiers naturels non nuls n et m, on a lim
x 
x 1 x  1
x 0
xm
Equations et inéquations :Pour tous réels x et x  strictement positifs, on a :
En particulier : ln x  0  0  x  1 et ln x  0  x  1
ln x  ln x  x  x
ln x  ln x  x  x
Dérivée de ln(u)Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u  x   0 , pour tout réel x dans I alors ln(u)

lim

est dérivable sur I et in a :



 ln  u    uu

pour tout réel x dans I

Théorème : Si u est une fonction dérivable pour tout réel x dans I telle que u  x   0 , alors la
fonction f : x  ln u  x  est dérivables sur I et f   x  

u  x 
u x

.

Corollaire :Si u est une fonction dérivable pour tout réel x dans I telle que u  x   0 , alors la fonction f : x 
admet des primitives de la forme : ln  u   c où c est une constante réelle.

www.matheleve.net

-1-

u  x 
u x

L

ES EXERCICES
Exercice N°1 :
Pour chacune des questions suivantes indiquer la bonne réponse :





1. L’ensemble de définition de l’équation : ln x  3  ln x2  9 est :
b.]3,+∞[

a. {-3 ;3 }
2. lim ln x  x 
x 





1

3. lim x ln  x 
x 
x  0

 3x 1 

6x  2 

4. lim ln 
x 

5. xlim


cosln x 
x







1
x ln 1  
6. xlim
x


a. 0

b. +∞

c. -∞

a. 0

b. 1

c.+∞

a.-ln2

b. 0

c. +∞

a.1

b.+ ∞

c. 0

a.+ ∞

b. 0

e ln x
dx 
x

7. 1

3

8. 2

e

9. 1
10.

a.

t

dt 
t 2 1
1
x.ln x 
3

d. , 3  3, 

c. ]-3 ;3[

a.

1

b. 1

2
1

8
ln  
2  3

a.1

dx 

c. 1

b.

c. e

3

c.1

2

b. 

1

c.e

2





f est la fonction définie sur IR par f  x  ln x  x 2  1 est une fonction :

a. Paire.
b. impaire
c. Ni paire, ni impaire.
Exercice N°2 : La courbe ci-contre est la représentation graphique, dans un repère
 
orthonormé O , i , j  , d’une fonction f définie et dérivable
sur  \ 1 et ∆ la droite d’équation y =1
1. Dresser le tableau de variation de f.
2. On pose g(x) = ln(f(x)).
a. Déterminer le domaine de définition de g.
b. Déterminer les limites : lim g  x ; lim
x

x

g  x ;

lim  g  x et lim g x .
x1
x1

c. Dresser le tableau de variation de g et tracer sa courbe.

  x  2

 si x  -, - 2  0, 
x ln 
Exercice N°3 :Soit la fonction définie par : f  x  
  x 


 f 0  0

 x  2 
2
1.
Soit φ la fonction définie par :   x  
. Dresser le tableau de variation de φ puis en
 ln 
 x 
x2
déduire le signe de φ(x).
2.
Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

 

3.

Dresser le tableau de variation de f et construire  f dans un repère orthonormé.

4.


1 2  x  2 


x  2 ln  x  2  x ln 

 x  si x  0, 
Soit la fonction g définie sur 0,  par : g  x  
2


g 0  0



-2-

b). Montrer que g est une primitive de f sur 0,  .

a) Montrer que g est continue à droite en 0.
c) Dresser le tableau de variation de g.

n 1

 2
5. Soit la suite définie sur  par : un  1  
 n 
*





n

2
a) Vérifier que pour tout n  * : ln un   f n  ln 1  

b) Montrer que la suite (u) est convergente et calculer sa limite.
Exercice N°4 : Soit f la fonction définie sur 1, par : f  x  x ln x . On désigne par (C) sa courbe représentative

 

dans un repère orthonormé O , i , j  du plan.
1. Montrer que f est continue sur 1, .
2. a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Soit ∆ la droite d’équation y = x. Déterminer C    .
b) Tracer (C) et ∆.
4. a)Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur 0, .

 

b) Tracer la courbe (C’) de g dans le repère O , i , j  .

 u0  0


u n 1  g u n  pour tout n  

5. On considère la suite (u) définie par : 

a) Montrer par récurrence que pour tout x  * on a : 0  un  e .
b) Montrer que la suite (u) est décroissante.
c) En déduire (u) est convergente et trouver sa limite.
Exercice N°5 :Soit f la fonction définie sur 0, par : f  x 

ln x
.
x

A- 1) a- Dresser le tableau de variation de f.
1
n

b- Montrer que pour tout entier n ≥ 3, l’équation : f  x  admet dans l’intervalle [1,e] une seule solution an.
c- Prouver que an+1< an, en déduire que la suite (an) converge.
1
2

2) a- Montrer que pour tout x ≥ 0, on a : x  x2  ln 1 x .
 1
 2 

1
2

b- En déduire que pour tout x  0,  on a : x 
a : an  1 

ln 1  x 
1 x

.

c- Montrer alors que pour tout n ≥ 4 on

2
n

3) Déterminer la limite de la suite (an).

B-


ln x


si x  0.

Soit g la fonction définie par : g  x   x  ln x




 g 0  1

1) Montrer en utilisant les variations de f que le domaine de définition de g est 0, .
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de g en 0 .
3) Dresser le tableau de variation de g.
4) Construire la courbe g
Exercice N°6 :
On a représenté ci-contre deux courbes représentatives
(C1) et (C2) d’une fonction f et de sa primitive F définies
sur IR.
1. Justifier que (C2) est celle de la fonction f.
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ;1]
.Calculer l’aire de la partie du plan limitée par (C2),
l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
x

3. Soit G la fonction définie par : G  x    f t  dt
0

a. Etudier le sens de variation de G.

-3-



b. Montrer que la représentation graphique Γ de G est l’image de (C1) par la translation de vecteur 2 j .
4. Soit la fonction h définie par : h(x) = ln(f(x)).
a) Préciser le domaine de définition de h.
b) Dresser le tableau de variation de h.
1
2

Exercice N°7 : Soit la fonction f définie sur 0, par : f  x  ln 2  x .
1. Etudier f et tracer sa courbe.
2. a)Etudier le sens de variation de f’.
b) En appliquant l’inégalité des accroissements finis, montrer que :

ln 1 x

 f 1  x f  x 

ln x
x

x
ln k
ln 2
c) Soit U la suite définie sur IN par : U n  
et en
. Montrer que pour tout n ≥3 : Un  f n 1 f 3 
2
k 1 k
k n

déduire la limite de U.
Exercice N°8 : Soit h  x  1 x  x ln x pour tout x > 0.a) Donner le signe de h(x) pour tout x > 0. b) Montrer que
x ln x
 1  ln x
x 1
1  k 
1  k 
1. Déduire que : k  * :1  k 1ln 
  1 ln 
.
 k 
 k 
 k 1
1 k n
2. Soit U la suite définie sur * par : U n  k 1 ln 
.
 k 
n k 1
1  n 
a) Montrer que k  * :1  Un  1 ln 
b) Déduire que la suite U est convergente et donner sa limite.
.
 n 

pour tout x > 1, on a : 1 

tn
dt
0 1 t

Exercice N°9 :Pour tout un entier naturel, on pose : I n  

1

1. a) Montrer que la suite (In) est décroissante.
b) Montrer que pour tout

1
1
et déduire la limite (In).
 In 
2 n 1
n 1

1
.
1 n
k 1 1
1
3. a) Montrer que pour tout k  * , on a : 
dt  .
k
t
k
k n
k n
1
1
b) Déduire que pour tout n  * , on a :   ln n 1. Déduire lim  .
n
k
k
k 1
k 1

2. Montrer que pour tout n  , on a : I n1  I n 

k n

4. Pour tout n  * . On pose Sn   I k . Déterminer lim Sn .
n 

k 1

n

Exercice N°10 : Pour tout x  1,  on pose f n  x  ln  x 1  
k 1

xk
où n est entier naturel tel que n ≥ 2.
k

1. Dresser le tableau de variation de fn .
2. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une seule solution n  .
n 1

3. a) Montrer que : f n 1 n  

n 

n 1

.

b) En déduire la monotonie de la suite n  . c) En déduire que la suite n  est convergente

-4-


 1

2

 f  x  x ln 1   si x  0


x
Exercice N°11:Soit la fonction f définie sur 0, par 
.




 f 0  0

 

On notera par (ζf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O , i , j  .
1. Soit  x   2ln 1  x 

x
.
1 x

a) Etudier le sens de variation de φ sur 0, . b) En déduire que pour tout x > 0 on a φ(x) > 0.
2. a) Montrer que f est dérivable à droite en 0.

1
b) Montrer que pour tout x>0 : f   x  x   .

 x
c) Dresser le tableau de variation de f et en déduire que f réalise une bijection de   sur   .

3. a)Montrer que pour t ≥ 0, ln(1+t) ≤ t.
b) Etudier la position de (ζf) et la droite (D) d’équation : y = x.
1
 1 t  t 2 .
1 t
x2
x 2 x3
b) En déduire que : x  0,  on a : x   ln 1 x  x   .
2
2
3
ln 1 x x
1
c) En déduire que : lim

x 0
2
x2



1
1
5. a) Montrer que lim f  x x    0.on posera X   . Interpréter le résultat géométriquement.
x 


2
x
1
b) Etudier la position de (ζf) et la droite ∆ : y = x - . c) Tracer dans le même repère (ζf) et (ζf-1).
2
6. a) Soit   0,1 et A : l’aire de la région du plan limité par (ζf), l’axe des abscisses et les droites d’équations : x = λ et

4. a) Vérifier que t  0,  , on a :1 t 

x = 1.Calculer A et lim A .
 0

b) En déduire l’aire de la partie limitée par (ζf-1), l’axe des ordonnées et la droite d’équation y = 1.



 



Exercice N°12 :A- La courbe ci contre est la représentation graphique dans un repère orthonormé O, i , j d’une
fonction f définie et dérivable sur 0, . La droite (T) est sa tangente au point d’abscisse 1.
1. Par lecture graphique :
a)Déterminer les valeurs f(1) et f’(1).
b)Dresser le tableau de variation d f.
2.


a  ln x


x  0,  \ 1
f  x  
bx
On admet que 




f 1  1

où a et b sont deux réels. Déterminer l’expression de f.
On prend a =0 et b = -1.
a) Montrer que f réalise une bijection de
* sur f *   J à préciser.
b) Donner une équation cartésienne de la tangente T’ à Cf-1 au point d’abscisse 1.
c) Tracer (Cf-1).

-5-

1

1 1

 1 

 1 1

3. Soit D la partie du plan limitée par (Cf ) ;(Cf-1) ;[AB] et [AC] où A  , ; B , f   et Cf   ,  . Soit A l’aire, en
 2 2   2  2 
  2  2 
1

unité d’aire, de D. Montrer que A  2 1 f  x dx 
2

B- 1. Montrer que x   \ 1 on a :

3
4

n
1
x n 1
  xk 
où n   .
1 x k 0
1 x
n

1

1

1

2. Déduire que : n   on a :  1 f  x dx   uk   1 x n1 f  x dx avec uk  1 xk ln  x dx .
k 0

2

2

2

3. Calculer un en fonction de n pour tout entier naturel n puis calculer lim un
n 

1 
x n1 ln x
4. Montrer que : n  * ,  x   ,1 on a : x n1 
 2ln 2.x n1
 2 
x 1
1
 n

n 1
 u k    1 f x  dx .
6.En
déduire
que
lim

x
f
x
dx
0


n  
n 

 k 0 
2


ln 1  x 

f x  
si x  0


Exercice N°13 A- Soit la fonction définie par : 
.
x



f
0
1





 ln 1  h  h  2
 x  ln 1  x  x .
1. Soit h  0,  . On définit sur   la fonction g : x  

h2


a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer qu’il existe un réel : c  0, h tel

5. Déduire que : lim

que :

ln 1  h  h
h

2



1

1
2

1
.
2 c 1
 ln 1  h   h  1
1
 
c) Prouver enfin que f est dérivable à droite en 0 et que : f d' 0   .
2

2
h
2

b) Prouver donc que : lim 
h0 



2. a) Justifier que :  x  0 : 

x
0

dt

1  t 

2



x
0

dt
1 t

b) Déduire que  x  0 :

x
 ln 1 x  0 .
1 x

c) Donner enfin le signe de f’(x) pour tout x > 0.
3.
Dresser le tableau de variation de f puis tracer Cf.
a

B- Pour tout a  0,1 , on pose : un   t n f t  dt .
0

1. Etudier la monotonie de la suite (un).

2. Prouver que (un) est convergente.

3.a) Montrer que pour tout x ≥ 0 ; f(x) ≤ 1.

b. En déduire que :  n  , on a : un 

a n1
.
n 1

c) Préciser donc lim un
n 

1

1
2

1
3

Exercice N°14 :Pour tout n  * , on pose U n   x n ln 1  x dx et Vn  1   ...... 
0

1

n

n 1

ln 2
1. a) Montrer que pour tout n  * , on a : 0  U n 
puis calculer sa limite.
n 1
1 x2
b) Calculer 
dx puis calculer U1.
0 1 x

2. On pose Sn  1 x  x 2  ....  1 x n avec n  * et x  0;1
n

-6-

1 x n1
1 x n1
1
n
a) Montrer que : Sn 
et que : Vn  ln 2  1 
dx

0 1 x
1 x
1 x
1
b) En déduire que : Vn  ln 2 
puis calculer la limite de (Vn).
n2
n

ln 2 1
.ln 2  Vn 

n 1 n 1
n

3. a) En utilisant une intégration par parties pour Un, montrer que : Un 

b) En déduire la limite de (Фn) définie par : Wn= (n + 1) Un est convergente et calculer sa limite.
Exercice N°15 :Soit f la fonction définie sur 0, par : f  x 

ln x
.
x2

1. Etudier le sens de variation de f.
2. a) Montrer que pour tout k  * \ 1 on a :

ln k  1

k 1

2



k 1

ln  x
x

k

2

dx 

ln k 
k2

ln x
dx avec a > 0 et b > 0.
a x2
ln n
ln 2 ln 3 ln 4
3. Pour tout n  * \ 1 , on pose : Sn  2  2  2  ......  2 .
2
3
4
n
n
ln  x
ln n
ln 2
a) Montrer que pour tout, on a : Sn  2  
dx  Sn  2
2
2
x2
n
1  ln 2 n  n 1 ln n
2  3ln 2 1 ln n
b) En déduire que :

 Sn 

2
2
4
n
n

b) Par une intégration par parties, calculer 

b

c) Donner un encadrement de S100 à 10-2 près
1 2 ln x
Exercice N°16 :Pour tout n   , on pose : I n  
dx
n! 1 x2
n

*

1. a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
b) Montrer que la suite (In) est convergente et par suite elle est convergente.

ln 2

n

c) Montrer que : n   ,0  I n 
*

n!

. En déduire lim I n .
n 

n 1

2.a) Par une intégration par parties, montrer que : n  * , on a : I n1  I n 
1
2

ln 2
1  ln 2 ln 2

 .... 
2  1!
2!
n!
2

n

b) En déduire que n  * , on a : I n   





n1

ln 2
ln 2 ln 2

 .... 
n!
2!
3!
2

3. On considère la suite (un) définie sur * par : un  1 

1 ln 2
.
2 n 1!

.

a) Exprimer (un) en fonction de In.
b) En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
Exercice N°17 :I- Soit la fonction g définie sur]0 ;1] par : g  x  2  2 x  ln x
1) Etudier le sens de variation de g.
 1
 2 

2) Montrer que g(x) = 0 admet dans  0,  une solution unique α et que : t  ,1 on a : 2t  2  ln t .

 

3) Construire la courbe de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé O , i , j  (Unité : 4cm).

-7-

4) Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et
x

1
2

 1
 2 

II- Soit f la fonction définie sur  0,  par : F  x  

2x
x

1
dt .
ln t 

 x
ln  
 1
 2 
1) Montrer que f est dérivable  0,  sur et que : F ' x 
.
 2 
ln 2 x ln  x

 1
x
x
. Déterminer alors : lim F  x  .
 F  x 
x 0
 2 
ln 2 x
ln  x
 1
1 2 x dt
3) Montrer que : x  ,  , on a : F  x  
. Déterminer alors : lim F  x .
1
 2 
2 x t 1
x  

2) Montrer que x   0,  on a :

 2 

4) Dresser le tableau de variation de F.
 1
 2 

5) a- Montrer que n  * l’équation : 1 + n F(x) = 0 admet dans  0,  une solution n .
b- Montrer que n  est une suite décroissante et qu’elle est convergente
. Exercice N°18 :Pour tout n  * , on pose : I n  

e

1

n
1 
ln t  dt

t

1-a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
b) Pour tout n  * , montrer que : I n1  2 e  2 n 1 I n .

c) En déduire I2 puis 

1

e

2
1 
ln t 1 dt .

t

3
2

2-a) Montrer que pour tout n  * : 0  I n  .
b) Montrer que la suite (In) est décroissante. En déduire que (In) est convergente.
3-a)Montrer que pour tout n  * :

2 e
2 e
.
 In 
2n  3
2n 1

b) En déduire lim nI n  .
n 

Exercice N°19 :I- Soit g la fonction définie sur 1,  par : g  x 

2x
 ln 1 x .
x 1

1) Dresser le tableau de variation de g.
2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans l’intervalle 1,  deux solutions 0 et α et vérifier que 3,8 < α < 4
3) En déduire le signe de g(x) pour tout x  1,  .

4) Montrer que pour tout x  1,  , on a :g(x) ≤ 1.



 f  x  ln 1  x si x  0


II- Soit f la fonction définie sur 0, par : 
. On désigne par (C) la courbe représentative de
x




 f 0  0

 

f dans un repère orthonormé O , i , j  du plan.
1) Montrer que f est continue sur 0, .

3) Montrer que pour tout x  0,  , on a : f ' x 

2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0.
g  x
2x x

.

4) Dresser le tableau de variation de f et vérifier que : f  

2 
.
1 

5) Tracer la courbe (C) de f.

-8-

III- Soit (un) la suite définie sur * par : un 

3n!
.
n n 2n!

x 1
.
1 x
 k k
2) Soit n  * .a- Montrer que pour tout k  1, 2,........., n , on a : ln 1   .
 n  3n
k n
 k
1
b- Vérifier que :  ln 1    ln un 
c- En déduire que : ln un   n 1


n
6
k 1

1) En utilisant I-4)- montrer que pour tout x  0,  , on a : ln 1 x 

d- Déterminer alors la limite de un.

 f  x   x ln x si x  0
. On désigne par (C) sa courbe



 f  0  0

Exercice N°20 :Soit la fonction f définie sur   par 

 

représentative de f dan un repère orthonormé O , i , j  .
1-a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0.
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que le point A d’abscisse 1 est un point d’inflexion pour la courbe (C).
d) Tracer (C) en précisant la tangente à (C) en A.
2-Soit p  * . On pose : Fp  x  

1
x

t ln t  dt où x  0;1
p

4
9

a) Calculer F1(x) puis vérifier que lim F1  x   .


x 0

b) Montrer que pour tout entier p  * , et que pour tout réel x  0;1 , on a :
p 1
2
2
Fp1  x   x x ln  x   p 1 Fp  x .
3
3

 2
p
c) Montrer par récurrence que Fp(x) admet une limite finie u p  1  p ! 
 3

p 1

quand x  0 .

Exercice N°21: I- Soit la fonction g définie sur 0, par : g x   1 x 3  2ln x . Etudier les variations de g,
calculer g(1) et en déduire le signe de g(x).
II- Soit f la fonction définie sur 0, par : f  x  1 x 

 

orthonormé O , i , j  .
1) Montrer que pour tout x de 0, , on a : f ' x 

ln x
et (C) sa courbe représentative dans un repère
x

g  x
x3

et dresser le tableau de variation de f.

2) Montrer que (C) admet une asymptote oblique D et étudier la position relative de (C) et D.
3) a- Soient α et ß deux réels tels que : 1 < α < ß, calculer : I  





ln x
dx .
x2

b- Interpréter géométriquement I.
III- Soit U n n2 la suite définie par : U n  

n
2

ln x
dx .
x2

1) Montrer que la suite U est croissante.
1
2

1
n

2) Vérifier que pour tout n ≥ 2, on a : U n  1 ln 2 1 ln n calculer lim U n .
n

-9-

k n

ln k
2
k 2 k

3) On pose pour tout n ≥ 2 : Sn  

ln x
.
x2
k 1 ln x
ln k  1
ln k
b- Montrer que pour tout k ≥ 2, on a :

dx  2
2
2
k
x
k
k 1

a- Etudier le sens de variation de la fonction  : x 

c- En déduire que pour tout n ≥ 2, on a : U n 

ln n
n

2

 Sn  U n 

ln 2
.
22

d- Montrer que (Sn est convergente et en déduire un encadrement de sa limite.

Les solutions
Exercice N°1 : 1.b
Exercice N°2 :

x -∞
f’(x)
f(x) 1

2.c

3. a

4.a

1

5.c

7.a

8.a

9.b

10.b

+∞

+∞
-∞

1

1.a) Dg  ; 1  1; 
b)

6.c

lim g  x  lim ln  f  x  ln 1  0
x
x

lim g  x  0 / lim  g  x   / lim g  x   
x1
x1
1
-1
c) x -∞
+∞
g’(x)
+∞
g(x) 0
-∞
0
Exercice N°3 :
x -∞
1. On a φ est dérivable sur son domaine de
φ’(x)
4
définition et    x 
2
φ(x)
x  x  2
0 .
D’après le tableau de variation : φ(x) > 0 x  -, - 2  0, 
x

1. Continuité à droite en 0 :
 0 ln 2  0  0  f 0car

0

-2
+∞

+∞
+∞

0

lim f x   lim x ln x  2  x ln x
x 0
x 0

lim x ln x  0 donc f est continue à droite en 0.

x 0

Dérivabilité à droite en 0 :

lim
x0

f  x  f 0
x0

 x  2 
x2
 lim ln 
  car lim
  alors f n’est pas

x0  x 
x0 x

dérivable à droite en 0.
2. a) f’(x) = φ(x) > 0.
lim f  2 alors (ζf ) admet ∆ : y=2 comme asymptote


horizontale au voisinage de +∞ et lim f  2 alors (ζf )


x -∞
f’(x)
f(x)
2

-2

0

+∞

+∞

2
0

admet ∆ : y=2 comme asymptote horizontale au

- 10 -

voisinage de -∞. lim f   alors (ζf ) admet

2

D : x=-2 comme asymptote verticale au voisinage
f x   f 0
de -2. lim
  alors (ζf ) admet une
x 0

x 0

demi tangente
verticale au point O(0 ;0) d’équation



x0
y  f (0)  0

b) voir figure :
1 

1
 x  2
  0  2 ln 2   0  0  2 ln 2 donc g est continue à droite en

2

3. a) lim g x  lim x  2ln x  2  x x ln 
 x
2 
x0
x0
0.
b) x  0,  g’(x)= f(x)

lim
x0

g x  g 0
x 0

 x  2ln x  2  2ln 2  1
 x  2 
  x ln 
 lim 




 x 
x
2


x0



 2ln  x  2 



 x  2 
 2  1
 lim 1
 x ln 

 x 
x
2
x 0 




 x
 ln 1  2 
ln 1  

 x  1

ln 1  t


 2

x
2
  11  0  0  f (0) car lim
  x ln 
 lim
 1 donc g’(0) = f(0) or
lim 1



2
x




x0 
x
t
x0
t0
 2



x
2
x  0,  g’(x)= f(x) donc x  0, g’(x)= f(x) et par suite g est la primitive de f sur  0,
n 1




2
2
2
2
2

  n  1 ln 1    n ln 1    ln 1    f n   ln 1  
 n
 n
 n
 n






4. a) ln u n   ln 1  
 n







2
b) lim ln 1    0 et lim f n  2 donc lim ln u n   2 d ' où lim u n  e 2
n  
n 
n 
n 


n

Exercice N°4 : 1) x  x est continue sur IR, en particulier sur 1, de plus x  ln x est continue sur 0, et
x  1,  on a : ln x  0 alors x  ln x est continue sur 1, ainsi f est continue sur 1, .

2) a) lim

x 1

f  x   f 1
x 1

 lim
x 1

x ln x
x ln x
ln x
x
 lim
 lim

  ainsi f n’est pas dérivable à droite en 1
x 1  x 1 ln x
x 1 x 1
x 1
ln x

d’où (C) admet au point d’abscisse 1 une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
1
1
0
b) f est dérivable sur 1, et on a : f   x   ln x  x. x  ln x 
2 ln x
2 ln x

x 1
f’(x)
f(x)
0

+∞

 lim f  x  lim x ln x  
x 

x 

+∞

- 11 -


y  f x 


 yx

4) a)Soit x  1,  . si M x, y  C   équivaut à 
5)

 f x   x équivaut à x ln x  x or x  0équivaut à ln x  1

donc x = e. ainsi C    A e, e .
f  x

x ln x
 lim ln x  
x 
x
x

alors (C) admet branche parabolique au voisinage de +∞ de direction O, j .

b) On a : lim f  x   et lim
x 

x 

 lim

x 

4) a) f est continue et strictement croissante sur 1, donc elle réalise une bijection de 1, sur
f 1,   0,  . f admet alors une fonction réciproque g définie sur 0, .

b) C '  S C 
5) a) Pour n = 0, uo = 0. 0≤ uo ≤ e (vérifie).Soit n  * . Supposons que 0  un  e et montrons que 0  un1  e . On
a 0  un  e et comme f est croissante sur 1, donc g est strictement croissante sur 0, d’où
g 0  g un   g e équivaut à : 1  un1  e donc 0  un1  e .

b) un1  un  g un  un or (C’) est au dessus de ∆ sur [0,e] donc g  x  x x  0, e et comme un  0, e alors
g un   un c ' est à dire un1  un alors (u) est une suite croissante.

c) la suite (u) est une suite croissante et majorée par e donc elle est convergente. Soit l  lim un or
n 

0  un  e donc 0  l  e . On a f est continue sur 1, donc g est continue sur 0, et en particulier en l d’où

g l   l . Or e est la seule solution de l’équation f(x) = x donc g l   l équivaut à l  e d’où lim un  e
n

1
1
Exercice N°5: A-1)a- f est définie et continue sur 0, . f  x   2  2 1 ln x  et f   x  0 équivaut à x = e.
x
x
1 1
b- Pour tout n ≥3 on a : 0   et comme f est continue
n e
e
x 0

et strictement croissante sur [1,e] donc elle réalise une bijection
1
n

1
e

1
e

de [1,e] sur f([1, ]) = [0,e]/ or 0   alors il existe une unique

-∞

1
n

solution a n  1,e de l’équation : f  x  .
c- On a f an1  

f’(x)
f(x)

+∞

0
1
e

0

1
1
et f an   alors f an1   f an  et f est une fonction croissante sur 1, e alors an1  an .
n 1
n

Donc an est une suite décroissante et minorée par 1 donc elle est convergente.
1
2

2)a- On pose h  x  x  x2  ln 1 x , h est une fonction dérivable sur 0, et h  x  1 x 
D’où h’(x) ≤ 0 sur 0, . D’après le tableau de
variation on a h(x)≤ 0 pour tout x ≥ 0.

x 0
h’(x)
h(x) 0

1
x 2

1  x x 1

+∞

1
1
1
1
2
2
2
2
1

 1

 1
1
1
1
1
1
1
On a 1 x x  x  x2   x  x 2  x  x 2   x  x 2  x   x  0 car x  0,  .
 2 




2
2
2
2
2
2
2
2

b- Montrons que : 1 x x  x  x2  x  x2 ?

- 12 -

1
2

1
2

Donc : 1 x x  ln 1 x or 1 x  0 car x  0 donc x 

ln 1  x

c- on a n ≥ 4 alors

1 x

1 1
2 1
2  1
2
 équivaut à  c ' est à dire  0,  . D’après la question 2)b- on prend x  on
n 4
n 2
n  2 
n
 2
 2
ln 1  
ln 1  
 n 
 2
 n 
1 2
1
équivaut à 
c ' est à dire f an   f 1   or f est une fonction croissante sur [1,e]
aura : . 
 n 
2
2
2 n
n
1
1
n
n
2
2
2
donc an  1 
3) On a 1  an  1  et lim 1  1 donc lim an  1 .
n

n
n
n
n
1
ln x 1
B-1) On a x > 0 : f  x  signifie que
  1 alors ln x  x car x  0 d ' où ln  x x  0 . Donc g est bien définie sur
e
x
e
0, .
ln x
ln x
1
1
1
.
 lim
 lim

 1  g 0
x  ln x x  0 ln x x 1 x  0 x 1 0 1
ln x
ln x
ln x
1
g x  g 0
ln x   x  ln x 
x
1

x
ln x
 lim
 lim
 lim
 lim
 lim
0
x 0
x 0
x 0
x 0 x  x  ln x 
x 0 x  ln x
x 0
x
x x  ln x 

2)  lim g  x   lim
x  0

3) g 'x  

x  0

 1
1
x  ln x 1  ln x
 x
x

x  ln x 

2

lim g  x   lim

x 

x 

x 0
g’(x) 0
g(x)
Exercice-1N°6:

1


ln x
ln x
 ln x 
x
x  1 ln x le signe de g’(x) est celui de (1-lnx).
2
2
x  ln x 
x  ln x 

ln x
1
 lim
0
x  ln x x  x 1
ln x
e

4) Courbe

+∞

0
e
e1

0

1. On suppose que (C1) est celle de la fonction f.
On a F’(x) = f(x) et f(2) = 0 donc F’(2) = 0et
par suite (C1) admet une tangente horizontale au
point d’abscisse 2. Ceci est impossible d’après le
graphe. Donc (C2) est celle de la fonction f.
1
1
1
f t  dt   F t  0  F 1 F 0  e  2

0
1 0
1
2
 2

3. A   f t  dt ua   f t  dt  f t dt  F 1 F 0  F 2 F 1  e  2  e  0  2e  2ua
 0

0
1

2. F 

4. a)f est continue sur  donc G est dérivable sur  et G’(x) = f(x).
x -∞
b) G(x) = F(x) – F(0) = F(x) – 2équivaut à
G’(x)
G(x) – F(x) = -2. Soient M x , F (x )  C1 et


M 'x ,G x    où x est réel alors : MM '  2 j

équivaut à   t2 j C1  .

G(x)
x -∞-2
h’(x)
h(x)
-∞

1
0
e-2
0
0
0

+∞

-∞
1

- -∞
- 13 -

f ' x

5. h ' x 

f  x

lim f x   0 et lim ln x  

x 

x 0

donc lim h x   0
x 

x 0
f’(x)
f(x) +∞

Exercice N°7 :
1. f ' x 

f  x
1 ln  x
ln x
 lim
0
x  0 et lim
x 
x  2
x
x
x
2


Donc Cf admet une branche parabolique de direction O , i  .

2. a) f’ est dérivable sur 0, et x  0,  : f   x 

1
0

+∞
+∞

0

1 ln x
x2

1 – lnx ≥0 équivaut à 1 ≥ lnx équivaut à 0 < x ≤ e.

e
x 0
+∞
0
f’’(x)
1
f’(x)
-∞ sur [e,+∞[ et ex  e implique x 01  e
a) f est dérivable
alors il existe un réel c  x, x 1 tel que :
f  x 1 f  x
 f 'c e  x  c  1 x comme f’ est strictement décroissante sur [e,+∞[
x  1 x

alors : f '1  x  f 'c  f ' x équivaut à
k n

c)


k 3

ln 1  k 
1 k

ln 1  x 

x 1
k
ln
or
   f k 1  f k   
k 3
k 3 k
k n

 f 'c 

ln 1  x
ln x
ln x
d’où
 f  x 1 f  x 
x
x 1
x

k n

k n

  f k 1 f k   f 4 f 3  f 5 f 4  .....  f n 1 f n  f n 1 f 3 donc
k 3

ln n
ln 2
ln 2
ln 3 ln 4
alors f n 1 f 3  U n 
équivaut à f n 1 f 3 

 .... 
 U n or
3
4
n
2
2
lim f n 1   donc lim U n  

f n 1 f 3 
n

n

Exercice N°8 :
1. a) h est dérivable sur 0, , h ' x  ln x ; d’après
le tableau de variation h admet 0 comme minimum absolue
sur 0, donc h(x) ≥ 0 pour tout x > 0.

x 0
h’(x)
h(x)

1
0

+∞

0
x ln x
 1 ln x x  1  x 1  x ln x  x 11  ln x  x  1
x 1

1 x  x ln x  0
a 
x  1 d’après 1)a- on a
 x 1  x ln x et x ln  x  x ln x 1 ln x  


b

 x 1 ln x  0
b) 1 

h(x)>0  1 x  x ln x  0 x  1 donc (a) est vraie. On pose g x   x 1 ln x pour x  1 g est
dérivable x  1 et g ' x 

x 1
 0 x  1 donc g est strictement croissante 1, alors pour tout x > 1, on a g(x) >
x

g(1) = 0 d’où (b) est vraie.

- 14 -

x ln x
1
 1  ln x x  1 . En posant x  1  k  * alors k >1 d’où
x 1
k
 k  1  k  1

 ln 

 k  1
 k 1
 k 1
 k   k 
*
k  * :1 
 1  ln 
 donc k   :1  k 1 ln 
  1  ln 

k 1
 k 
 k 
 k 
1
k
 k 1
3. On a k  * :1  k 1ln 
 1  ln k 1 ln k alors :
 k 

2. On a 1 

on somme membre à membre on trouve :


kn
 k  1




n    k  1 ln 
  n  ln n  1 équivaut à

3


 k 

k 1

pour k  2 : 1  3 ln
 1  ln 3  ln 2


2


ln
1
n



1  Un  1
équivaut à

4

pour k  3 : 1  3 ln
 1  ln 4  ln 3
n


3


ln 1  n  



.........................................
lim 1  lim U n  lim 1 



n 
n 
n 
n



 n  1








pour k  n : 1   n  1 ln 
1
ln
n
1
ln
n






ln 1  n 
ln 1  n  1  n
 n 




 or lim
 lim
0
.
n 
n 
n
1 n
n
pour k  1 : 1  2 ln 2  1  ln 2  ln1

donc lim U n  1
n

Exercice N°9: 1.a) I n1  I n  

1
0

1 tn
1 t n 1
1 tn
t n1
t n 
 dt  

dt  
dt   
t 1dt or pour tout t  0;1 la
0 1 t
0 
0 1 t
1 t
1  t 1  t 

tn
t 1 est continue et négative. Donc I n1  I n  0 .
1 t
tn
tn
1
1
b) 0  t  1  1  t 1  2  
 1 or t  0 alors t n  0 donc 
 t n comme les trois fonctions :
2 t 1
2 1 t
1 tn
1 tn
1
tn
tn
dt   t n dt
t ;t
et t  t n sont continues sur [0 ; 1] alors  dt  
0 2
0 1 t
0
2
1 t
1
1
1
1
or lim
 lim
 0 donc lim I n  0

 In 
n 2 n 1
n n 1
n
2n 1
n 1

fonction : t 

2. I n1  I n  

1
0

1 tn
1 t n 1
1 tn
1
t n1
t n 
1
 dt  

dt  
dt   
t  1dt   t n dt 

0 1 t
0 1  t
0 1 t
0
1 t
1  t 
n 1

k 1 1
1
1
dt 
dt 
k
k
t
k
k
k n
k n
kn
k 1 1
k 1 1
k 1 1
n 1 1
1
1 k 1
dt    
dt  
dt  
   dt
b) 
k
k
k
1
k
t
k
t
k
t k 1 k 
k 1
k 1


1
t

1
k

3.a) k  t  k 1    

k 1

1

k n
k n
1
1
1
 ln x1    ln n 1   or lim ln 1  n    lim   
n
n


k 1 k
k 1 k
k 1 k
k n
k  n1
k  n1
k  n1
1
1
1
1
4) Sn   I k d’après 1-b) on a :
or d’après 3-a)
 Ik 
 
  Ik  
2k 1
k 1
k 0 2 k  1
k 0
k 0 k  1
k 1
n1

k n 1

lim

n 


k

k n

k n
1
1
 lim     lim S n   .

n
n 
k 1
k 0 k

Exercice N°10 : f n x 

k n
1
1
kx k


1  x  ...  x n1  0
x 1 k 1 k
x 1
x 1

+∞

fn’(x)

+∞

fn(x)
-∞

- 15 -

1. fn est continue et strictement croissante donc elle
réalise une bijection de 1, sur f n 1,  et comme
0  f n 1,  alors il existe un unique n  1,  tel que : f n n   0 .

2. a) f n1  x  ln  x 1  x 

2 3
 n  n 1
x 2 x3
x n x n1
d’où f n1 n   ln n 1  n  n  n ...  n  n
alors :
 ...  
2
3
n n  1
n n 1
2
3

f n n 

n 1

n 

n 1

 
.
 n
n 1
n 1
n1
b) On a f n1 n1   0 et f n1 n   n  0  f n1 n1   f n1 n  , comme f n+1 est une fonction croissante sur
n 1
1, alors n1  n donc n  est suite décroissante et elle est minorée par 1 alors n  est une suite convergente.
f n 1 n   f n n  

 0

n 1

n 

n 1

Exercice N°11: 1.a) φ est dérivable sur 0, . (somme des fonctions dérivables) on a :
x  0;   x   2

1
1
2x  1


 0 d’où φ est strictement croissante sur 0, .
x 1 x 12 x 12

b) Comme φ est strictement croissante sur 0, alors x  0;   x   0  0
 1
1
1
2.a) La fonction x  1  est continue sur 0, et x  0;1  0  la fonction x  ln 1   est continue sur

x
 1
0, . De plus la fonction : x  x2 est continue sur 0, donc la fonction f : x  x 2 ln 1   est continue
 x
2


f  lim  x ln  x  1  x.x ln x   0  f 0  f est continue en 0.Conclusion : f est continue sur 0, .
sur 0, . lim
0
x0

x



x

 1
1
1
b) La fonction x  1  est dérivable sur 0, et x  0;1  0  la fonction x  ln 1   est dérivable sur


x
 1
0, De plus la fonction : x  x2 est dérivable sur 0, donc la fonction f : x  x2 ln 1  est dérivable
 x

x

sur 0, . lim



x 0

f  x  f 0
x

x

 1
 lim x ln 1    lim  x ln  x  1  x ln x   0  f est dérivable à droite en 0.Conclusion :

x 0
x 0
 x

f est dérivable sur 0, .





 1 
 1 
1  1  






 x  
 1 
 1   x x 2 
 1   x 
1


2








  x. 2 ln 1    
  x  
 x. 2 ln 1    
c) On a : x  0,  , f  x   2x.ln 1    x .




 x 


1 
1
1



 x




x   1
x   1






 1  


x  x  0
x
x




+∞ 
f’(x) 0
1
1
b) x  0 on a  0 alors x  0 on a   x  0
et par suite x  0 on a : f ' x  x    0
 x 
+∞
x
f(x)
pose X

 1 
 limf  lim x 2 ln 1   
 x 

x 

1
x

0

 1 ln 1  X
ln 1  X
   car lim 
 1 Comme f est continue et strictement
lim  .



x 0 X
x
0
X
X


croissante sur   alors f réalise une bijection de   sur f(   ) =   .

1. a) Soit t    , x  0, t , on a :

t
t
1
1
1  
dx   dx  ln 1 t   t
0 1 x
0
1 x

- 16 -

 





1 1
b) Pour tout x > 0, f  x x  x 2 ln 1     donc f(x) – x < 0. Conclusion : Cf est au dessous de (D)
 


x
x



0 d ' après la question 3a )

1
1 t 2 1 t 2
1
t 3
2. a) 1 t 


 0 et on a :
1 t  t 2  
 0  t  0,  . Donc
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
1
1 t 
 1 t  t 2  t  0,  .
1 t
1
b) les fonctions : t  1 t; t 
et t  1 t  t 2 sont continues sur 0, et x  0,  on a :
t 1
x
x 1
x
x2
x 2 x3
2
0 1 tdt  0 1 t dt  0 1 t  t  dt  x  2  ln1 x  x  2  3
x2
x 2 x3
x2
x 2 x3
c) on a : x  0 x   ln 1  x   x  
   ln 1 x x  
2
2
3
2
2
3
ln 1 x  x
1 ln 1  x x
1 x
1
or x2  0   

  donc: lim
2
2

x
0
2
2
2 3
x
x





ln 1  X  X
ln






1  X 1 1 
1
1
1
1
3. a) lim f  x  x    lim  x 2 ln 1   x   
lim 
    lim
  0.

2
2
x  
x  


x 0
X0






2
x
2
X
2
X
2
X
1



 on pose X




x
et lim X 0
x

1
 D 'après la question 3c)
2

1
2

Ce qui interprète que Cf admet la droite ∆ : y  x  comme asymptote oblique au voisinage de +∞.

1
b)  x  0;f  x x   

2

1
h  
 x 
x2
0

avec
h
x

ln
1

x

x

d 'après la question 4  a)




2
2 -1
 1 
 
Cf
 x 


1 1
et f 00     0 d’où Cf est au-dessus de ∆.

2 2

b) voir figure.
c)
1

1

4. a) A   f  x  dx   f  x  dx car f  x   0 x  ,1






u ' x  x 2  u  x  1 x3


1
 1
3

  x 2 ln 1   dx 
 x 
 1 

1 



v  x  ln 1    v ' x 

x
x  x 1

Cf

1
 1 
11
1 x2
1
 1 


 1 1
1
1
1
 dx  1 ln 2  1  3 ln 1  1   1
  x3 ln 1     x3 .
dx  ln 2   3 ln 1     h  x 


 3
 3

   3  x 1
   3
 x  x 1
x  
3
3
3
3

x t2
x 2 
 qui s’annule en 0) donc
(car h  x  
dt est la primitive sur IR\{-1} de la fonction  x 
0 1 t
1  x 



 1 1
 1 1  1
1
1
1
1
2
A  ln 2   3 ln 1     h 1 h    ln 2   3 ln 1      ln 2     ln 1   
   3

   3  2
3
3
3
3
2


 1 1
2
1 1
1
1
A  ln 2   3 ln 1    ln 1    2   et

  3
3
6 3
6
3

- 17 -

2
 1 1
 1
1 1
1
1  2
1
lim A  lim  ln 2   3 ln 1    ln 1     2     ln 2  car lim  3 ln 1    lim  f    0
 0
 0  3
 0
   3
   0
6 3
6
3  3
6

'
b) C f 1  S D C f ; y ' Oy  S D  x ' Ox  et  D1 : y  1  S D  D1 : x  1 et comme SD est une isométrie alors elle conserve

2
3

1
6

les distances par conséquent elle conserve les aires. Donc Aire( D ")  lim A  ln 2  .
 0

Exercice N°12: A-1 a) A1;1  C f équivaut à f(1) =1. et on a
A  T et B 3;0  T donc f '1 

0 1
1

3 1
2

b) voir le tableau :

x 0
f’(x)
f(x) +∞
a  ln 1

2. on a f(1) = 1 et f est continue en 1 lim f x   f 1  1 
x 1

1 b

+∞

1 

a 0
 1  a  1 b
1 b

0

xb
 ln x
1
1
2
et f ' x   x
alors f '1    1  b  a   1 b donc on
2
2
2
 x  b


1
a  1 b
2





1  b  a   1  b



a  0
a :

2
1
2 

1  b 1 b  0   1  b




b  1


2
a  1  b

1. a) f est strictement décroissante sur *  f réalise une bijection de * dans f *   * = J.

b) f(1) = 1 et f '1    0  f -1 est dérivable en et on a  f 1  1 
1
2

1
1

 2
1


f '1
f '  f 1

d’où T ' : y   f 1  1 x 1  f 1 1  2 x  3 .
c) C f  S C f  avec S∆ est la symétrie orthogonale
1

d’axe ∆ : y = x ( voir figure)
4. D  D1  D2 et D1  D2   avec D1 et D2 sont les domaines
limités respectivement :

C f 1
C f






 AB 

et  AC 
comme C f 1  S C f  ;  AC   S  AB  et  AH   S  AH  or






 AH  avec H 1;1
 AH  avec H 1;1




S∆ est une isométrie alors l’aire est de D1 est égale à D2.d’où Aire(D) = A = 2Aire(D1) =
 1

1
1
1
3
2   1  f  x  x dx  2 1 f  x dx   x 2  1  2 1 f  x  dx 
4
2
2
2
 2

k n
x n1 1 x n1 x n1
1
B- 1. x   \ 1 on a :  x k 







x
x
x
x
1
1
1
1
k 0

k n
1
x n 1
  xk 
 n  ; x   \ 1 on a :
1 x k  0
1 x
k n
1
1 k  n
ln x
x n 1 ln x 
x n1 ln x
ln x
 dx  n  ; on a :
 n  ; on a :  1 
dx   1  x k ln x 
  x k ln x 

x 1
1 x 
1 x k 0
1 x
2
2  k 0

2. n  ; x   \ 1 on a : x   \ 1 on a :

1

k n

1

1

1

k n

1

 1 f x  dx    1 x k ln xdx   1 x n 1f x dx  n  ; on a :  1 f x dx   u k   1 x n 1f x  dx
2

k 0

2

2

2

k 0

2

- 18 -

1

3. un   1

2


1 n1 
u '  x   x n  u  x  
x 
1
1
 1 n1



1
n 1
n




u
x
x
ln
donc
:
x n ln x dx 

n
1 x dx

1






n
n
1
1
1

2
2
v  x  ln x  v ' x 

x



1
n 1
n 1
n 1
n 1
1
1
 1 
1
ln 2
1
1  1 
1  1 n1 
   0 car 1  1,1 alors :



.
Comme
lim
  2 .  
x    


2
2
n 
 2 
2
n 1  2 
n 1  n 1
n 1  2 
 1  2  n  1 n  1
ln

2

n 1
 1 n 1 ln 2
1
1  1  



lim u n  lim  
 0
2
2  
n 
n  
 2  n  1 n  1
n  1  2  

1
ln
1 
 1 
x
ln
*
 2
f   (car f est décroissante sur   )  x   ,1 on a :1 
 2 
 2 
x 1 1 1
2
n 1


x
x
1
ln
 n  * , x   ,1 on a : x n1 
 2ln 2.x n1 .
 2 
x 1
1
1 x n 1 ln x
1
1 
x n1 ln x
5. n  * , x   ,1 on a : x n1 
dx  2ln 2 1 x n1 dx
 2ln 2.x n1  n  * , on a :  1 x n1 dx   1
x 1
x 1
 2 
2
2
2

1 
4. x   ,1 on a : f 1  f  x 
 2 

1
 1

 1

x n 2    1 x n 1f x  dx  2 ln 2 
x n 2 
 n  * , on a : 
 n  2
 1
 n  2
 1
2
2
2
1

 n  * , on a :

1

n 2
n 2
n 1
1
1   1  
2ln 2   1  
1   1  
n 1
1
x
f
x
dx
1
lim
1





de
plus
 
 
 
    0
1
n  n  1 
n  2   2    2
n  2   2  
  2  

Donc, d’après un théorème de limite et ordre, on a : lim

n

k n

1

1

6. n  ;on a :  1 f x dx   u k   1 x n 1f x dx 
k 0

2

2



1
1
2



1
1
2

x n1 f  x dx  0

f  x  dx   lim

n 

k n

u
k 0

k

 lim

n 



1
1
2

x n 1f x dx ainsi

1
 k n

lim   uk    1 f  x dx
n 

 k 0
2

 ln 1  h  h  2
 x  ln 1  x  x est dérivable sur IR+ (on remarque que la variable de g

h2


TAF

g h g 0
est x).Ainsi g est continue sur [0,h] et dérivable sur ]0,h[ .  il existe un réel c  0, h tel que : g 'c 
or g(h)
h0


 ln 1  h  h 
 ln 1  h  h 
 2c  1 1  0 car g  x   
 2 x  1 1 donc
= 0 et g(0) = 0 d’où g’(c) = 0  

2
2




1 c
x 1 
h
h





Exercice N°13:A- 1.a) g : x  

g ' c   0 

ln 1  h  h
h

2



 ln 1  h h
1
1  1
.
1 


2
2c 1  c 
2 1  c
h

1
2

b) 0  c  h  1  c 1  1 h  
lim

x0

ln 1  h h
h2



1
1
1
1
1
1
1



  or lim
  alors
h0 2 1  h
1 c 1 h
2 1  h 2 c 1
2
2

1
2

- 19 -

 ln 1  h  

1
f h  f 0
ln 1  h  h


1
1
h
c) lim
 lim 
   f est dérivable à droite en 0 et f d' 0   . 2.a)Soit
  lim
2


h 0
h
0
h
0


2
h 0
h
2
h




x
x 1
1
1
1
2
x ≥ 0 t  0, x  :1  t  1  t  0, x  : 1  t   1  t  t  0, x  :
et par suite : 

dt  
dt .
2
2
0
0 1 t
1  t 
1  t  1  t

b) Soit x ≥ 0on a : 

1

x
0

1  t 

2

dt  

x
0

 1 
x
1
1
x
  ln 1  t  0  
 1  ln 1  x  
 ln 1  x 
dt  


1 t
x 1
x 1
 t 1 0
x

x
 ln 1 x  0 .
1 x
c) la fonction : x  1 x est dérivable et strictement
positive sur   . Et par suite f est dérivable sur   .



x  0; f ' x  

x.

x 0
f’(x) 0
f(x) 1

+∞

1
x
1.ln 1  x 
 ln 1  x 
1 x
1 x

 0 D’après la question A-2-b).
x2
x2

0

3.Voir tableau de variation et la courbe.
a

a

a

B-1. n   : un1  un   t n1 f t  dt   t n f t  dt   t n f t .t 1 dt
0

0

0

Or t  0,a   0,1 on a : t n  0;f t   0 et t 1  0 
a

t  0, a  on a : t n f t t 1  0 et par suite  t n f t t 1 dt  0 
0

un1  un  0 donc (un) est une suite décroissante.

2.a) n  ; t  0,a  on a : t n  0;f t   0  n   : t n f t   0
a

 n   : un   t n f t  dt  0 . Donc (un) est minorée par 0 de plus (un) est décroissante donc (un) est convergente.
0

3.a) f est décroissante sur IR+ donc : pour tout réel x ≥ 0, f(x) ≤ f(0) = 1.
 t n1 


 n 1 0

a

a

a

b) n  ; t  0, a: f t   1  n  ; t  0, a: t n f t   t n  n   :  t n f t  dt   t n dt n   : un  
0

0

a n1
a n1
a n1
c) n  ; un 
de plus lim
 0 car a  0,1 d’où lim un  0
n
n n 1
n 1
n 1
Exercice N°14: 1.a) 0  x  1 alors 1  x 1  2 donc 0  ln  x 1  ln 2 d’où 0  xn ln  x 1  ln 2.x n
 n  ; un 

 x n1 
1
1
1
 comme lim ln 2  0 alors lim U n  0 .
  0dx   x n ln 1  x  dx   x n ln 2 dx  0  U n  
 n  1
n
0
0
0
n n 1

0
1

b) 

1
0

1 x 2 1  1
1
1 2

1 
1
x2
dx  
dx   x 1 
 dx   x  x  ln  x  1    ln 2

0
0 
 2
 0
2
x 1
x 1
x 1
1



u  x  ln 1  x  u ' x  1 
1
1 2


1 1 x2
1  x 


U1   x ln 1  x  dx posons : 
ln
1
U
x
x
dx 


 
donc



1


0
2
 0 2 0 x 1
1


2

v ' x  x  v  x  x


2
 1
1
1 1
ln 2    ln 2  .
 4
2
2  2
1

- 20 -

k n

2.a) Sn   x est la somme de ( n + 1) termes d’une suite géométrique de raison q  x  1 . Alors
k

k 0

n 1

n1
1
1 1
1 1 x
1 x n1
1
. D’une part on a :  Sn dx  
dx  
dx

0
0 1 x
0
1 x
1 x
1 x
1 x
1
n

2
3
1
1 x n1
1 x n 1 

1
x
x
n n
n
2

 ln 1  x 0  1 
dx d’autre part :  1 x  x  .....  1 x dx   x    .... 
0
0 1 x
2
3
n  1 

0

Sn 

1x

n

n







1 x n1
1
1 1
n
 1   ..... 
 Vn d’où Vn  ln 2  1 
dx
0 1 x
2 3
n 1
1
1
x n1
x n1
b) 0  x 1 alors 1  x 1  2 d ' où 1 
on aura alors :
  x n1 

2
x 1 2
x 1
n

 x n2 
1
1
x n 1
  1 d’où Vn  ln 2  1 et lim 1  0 alors
dx   x n 1dx comme  x n1dx  


0
0
1 x
n  2 n n  2
 n  20 n  2
1

Vn  ln 2 



1
0

lim Vn  ln 2 .

n 

n 1


 f ' x  x n  f  x  x
1

 n1

1 1
1 x n 1

x n1
1
1
n 1
 alors : U   x ln 1  x 
dx 
.
3.a) 
dx
ln 2 
n



 n 1

0 n 1 1  x

n 1
n 1 0 n 1
1 


0

 g  x  ln 1  x  g ' x 

1  x 

comme Vn  ln 2  1

n



1 x n 1
V  ln 2
x n 1
dx  n
Ainsi
dx alors 
n
0 1 x
0 1 x
1

1

n
1
1 Vn  ln 2  ln 2 1

ln 2 
Un 

ln 2 Vn 

n 1
n  1  1n  n  1 n  1

b) Wn  n 1 U n  ln 2  1 ln 2  Vn   Wn  ln 2  1 ln 2  Vn   Wn  ln 2  ln 2  Vn comme
n

n

lim Vn  ln 2  0 alors lim Wn  ln 2  0 d’où lim Wn  ln 2 donc W est une suite convergente.

n 

n

n

1 2
x  2 x ln x x 1 2 ln x 
1 2 ln x


or : x  * on a :
Exercice N°15: 1. on a : f ' x   x
x4
x4
x3
1
1
 ln x  e 2  x donc f est strictement croissante sur  0, e  et strictement décroissante sur  e ,   .




2
2)a)Comme e  2 , la fonction f est strictement décroissante sur  2, . On a donc : k  x  k 1 

1 2ln x  0 

f k 1  f  x  f k  soit :

soit
b)

ln k 1

k 1

2



b
a



k 1
k

dx  

ln k  1



ln  x

x
k 1
k 1 ln  x 
ln k 
2

x2

k

dx 

k2



ln k 

 k  2   k

k 1

ln k 1

dx  

k 1

ln  x

dx  

k
x
k 1
k 1
k 1 ln  x 
ln k  1
ln k 
k dx ou encore : k 12  k x 2 dx  k 2 .

2

k

2

2

2

k 1

ln k 

k

k2

dx

b
 1

 1

1
 1
1
1 1
1
ln x dx   ln x    . dx   ln x      ln x   .
2
a







x x
x  a
x
 x
a
 x
a  xa  x
b

b

b

b

3) a) En donnant successivement à k les valeurs 2 ;3 ;4 ;….. ; n – 1 on obtient ( n – 2) inégalités doubles ; ajoutons-les
k  n1

membre à membre on obtient :


k 2

ln k  1

k 1

2



k  n1


k 2

k 1
k

ln  x
x

2

dx 

k  n1

ln k 

k 2

k2



. La première somme s’écrit :

- 21 -

ln n
ln 3 ln 4
ln 2
 2  ......  2  Sn  2 .Le second membre s’écrit :
2
3
4
2
n
3 ln  x
4 ln  x
n ln  x
n ln  x 
2 x2 dx  3 x2 dx  ....  n1 x2 dx  2 x2 dx La troisième somme s’écrit :
n ln  x
ln n 1
ln n
ln n
ln 2 ln 3
ln 2
 2  ...... 
 Sn  2 d’où on a bien l’encadrement : Sn  2  
dx  Sn  2
2
2
2
2
n
2
3
2
x
n
n 1
n
ln 2  ln x 1 
ln 2 ln n 1 ln 2 1


d’après 2.b) soit : Sn  2 



 
 ou encore :
2
 x
x  2
2
2
2
n
n
2

b) La première inégalité s’écrit : Sn 
Sn 

ln n  ln x 1  n
2  3ln 2 1  ln n
  soit :
. La deuxième inégalité s’écrit : Sn  2  

 x
x  2
n
4
n

1 ln 2 1
1  ln 2 n  n ln n ln n
d’où on trouve l’encadrement demandé.
 
 ou encore : Sn 

n
n
2
2
2
n2
n
1  ln 2 100  99ln 100
2  3ln 2 1  ln 100
c) on a :
on obtient avec la calculatrice : 0,79  S100  0,97 .

 S100 

2
2
4
100
100

1 
u  x   ln x  u ' x   
2
2
ln x

1
ln x
x 
Exercice N°16:1.a) I1  
dx  
dx soit 

1 x2

1
1
1! 1 x 2
v ' x   2  v  x    
x 
x

Sn 

ln n
2



ln n

2
 1

1
ln 2  1 
ln 2 1
 I1   .ln  x    2  dx  
  
 .
 x 
1 
 x
1
 x 1
2
2
2
n 1
n
n

2 ln x 
1
1 2 ln x 
1  2 ln x   ln x
 dx or on a :
dx
dx
1



b) I n1  I n 

n ! 1 x 2
n !  1 x 2  n  1  
x2
n  1! 1


2

2

ln x

n

x  1; 2  ln x  0 et x  0 donc

x2

 0 n  * , d’autre part: x  2  e  ln x  ln e  1 et comme

ln x
1
ln x
ln x
 1 n  * 
1 
1  0 donc
x2
n 1
n 1
n 1

n

ln x

n

décroissante. On a x  1; 2, n   :
*

x2

 ln x


1  0 et par suite I n1  I n  0 alors (In) est une suite
 n 1 

1 2 ln x
dx  0  (In) est une suite décroissante et minorée par
0  
n! 1 x2
n

0 donc (In) est une suite convergente.

ln x

n

c) On a : x  1; 2  0  ln x  ln 2 car ln   0  ln x  ln 2  0 
n

0

2

ln x

n

x2

1

0

2

n

x2

2

ln 2

n

x2

1

ln x

1

dx  

ln 2

n

dx 

ln 2

2

dx or : 

1

2

ln 2

n

n

x2

dx  ln 2

n



1

2

x2

ln 2

n



x2

2
ln 2
1
1
n 


ln
2
dx



donc


2
 x 1
2
x
n

ln 2
ln 2
1 2 ln x
d’où I n 
. Et
dx 
 ln 2  0  
2
1
n!
n!
n!
x
n

n

n

n

n

comme lim

n

n!

 lim ln 2  0 car ln 2 est une suite géométrique de raison : 0 <ln(2) <1 donc lim I n  0 .
n

n

n

n

- 22 -


1
n 1
n
u  x   ln x   u ' x   n  1 . ln x  


1
x
2.a) I n1 
dx On pose : 



1
1
x2
n  1! 1
 v ' x   2  v  x   



x
x
n
2


2
2 ln x 
1   1
1 n 1
1  1
n 1 
n
n 1

  ln x     .
ln x dx 
dx 
 I n1 
 ln 2  n  1 


2
1
1
1
x x
x
n 1!   x

 n 1!  2
2

n 1

ln x

n 1

n 1

n 1

ln 2
n 1 2 ln x
ln 2
ln 2
1 2 ln x


 In 
dx  
dx 
2
2

1
1
2 n 1! n 1!
2 n 1!
n!
x
x  2 n 1!


In
n

n

1 ln 2 1 1  ln 2 
  
 la propriété est vraie. Supposons que :
2
2
2 2  1! 
2
2
n
n
n 1
ln 2 
ln 2 ln 2 
1 1  ln 2 ln 2
1 1  ln 2 ln 2
I n   

 .... 

 .... 

 , montrons que : I n1   
 . Or on a :
2 2  1!
2!
n ! 
2 2  1!
2!
n!
n 1! 
2
n 1
n
n 1
n 1
ln 2  1 ln 2
1 ln 2
1 1  ln 2 ln 2
1 ln 2
 I n 1  I n 
  

 .... 
I n1  I n 
 
2 n  1! 2 2  1!
2!
n !  2 n 1!
2 n  1!
n
n 1
2
2
n
ln 2 ln 2 
ln 2 
1 1  ln 2 ln 2
1 1  ln 2 ln 2
*
  

 .... 


 .... 
 donc : n   : I n   
.
n!
2 2  1!
2!
2 2  1!
2!
n! 
n 1! 

b) Par récurrence : pour n = 1, I1  

n 1

ln 2
ln 2
ln 2 ln 2
ln 2 ln 2
1 1
3.a) u n  1 
on aura : I n   un .ln 2 donc

 .... 
 u n .ln 2 

 .... 
2!
3!
n!
1!
2!
n!
2 2
1 2I n
1 2I n
1
.
b) lim un  lim
car lim I n  0

un 
n
n ln 2
n
ln 2
ln 2
1 2 x 1
Exercice N°17:I-1) les variations de g sur]0 ; 1]. g ' x  2  
. Le signe de g’(x) est celui de (-2 x + 1)
x
x
1
lim g  x   lim 2  2 x  ln x  
lim g  x  0
car x>0. On a : g ' x  0  2 x 1  0  x 
1
x1
2 x0
x0
x 0
2
1
 1
0
2) g est continue et strictement croissante sur  0,  donc g’(x)
 2 
1- ln2
2

 1
elle réalise une bijection de  0,  sur ,1  ln 2 comme
 2 

2

n

g(x)

-∞

0  ,1  ln 2 alors

0
g(x) = 0 admet une solution
unique α.

 1
 2 

Soit t  0,  comme g est croissante alors g(t)≤ g(α) donc g(t) ≤ 0. Si t   ,   g   g t   g t   0. Sur

1 
 ,1 g(t) admet 0 comme minimum absolue donc g(t) ≥ 0 pour tout t  ,1 : g(t) ≥0  2  2t  ln t  0 ln t  2  2t .
 2 
1
lim g  x    alors (Cg) admet une asymptote verticale d’équation x = 0. g '   0 donc (Cg) admet une


 2
x0
1

tangente horizontale en  ,1 ln 2 .
2

 1
 2 2
4) Donc l’aire A   1 g x  dx 4 cm



3)

2

- 23 -


1
1 1 1 1
  2t  t 2  t ln t  t  1 42 cm2  1   ln    16cm2 .
4 2  2  2 

2

1
est continue sur ]0 ;1[
ln t
 1
 1
donc elle admet au moins une primitive G sur  0,  . La fonction x  2x est dérivable sur  0,  et
 2 
 2 
 1
 1
x   0,   2 x  0;1  0;1 . Donc la fonction : x  G 2x  est dérivable sur  0,  comme composée de deux fonctions.
 2 
 2 
 1
1
1
2ln x  ln 2x
Alors F est dérivable sur  0,  et on a : F ' x  2 x ' G '2x x ' G ' x  2.


 2 
ln 2 x ln x ln  2x ln  x

II- 1) la fonction : t 

x2
x
ln
2
x
2
.


ln 2 x ln  x ln 2 x ln  x
ln

 1
1
1
1
. Or les fonctions :


 2 
ln 2 x ln t ln x
1 


t

ln t 


2x
2x 1
2x 1
2x 1
 1
1 
1
2x  x
2x  x

t

dt 
dt  
dt  
dt 
 sont continues sur  0;  on aura : 

x
x
x
x


ln x 
ln 2 x
ln t
ln x
ln 2x
ln t
ln x
 2

1 

t

ln 2 x 


0
0
x
x
x
x
x
x
or lim
  0 et lim

 0 donc lim F  x   0 .
 lim
 lim F  x  lim

 F  x 
x0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x





ln 2 x
ln x
ln 2 x 
ln x 
ln 2 x
ln x
2 x dt
 1
3) F  x  
. D’après I-1) : 2t -2 ≤ lnt. Les fonctions : t  2t  2 et t  ln t sont continues sur ,  donc :
x t 1
 2 
2x 1
2x
1
1
1 1
1
1 2x 1
1 2x 1



 
dt  
dt  F  x  
dt  F  x    ln  t 1  x
x ln t
2t  2 ln t
2 t 1 ln t
2 x t 1
2 x t 1
1
1
 F  x  ln  2 x 1   ln  x 1  comme x   x 1  0 et 2 x 1  0 donc : x 1  x 1 et 2 x 1  2 x 1

2
2
1
donc : F  x  ln 1 2x ln 1 x or : lim 1 2 x  0  lim ln 1 2 x   et par suite lim F  x   .
1
1
1
2
x  
x  
x  

2) x   0,  . x  t  2x  ln x  ln t  ln 2x comme 2x < 1 c-à-d ln2x < 0 alors

 2 

 2 

 2 

x
 1
x
x  1
2
4) Le tableau de variation de F : F ' x 
x   0,     0,   ln  0 . ln  x  0; x  0;1
 2  2  4 
2
ln 2 x ln  x
ln

1
 1
x 0
2
et ln 2x  0 donc : F ' x  0x   0, 
 2 
F’(x)
1
5) 1 nF  x  0  F  x   comme F est continue et
F(x) 0
n
-∞
 1 
 1 
 1
 1


strictement croissante sur  0,  donc elle réalise une bijection de  0,  sur F  0,   , 0 comme    , 0 donc
 2 
 2 
 2 
 n
 1
 2 

il existe un unique n   0,  telque : Fn   

1
1
1
1
1
On a 1 n  n  

   F n1   F n  .
n
n 1 n
1 n
n

- 24 -

1
2

Comme F est décroissante sur ]0 ; [ donc n  n1 alors n  est suite décroissante et comme elle est minorée par 0
donc n  est convergente.
Exercice N°18 :1-a) On a : I1  

1

e

1 
ln t  dt
t

 f  t   ln t  f '  t   1 

t 
e1
e
on pose : 
alors: I1   2 t.ln t    2 t dt

1

1
1 t
 g t   2 t 
 g 't  
t


 2 e 

e

2

dt  2 e  2  2 t   2 e  4

1
t

1

e

 u t  ln t n1  u '  t   n1 ln t n 
  
   
t
n1
1 
 dt on pose 
ln
t
b) I n1  




1
1
t
 v ' t    v t   2 t

t


e
n
n


n1
 In1  ln t  2 t   1e n 1 ln t  .2 tdt In1  2 e  2 n 1 1e ln t  . tdt  2 e  2 n 1 In .


1
In
2
2
1
1
c) I 2  2 e  2 2 I1  2 e  4 4  2 e   10 e 16 . 1e
ln t   1 dt  1e  ln t   2 ln t  1 dt

t
t 
2
2

e
2
1
e  ln t 
e 2
e 1
e   ln t 
dt  1
ln t dt  1 dt  I 2  2I1  2 t 
 1

ln t  dt  1
1
t
t
t
t
t
 t
e













 10 e  16  2 4  2 e  2 e  2  16 e  26

n

ln  t 
1

2-a) On a 1  t  e  ln1  0  ln t  ln  e   1  0  ln  t   1  0  
t
t
n

e
3
3
e 1
 0  I n  1
dt  0  I n  2 t   0  I n  2 e  2  donc 0  I n  .


1
2
2
t

1

b) I n1  I n  1e   ln  t  
 t
 t  1, e :

n1



 ln t 
t

1

n
n
e 1
dt  1 t ln  t  ln t   1dt on a :





n

ln  t   0 et 0  ln t  1 d ' où ln  t  1  0. alors d’où I n1  I n  0 et par suite In est décroissante, or In
t

1

est minorée par 0 alors elle est convergente .

- 25 -

3-a) on a In est décroissante alors I n 1  I n  2 e  2  n  1 I n  I n  2 e   2n  3 I n 
a : I n  I n1 et ona : I n  2 e  2nI n1  I n1 
I
2 e
 In 
In  n 
2n
2n

b)

2 e
2n  3

 In 

2 e
2n  1

2 e
1 


2 n 1 

 2n 



n .2 e
2n  3

Exercice N°19 :I-1) g '  x  

2n  1

n .2 e

d’où : I n 

finalement :

comme

2n  1

2n  3

 I n d’autre part, on

2 e  In

2n

2 e
2n  3

 In 

2 e
2n  1

.

n .2 e
n .2 e
lim
 e  lim
donc lim I n  e .
n
n  2n  3
n  2n  1

2 1  x   2 x
1
2  2 x  2x  1  x
1 x



2
2
2
1 x
1  x α
1  x 
1  x 

0

x -1
g’(x)
g(x)

2n
2 e

donc I n 

 n .I n 

2 e  In

2 e

+∞

1
0
1-ln2

0
0
2x
 2  y1
1
-∞
 ln 1  x   lim 
 ln  y    lim
lim g  x   lim
2y  2  y ln  y     car si on
-∞

 1 x


y 0  y
 y 0 y
x  1
x  1


pose : y  1  x, si x   1 ; y  0

2x
lim g  x   lim
 ln 1  x   2    
x
x 1  x

2) d’après le tableau de variation, g s’annule deux fois et on a g(0)= 0-ln(1)=0 et g (3,8) = 0,01 et g(4)= -0,009
comme g(3,8)  g(4) < 0 et g continue et strictement décroissante sur ]3,8 ; 4[ alors l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution α tel que : 3,8 < α < 4.
3) g  x   0 sur 1, 0 / g  x   0 sur  0,   / g  x   0 sur  ,  .
4) D’après le tableau de variation, g admet un maximum est égale à 1 – ln2 < 1 d’où g(x) ≤ 1.


II- 1) Les fonctions : x  ln  x  1  sont continues sur ]0,+∞[ don f est continue sur ]0,+∞[.

x x

x  x 1

Continuité de f en 0+ : lim f  x   lim
x0

ln 1  x 
ln y 
 lim
x 0
y 1 y 1
x

et lim

droite en 0.
2) Dérivabilité en 0+ : lim

x 0

x0

ln 1  x 
x

 lim
x0

x ln 1  x 
x

f  x   lim x  lim
x0
x0
x0

 1 d’où lim

f  x   f  0
x

 lim
x 0

ln 1  x 
x x

 lim
x 0

. On pose : y  1  x, x  0, y  1

ln 1  x 
x

 0 1  0  f  0  .Don nc f est continue à

1 ln 1  x 
.
 1   donc f n’est pas dérivable à
x
x

droite de 0.

x  ln 1  x  
 sont dérivables sur ]0,+∞[ d’où f est dérivable sur ]0,+∞[. Et
x x

1
1
. x
ln 1  x 
2x  1  x  .ln 1  x  2x  1  x  ln 1  x 
g x
1
1 x
 2x
 1
2 x
.
f ' x  




 ln 1  x   .

2
1 x
2 x 1  x  x
2x x  1  x
 2x x 2x x
x

3) Les fonctions :

α
x 0
g(x)
f(x)
0

+∞
0
f(α)
0

- 26 -

4) lim f  x   lim
x 

ln 1  x 

x 

x

 1  
ln   1 x 
x  
 lim 
x 
x

 1 

 ln  x  1 ln x 
ln 1   
2
2

  0 f   
or g    0 
 lim  
 ln 1     ln 1    
x 
1 
1 


x
x





donc f   

2

1    



2 
.
1 

2x
2x
x 1
 ln  x  1  1 
 1  ln  x  1 
 ln  x  1 .
1 x
1 x
x 1
k
1  1
k
k
k
x 1
k



n
 ln  2   
2)a) On a :
 ln  x  1 on pose : x  1  on aura: ln 1  1   
n  11 k
n  2n  k
x 1
n


n
k k
k
k
1
1

or 2n + k ≤ 3n donc
et k est positif
d’où : ln  2    .


n  3n
2n  k 3n
2n  k 3n


III-1) D’après I-4) on a : g  x   1 



k

k

kn



k

kn

k

1

c) On a : ln  2      ln  2      ln  un  
.
n  3n
n  k 1 3n
3n


k 1
d) lim ln  un   lim
n 

n 

n  n  1
2

 ln  u n  

n 1
6

n 1
  donc lim ln  un    et par suite lim un  
n 
n 
6

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