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4ème M

Série N°…
Logarithme népérien

RESUME DU COURS
Définition : La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive sur 0,  qui s’annule en 1, de la
fonction : x 

x1
1
. On donc, pour tout réel x >0, lnx   dt .
1
t
x

Conséquence : ln est définie, continue et dérivable sur 0,  et, pour tout réel strictement positive on a : ln   x  

1
de
x

plus ln(1) = 0.
Propriétés algébriques : pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
ln  ab   ln a  ln b

ln

a
ln    ln a  ln b
b

 a   n1 ln a Limites :
n

ln  a n   n ln a  n   

lim ln x  

x 

limln x  
x 0

ln

 a   12 ln a

lim

x 

ln x
0
x

lim x ln x  0 lim
x 0

h 0

ln 1  h 
h

1

ln n  x 
ln x
 0 et lim x m ln n  x   0
 1 Pour tous entiers naturels non nuls n et m, on a lim
x 
x 1 x  1
x 0
xm
Equations et inéquations :Pour tous réels x et x  strictement positifs, on a :
En particulier : ln x  0  0  x  1 et ln x  0  x  1
ln x  ln x  x  x
ln x  ln x  x  x
Dérivée de ln(u)Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u  x   0 , pour tout réel x dans I alors ln(u)

lim

est dérivable sur I et in a :



 ln  u    uu

pour tout réel x dans I

Théorème : Si u est une fonction dérivable pour tout réel x dans I telle que u  x   0 , alors la
fonction f : x  ln u  x  est dérivables sur I et f   x  

u  x 
u x

.

Corollaire :Si u est une fonction dérivable pour tout réel x dans I telle que u  x   0 , alors la fonction f : x 
admet des primitives de la forme : ln  u   c où c est une constante réelle.

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-1-

u  x 
u x