Logarithme avec correction.pdf


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b. Montrer que la représentation graphique Γ de G est l’image de (C1) par la translation de vecteur 2 j .
4. Soit la fonction h définie par : h(x) = ln(f(x)).
a) Préciser le domaine de définition de h.
b) Dresser le tableau de variation de h.
1
2

Exercice N°7 : Soit la fonction f définie sur 0, par : f  x  ln 2  x .
1. Etudier f et tracer sa courbe.
2. a)Etudier le sens de variation de f’.
b) En appliquant l’inégalité des accroissements finis, montrer que :

ln 1 x

 f 1  x f  x 

ln x
x

x
ln k
ln 2
c) Soit U la suite définie sur IN par : U n  
et en
. Montrer que pour tout n ≥3 : Un  f n 1 f 3 
2
k 1 k
k n

déduire la limite de U.
Exercice N°8 : Soit h  x  1 x  x ln x pour tout x > 0.a) Donner le signe de h(x) pour tout x > 0. b) Montrer que
x ln x
 1  ln x
x 1
1  k 
1  k 
1. Déduire que : k  * :1  k 1ln 
  1 ln 
.
 k 
 k 
 k 1
1 k n
2. Soit U la suite définie sur * par : U n  k 1 ln 
.
 k 
n k 1
1  n 
a) Montrer que k  * :1  Un  1 ln 
b) Déduire que la suite U est convergente et donner sa limite.
.
 n 

pour tout x > 1, on a : 1 

tn
dt
0 1 t

Exercice N°9 :Pour tout un entier naturel, on pose : I n  

1

1. a) Montrer que la suite (In) est décroissante.
b) Montrer que pour tout

1
1
et déduire la limite (In).
 In 
2 n 1
n 1

1
.
1 n
k 1 1
1
3. a) Montrer que pour tout k  * , on a : 
dt  .
k
t
k
k n
k n
1
1
b) Déduire que pour tout n  * , on a :   ln n 1. Déduire lim  .
n
k
k
k 1
k 1

2. Montrer que pour tout n  , on a : I n1  I n 

k n

4. Pour tout n  * . On pose Sn   I k . Déterminer lim Sn .
n 

k 1

n

Exercice N°10 : Pour tout x  1,  on pose f n  x  ln  x 1  
k 1

xk
où n est entier naturel tel que n ≥ 2.
k

1. Dresser le tableau de variation de fn .
2. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une seule solution n  .
n 1

3. a) Montrer que : f n 1 n  

n 

n 1

.

b) En déduire la monotonie de la suite n  . c) En déduire que la suite n  est convergente

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