Logarithme avec correction.pdf


Aperçu du fichier PDF logarithme-avec-correction.pdf - page 5/27

Page 1...3 4 56727



Aperçu texte



 1

2

 f  x  x ln 1   si x  0


x
Exercice N°11:Soit la fonction f définie sur 0, par 
.




 f 0  0

 

On notera par (ζf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O , i , j  .
1. Soit  x   2ln 1  x 

x
.
1 x

a) Etudier le sens de variation de φ sur 0, . b) En déduire que pour tout x > 0 on a φ(x) > 0.
2. a) Montrer que f est dérivable à droite en 0.

1
b) Montrer que pour tout x>0 : f   x  x   .

 x
c) Dresser le tableau de variation de f et en déduire que f réalise une bijection de   sur   .

3. a)Montrer que pour t ≥ 0, ln(1+t) ≤ t.
b) Etudier la position de (ζf) et la droite (D) d’équation : y = x.
1
 1 t  t 2 .
1 t
x2
x 2 x3
b) En déduire que : x  0,  on a : x   ln 1 x  x   .
2
2
3
ln 1 x x
1
c) En déduire que : lim

x 0
2
x2



1
1
5. a) Montrer que lim f  x x    0.on posera X   . Interpréter le résultat géométriquement.
x 


2
x
1
b) Etudier la position de (ζf) et la droite ∆ : y = x - . c) Tracer dans le même repère (ζf) et (ζf-1).
2
6. a) Soit   0,1 et A : l’aire de la région du plan limité par (ζf), l’axe des abscisses et les droites d’équations : x = λ et

4. a) Vérifier que t  0,  , on a :1 t 

x = 1.Calculer A et lim A .
 0

b) En déduire l’aire de la partie limitée par (ζf-1), l’axe des ordonnées et la droite d’équation y = 1.



 



Exercice N°12 :A- La courbe ci contre est la représentation graphique dans un repère orthonormé O, i , j d’une
fonction f définie et dérivable sur 0, . La droite (T) est sa tangente au point d’abscisse 1.
1. Par lecture graphique :
a)Déterminer les valeurs f(1) et f’(1).
b)Dresser le tableau de variation d f.
2.


a  ln x


x  0,  \ 1
f  x  
bx
On admet que 




f 1  1

où a et b sont deux réels. Déterminer l’expression de f.
On prend a =0 et b = -1.
a) Montrer que f réalise une bijection de
* sur f *   J à préciser.
b) Donner une équation cartésienne de la tangente T’ à Cf-1 au point d’abscisse 1.
c) Tracer (Cf-1).

-5-