Logarithme avec correction.pdf


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1

1 1

 1 

 1 1

3. Soit D la partie du plan limitée par (Cf ) ;(Cf-1) ;[AB] et [AC] où A  , ; B , f   et Cf   ,  . Soit A l’aire, en
 2 2   2  2 
  2  2 
1

unité d’aire, de D. Montrer que A  2 1 f  x dx 
2

B- 1. Montrer que x   \ 1 on a :

3
4

n
1
x n 1
  xk 
où n   .
1 x k 0
1 x
n

1

1

1

2. Déduire que : n   on a :  1 f  x dx   uk   1 x n1 f  x dx avec uk  1 xk ln  x dx .
k 0

2

2

2

3. Calculer un en fonction de n pour tout entier naturel n puis calculer lim un
n 

1 
x n1 ln x
4. Montrer que : n  * ,  x   ,1 on a : x n1 
 2ln 2.x n1
 2 
x 1
1
 n

n 1
 u k    1 f x  dx .
6.En
déduire
que
lim

x
f
x
dx
0


n  
n 

 k 0 
2


ln 1  x 

f x  
si x  0


Exercice N°13 A- Soit la fonction définie par : 
.
x



f
0
1





 ln 1  h  h  2
 x  ln 1  x  x .
1. Soit h  0,  . On définit sur   la fonction g : x  

h2


a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer qu’il existe un réel : c  0, h tel

5. Déduire que : lim

que :

ln 1  h  h
h

2



1

1
2

1
.
2 c 1
 ln 1  h   h  1
1
 
c) Prouver enfin que f est dérivable à droite en 0 et que : f d' 0   .
2

2
h
2

b) Prouver donc que : lim 
h0 



2. a) Justifier que :  x  0 : 

x
0

dt

1  t 

2



x
0

dt
1 t

b) Déduire que  x  0 :

x
 ln 1 x  0 .
1 x

c) Donner enfin le signe de f’(x) pour tout x > 0.
3.
Dresser le tableau de variation de f puis tracer Cf.
a

B- Pour tout a  0,1 , on pose : un   t n f t  dt .
0

1. Etudier la monotonie de la suite (un).

2. Prouver que (un) est convergente.

3.a) Montrer que pour tout x ≥ 0 ; f(x) ≤ 1.

b. En déduire que :  n  , on a : un 

a n1
.
n 1

c) Préciser donc lim un
n 

1

1
2

1
3

Exercice N°14 :Pour tout n  * , on pose U n   x n ln 1  x dx et Vn  1   ...... 
0

1

n

n 1

ln 2
1. a) Montrer que pour tout n  * , on a : 0  U n 
puis calculer sa limite.
n 1
1 x2
b) Calculer 
dx puis calculer U1.
0 1 x

2. On pose Sn  1 x  x 2  ....  1 x n avec n  * et x  0;1
n

-6-