Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



LN ALG EX .pdf



Nom original: LN ALG EX.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par / PDFlib 5.0.3 (C++/Win32), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 10/02/2015 à 22:42, depuis l'adresse IP 41.140.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 396 fois.
Taille du document: 655 Ko (47 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜــﻼﺕ‪:‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪1 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪: ‬‬

‫‪-1 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪x a ln  ( - x ) ‬‬
‫‪ -2 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪x a ln  ( x ) ‬‬
‫‪-3 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪:‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪]0; +¥ [ ‬‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪x a ( ln  x ) ‬‬

‫*‪¡ ‬‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪¡ * +‬‬

‫‪ -4 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ a‬ﻓﺈﻥ ‪ln 2 a = ln a 2 ‬‬

‫‪  -5 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ln x  > 0  : x ‬‬
‫‪ -6 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪ln ( a + b ) = ln a + ln b ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  -7 ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x  < 1 ‬ﻓﺈﻥ ‪ln x  < 0 : ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪  -8 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬
‫‪ln x ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ -9 ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  x ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪e lnx  =  x ‬‬
‫‪ln e 2008  =  2008  - 10 ‬‬

‫‪x a‬‬

‫‪- 11 ‬‬

‫‪-12 ‬‬
‫‪-13 ‬‬

‫ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ‬

‫‪]0; +¥ [ ‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪= +¥ ‬‬
‫‪x ®+¥ ln x ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Lim éëln  ( - x ) ùû = +¥‬‬
‫‪lim ‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫‪= 1830ln 2 ‬‬

‫‪1830 ‬‬

‫‪ln ( - 2 ) ‬‬

‫‪-14 ‬‬

‫‪ ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻓﺈﻥ ‪ln x 2  = 2ln   x  : ‬‬

‫‪- 15 ‬‬

‫‪ln12‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪= ln = ln4 ‬‬
‫‪ln3‬‬
‫‪3 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪2 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺒﺴﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪: ‬‬

‫‪e ‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪2) ln e 3  - ln  ‬‬

‫‪1) ln e - ln  e -3 ‬‬

‫‪3 ‬‬
‫‪4) ln2 2 -  ln2 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ln 2 ‬‬
‫‪3)  ln 2 5  +‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪5)ln ( 128 ) - ln ( 16 ´ 32 ) ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪6)ln 243 + ln610  + ln ‬‬
‫‪1024 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪3 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺇﻟﻰ‬

‫‪1 ‬‬
‫‪ ; ‬‬
‫‪ln1830 ‬‬

‫‪) ‬‬

‫‪1954 ‬‬

‫‪- 2 ‬‬

‫‪10 ‬‬

‫‪ ;  ln ( 1962 ) ‬‬

‫‪2006‬‬

‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬

‫) ‪ln ( 2007‬‬

‫‪12 ‬‬

‫(‬

‫‪ ; ln ( 2,0005) ; ln 25×37 ×5 3 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪4 ‬‬

‫‪1418‬‬

‫)‪ln ( 2‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪: ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪a = 3ln7 - 5ln5; b = 3ln2 - ln15 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ln 3 ‬‬
‫‪ln(0, 5) ‬‬
‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪5 ‬‬

‫‪) ‬‬

‫= ‪3 - 2 ; d ‬‬

‫(‬

‫‪c = ln‬‬

‫‪.‬‬

‫‪æ 2 3 + 4 ö‬‬
‫‪3 - 1 + ln çç‬‬
‫ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪÷ = 0 :‬‬
‫‪4  ÷ø ‬‬
‫‪è‬‬

‫‪) ‬‬

‫(‬

‫‪2ln‬‬

.
‫ﻭ ﺍﺤﺴﺏ‬



6 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
 

‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل‬
: ‫ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬

1)  f ( x ) =

1  2 
x - x + ln x 


(



2)  f ( x ) = ln x 2  - 4 


x ln  x 
æ x - 1 ö
6)  f ( x ) = ln ç
÷
è x - 2 ø


8)  f ( x ) = ( ln x  ) 

4)  f ( x ) =

3)  f ( x ) = x  ln   x 
5)  f ( x ) = x  ln  ( - x ) 
7)  f ( x ) = ln ( e 2 x - 5 e x  + 6 ) 

.

7 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

:  ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

ln x ö
æ
1) lim
 ç x >
x  ÷ø 
x ® 0 è


2) lim 
>
x ® 0  ln  x 

  ) 
4)lim
ln ( ln x 
>

5) lim 
>
x ® 0  ln  x 

x ® 1 

7) lim  
x ®+ ¥ 

ln x 



8) lim  
x ®+¥

ln x

x 4 

(



6) lim x 2  - ln  x 
x ® + ¥


9) lim  
x ® +¥ 

( ln x ) 


1 ö
æ
x  ln  x  12) lim x  ln ç 1 + ÷
x ø 
è
x ® 0 
x ®+ ¥
. 8 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
: ‫ﺤل ﻓﻲ ¡ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
1)  ln x - ln ( x - 2 ) = 1                        2)  ln x 2  = 4 

10) lim
 
( x - ln x ) ln x 
>
x ® 0 

e x 

æ x  ö
3) lim ln ç 2  ÷
è x  + 1 ø 
x ® +¥

11) lim
>

(



3)  ln ( x - 1 ) + ln ( x + 2 ) = ln x 2  - 3 x + 2 


4)   2 ( ln x )  + 5ln x - 3 = 0 

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪9 ‬‬
‫ﺤل ﻓﻲ ¡ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪: ‬‬
‫‪.‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪2)  ln x  < 1 ‬‬
‫‪< 0 ‬‬

‫)‪ln ( x ­ 1 ‬‬
‫‪ln ( x + 3 ) ‬‬

‫‪4)   ‬‬

‫‪6)   ( x 2  - 4 x ) ln x ³ 0 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪10 ‬‬

‫< ‪1)  ln x‬‬

‫‪3)  ln x + ln ( x - 1) > ln6 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪5)    ( ln x )  - 8ln x + 7 > 0 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﻴﻥ ‪ ‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪  g ‬‬

‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻓﻲ‬

‫ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ‪ ‬ﻴﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I ‬‬

‫‪           ;         I= ]0 ; +¥‬‬
‫‪  [ ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1)  f ( x ) = 3 x 2  -‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪           ;         I= ]1 ; + ¥[ ‬‬
‫‪x - 1  ( x ­1 ) 2 ‬‬

‫‪2)  f ( x ) = - x 3  +‬‬

‫‪x - 1 ‬‬
‫‪           ;         I= ] 2 ; + ¥[ ‬‬
‫‪x - 2 x ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫)‪( ln x ‬‬
‫= )‪4)  f ( x ‬‬
‫‪           ;         I= ]0 ; +¥‬‬
‫‪  [ ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫= )‪5)  f ( x ‬‬
‫‪           ;         I= ]0 ; p [ ‬‬
‫‪sin  x ‬‬
‫‪e x ‬‬
‫‪6)  f ( x ) = x             ;         I= ]­¥  ; + ¥[ ‬‬
‫‪e  + 1 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫= )‪3)  f ( x ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪  11 ‬‬
‫‪  f ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬
‫‪3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪- x - ( 12 - e ) x - ( 9 - 4e ) x + 3e - 2 ‬‬
‫= )‪f ( x ‬‬
‫‪x 2  + 4 x + 3 ‬‬
‫‪ : e ‬ﻴﺭﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ‪. ‬‬
‫‪  – 1 ‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x ‬ﻤﻥ ‪¡ - { -3; -1 } :‬‬
‫‪.‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪d ‬‬
‫‪x + 1 ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪c‬‬

‫‪f ( x ) = ax + b +‬‬

‫‪x+3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪d , c , b , a  : ‬‬

‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ‪. ‬‬

‫‪  – 2 ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪  g ‬‬

‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪  – 3 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪  h ‬‬

‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪]-1; +¥ [ ‬‬

‫‪  f ‬ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪  1 ‬ﻋﻨﺩ ‪x = 0 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪  12 ‬‬
‫‪  f ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪f ( x ) = - x + x + 2ln ( x + 1 ) ‬‬
‫‪.‬‬

‫‪( c ) ‬‬

‫‪ ‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ‬

‫‪  1 ‬‬

‫‪f ‬‬

‫– ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪2 ‬‬

‫‪æ ® ®ö‬‬
‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø ‬‬
‫ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻭ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ‬

‫– ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪ ‬‬

‫)‪  ( c ‬ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﺎ ‪3 ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻴﻁﻠﺏ‬

‫ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ‬

‫‪5 ‬‬
‫‪ – 3 ‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0 ‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭ‪ ‬ﺤﻴﺩﺍ ‪  x ‬ﺤﻴﺙ‬
‫‪0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪  – 4 ‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪ 3 ‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪. ( c ) ‬‬

‫‪ – 5 ‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g ‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‪:‬‬

‫‪g ( x ) = - x + x + 2ln ( x  + 1 ) ‬‬
‫ﺃ – ‪ ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ g ‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪.‬‬
‫ﺏ– ﺃﻜﺘﺏ ‪ g ( x ) ‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‪.‬‬
‫‪2 ‬‬

‫ﺝ– ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬

‫)‬

‫‪  (g‬‬

‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪g ‬‬

‫ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ‪( c ) ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2 < x 0  < ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  13 ‬‬

‫‪j (I ‬‬

‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪j ( x ) = x 2  - 4 x + 3 + 6 ln x - 2 ‬‬

‫‪ – 1 ‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ j ( 1 ) ‬ﻭ ‪j ( 3 ) ‬‬
‫‪ – 2 ‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.  j‬‬
‫‪ – 3 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪.  j ( x ) ‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪ln x - 2 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪- 6 ‬‬
‫‪ f  (  II ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪  (1 ‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪  x ‬ﺤﻴﺙ ‪x ¹ 2 ‬‬
‫)‪j ( x ‬‬
‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬
‫= )‪f ¢ ( x ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x - 2 ) ‬‬
‫‪ (2 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ ‬ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f ‬‬
‫‪ ( 3 ‬ﻟﻴﻜﻥ ) ‪  ( G‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪  f ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪f ( x ) = x + 2 -‬‬

‫‪æ ® ®ö‬‬
‫÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪- 1 ‬‬
‫‪.  10 ‬‬
‫‪ ( 4 ‬ﺍﺤﺴﺏ ‪  f ( -4 )   ,    f ( 4 )   ,   f ( 0 )   ,   f  ( -1 ) ‬ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﺇﻟﻰ‬
‫‪ ،‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬

‫‪ ( 5 ‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪w ( 2; 4 ) ‬‬
‫‪6 ‬‬

‫( ﺍﺭﺴﻡ‬

‫)‪(G‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪14 ‬‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫)‪(G‬‬

‫‪. ‬‬

‫)‪(G‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ì‬‬
‫‪1 ö‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪ï f ( x ) = - xln ç 1 + ÷  ,  x > 0 ‬‬
‫‪x ø‬‬
‫‪ ‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪è‬‬
‫‪í‬‬
‫‪ï f  ( 0 ) = -1 ‬‬
‫‪î‬‬
‫‪æ ® ®ö‬‬
‫‪  ( c ) ‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ÷‪ ، ç O; i ,  j ‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪( 4 cm ) ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪  -1 ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ‪  f ‬ﻋﻨﺩ ‪ 0 ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪. ‬‬
‫‪  -2 ‬ﺃﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f ‬ﻋﻨ‪ ‬ﺩ ‪ 0 ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬
‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ‪. ‬‬

‫‪  -3 ‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f ¢ ( x )  : x > 0 ‬ﻭ ‪f ¢¢ ( x ) ‬‬

‫ﺃﺤﺴﺏ‬

‫‪ lim   f ¢ ( x ) ‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f ¢ ( x ) ‬‬
‫‪x ® +¥‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪-4 ‬‬

‫ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫‪ -5 ‬ﺃﻨﺸﺊ ‪( c ) ‬‬
‫‪ ‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g ‬ﺤﻴﺙ ‪g ( x ) = xf ( x ) - x  :‬‬

‫‪-6 ‬‬

‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ‪  g ¢ ( x ) ‬‬

‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻋﻠﻰ‬

‫‪]0 ;  + ¥[ ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪  15 ‬‬
‫‪  f ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪2 x - 11 ‬‬
‫‪- ln ( 6 - x ) ‬‬
‫= ) ‪  ( c )  , f ( x‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫‪x - 6 ‬‬
‫‪.‬‬

‫‪æ ® ®ö‬‬
‫÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪ -1 ‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫‪ -2 ‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪( c ) ‬‬
‫‪  -3 ‬ﺍﺤﺴﺏ ﺒﺘﻘﺭﻴﺏ ‪ 10 - 2 ‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪f ( 4 )   ;   f ( 3 )    ;   f ( 0 )   ;   f  ( - 1 )  :‬‬
‫‪ìï f  (a ) = 0 ‬‬
‫‪ -4 ‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺤﻴﺩ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪ ‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ‬

‫‪-5 ‬‬

‫ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺤﻴﺩ‬

‫‪-6 ‬‬

‫ﺃﻨﺸﺊ ‪( c ) ‬‬

‫‪b‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ‬

‫‪  -7 ‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻭﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪m ‬‬
‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪f ( x ) = m ‬‬
‫‪-8 ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪0 ‬‬

‫‪í‬‬
‫‪ïî - 1 < a  < 0 ‬‬
‫‪ìï f  ( b ) = 0 ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪í‬‬
‫‪ïî 0 < b < 6 ‬‬
‫ﻋﺩﺩ ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ ﺤﻠﻭل‬

‫ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f ( x ) £ m  :‬‬

‫‪  -9 ‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x ‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪: ‬‬

‫‪2 x - 11‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪= a +‬‬
‫‪x-6‬‬
‫‪x - 6 ‬‬

‫‪ ‬ﺤﻴﺙ ‪b;  a ‬‬

‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‬

‫‪  -10 ‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g ‬ﺤﻴﺙ ‪  g ( x ) = ( x - 6 ) ln ( 6 - x ) + x  :‬‬

‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪g ‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪]-¥; 6 [ ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ -11 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪16 ‬‬

‫‪f ‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪√ ‬ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ´‬
‫‪( 1 ‬‬

‫‪]-¥; 6 [ ‬‬

‫ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪: ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x Î ¡ *+ ;     log x = log x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪(2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ln10 ‬‬
‫‪log2 n = ln2 n  ( 3 ‬‬
‫‪;   log10 n  = n  ( 4 ‬‬
‫‪log e = ‬‬

‫‪) ‬‬

‫‪n Î ¤ ‬‬

‫(‬

‫‪10 < log 9, 26.10 9 < 10 10  (5 ‬‬
‫‪( 6 ‬‬

‫‪( 7 ‬‬

‫‪(8 ‬‬

‫‪(9 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪9‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪æ1ö‬‬

‫= ÷ ‪a Î ¡ *+ ;     log ç‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪è a ø loga ‬‬
‫‪log x ‬‬
‫‪lim  ‬‬
‫‪= +¥ ‬‬
‫‪x ® + ¥ x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪x Î ¡ *+ ;      ( logx )  = 2log x ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪n ‬‬

‫‪n ‬‬

‫= ‪n Î ¥*- {1}      ;     log n  10 ‬‬

‫‪  (10 ‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a log x ‬‬

‫‪ ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪17 ‬‬
‫ﺤل ﻓﻲ ¡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪: ‬‬
‫‪logx + log ( x - 1) = log6 ‬‬
‫‪( 1 ‬‬
‫‪.‬‬

‫‪2 ‬‬

‫(‬

‫‪(  4 ‬‬

‫‪5 ‬‬

‫(‬

‫‪2 ‬‬

‫‪2 ( log x )  + 5logx - 3 =  0 ‬‬
‫‪logx  >  3 ‬‬

‫‪log ( x - 6 ) > 2logx ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪x a‬‬

‫‪. ‬‬

‫ﻋﻠﻰ‬

‫‪]0; +¥[ ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪18 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪: ‬‬

‫‪98‬‬
‫‪99 ‬‬
‫‪+log ‬‬
‫‪99‬‬
‫‪100 ‬‬
‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪19 ‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪S  =  log +log +log + . . . +log‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ ‪: ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫(‬

‫‪2 ‬‬

‫(‬

‫‪3 ‬‬

‫(‬

‫‪4 ‬‬

‫(‬

‫‪f ( x ) = x + log  x ‬‬
‫‪f ( x ) = x 2 - 1 - log ( x 2  - 1 ) ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪logx - 1 ‬‬

‫=‪f ( x ) ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪f ( x ) = ( logx ‬‬
‫‪  ) ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪20 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪.‬‬

‫‪  f ‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪f ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪f ( x ) = log x - 1 ‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪-1 ‬‬

‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪-2 ‬‬

‫ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( C ) ‬‬

‫‪ ‬ﻤﻌﻠﻡ‬

‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‪. ‬‬

‫‪-3 ‬‬

‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪( C ) ‬‬

‫‪ ‬ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪2 ‬‬

‫‪ -4 ‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‪( C ) ‬‬
‫‪ -5 ‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ ( C ) ‬ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ ( C ) ‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‬
‫‪ -6 ‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻋﺩﺩ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ‪ ( C ) ‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﺍﻟﺫﻱ‬
‫ﻴﻜﻭﻥ‬

‫‪ ‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬

‫‪  y = m ‬‬

‫ﺤﻴﺙ‬

‫‪m ‬‬

‫ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ‪ ‬ﺇﻟﻰ ‪10 ‬‬

‫ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻓﻲ‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪  21 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪f ‬‬

‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ -1 ‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬
‫‪-2 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺍﻟﻤﻤﺜل‬

‫‪æ ® ®ö‬‬
‫‪  f ‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø ‬‬

‫ﺃﻨﺸﺊ‪( C ) ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪22 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫‪æ ® ®ö‬‬
‫‪ ‬ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 23 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪. ‬‬

‫ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( C ) ‬‬

‫ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬

‫‪-3 ‬‬

‫‪f ‬‬

‫‪f ( x ) = -4 + 4 logx ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪log x ‬‬

‫=‪f ( x ) ‬‬

‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬

‫‪.‬‬

‫‪f ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪log x - 1 ‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪æ ® ®ö‬‬
‫÷‪ç O; i ,  j ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪ø‬‬

‫=‪f ( x ) ‬‬
‫ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‪:‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  1 ‬‬

‫ﺨﻁﺄ‪  .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  - x > 0 ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x < 0 ‬‬

‫‪-1 ‬‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫‪-2 ‬‬

‫‪-3 ‬‬
‫‪-4 ‬‬
‫‪-5 ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ‬

‫‪]-¥ ; 0 [ ‬‬

‫ﺼﺤﻴﺢ ‪  .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  x  > 0 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x ¹ 0 ‬‬
‫ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪¡ ‬‬
‫ﺼﺤﻴﺢ‪  .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x > 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫ﺨﻁﺄ‪ .‬ﻷﻥ ‪  ln a 2  = 2 ln a : ‬ﻟﻜﻥ ‪ln 2 = a ln 2 ‬‬
‫ﺨﻁﺄ‪  ln x  > 0  . ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x  > 1 ‬ﺃﻱ ‪x Î ] -¥; -1[ È ]1;  +¥ [ ‬‬
‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪-6 ‬‬

‫ﺨﻁﺄ‪ .‬ﺒل ‪ln ( a ´ b ) = ln a + ln  b ‬‬

‫‪-7 ‬‬

‫ﺼﺤﻴﺢ‪  .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  x  < 1 ‬ﻓﺈﻥ ‪  ln x  < ln 1 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ln x  < 0 ‬‬
‫) ‪ ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ln ‬‬

‫‪-8 ‬‬

‫‪-9 ‬‬
‫‪-10 ‬‬
‫‪-11 ‬‬

‫‪-12 ‬‬
‫‪-13 ‬‬

‫*‬
‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪+‬‬

‫¡‬

‫‪( ‬‬

‫ﺨﻁﺄ‪  .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x > 0 ‬ﻭ‪  ln x ¹ 0 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x > 0 ‬‬
‫‪ ‬ﻭ‪ x ¹ 1 ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪]0;1[ È ]1; +¥ [ ‬‬
‫ﺨﻁﺄ‪  .‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x > 0 ‬‬
‫‪2008 ‬‬
‫‪.  ln e‬‬
‫ﺼﺤﻴﺢ‪= 2008 ln e  = 2008  . ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪= +¥ : ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x ® +¥ ln  x ‬‬
‫‪x ® +¥ ln x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪lim ln ( - x ) = lim ln  z = +¥ :‬‬
‫‪x ®-¥‬‬

‫‪z ® +¥‬‬

‫ﺼﺤﻴﺢ ﻷﻥ ‪= ln 21830  = 1830 ln 2 :‬‬

‫‪1830 ‬‬

‫‪ln ( -2 ) ‬‬

‫‪ ‬ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻜﺎﻥ ‪n ‬‬
‫ﺯﻭﺠﻲ ﻓﺈﻥ ‪ln x n  =  n ln   x  : ‬‬
‫‪-14 ‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬

‫ﺼﺤﻴﺢ‪  .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  ln x 2  = 2 ln  x  :  x > 0 ‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x < 0 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪ ln x = ln ( - x ) = 2ln  ( - x )  :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ln x = 2 ln   x  : ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪2 ‬‬

12 
= ln 12 - ln 3  ‫ﻷﻥ‬  .‫ – ﺨﻁﺄ‬15 

ln 12 ln ( 4 ´ 3 )  ln 4 + ln 3 
=
=
: ‫ﻟﻜﻥ‬
ln 3
ln 3
ln 3 
ln

.

2 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
: ‫ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‬




1
1

1)ln e - ln e -3  = ln e - ( -3 ) ln e = ln e + 3 ´ 1 = ´ 1 + 3 =
2
2

2)ln e 3 - ln

1




3 2 

2

ln
ln
ln
ln
e
e
e
e
=
+
=
- ln e + 2ln e 
(





=

3 1 
- + 2 =  3 
2 2 



1
ln 2 5
ln 2 2 
1

3) ln 25  +
= ln 2 +
= ln 2 + ln 2 =  ln 2 
5
4
5
4
8

4) ln 2 2 -

1

æ
ö 3
3

ln 2 = ln ç 2 ´ 2 2 ÷ - ln 2 = ln 2 2  - ln 2 
2

è
ø  2

=


3

´ ln 2 - ´ ln 2 = 0 
2



5)ln ( 128) - ln ( 16´ 32) = ln ( 27 ) - ln ( 24 ´ 25 ) = ln 214 - ln 2 9 
= 14 ln 2 - 9 ln 2 = 5 ln 2 
æ 1  ö
6)ln 243 + ln 610 + ln ç
= ln 35  + 10ln 6 - ln ( 1024 ) 
÷
è 1024 ø
= 5ln 3 + 10 ln ( 2 ´ 3 ) - ln 2 10 
= 5 ln 3 + 10 ( ln 2 + ln 3 ) - 10 ln 2 
= 5 ln 3 + 10ln 2 + 10 ln 3 - 10ln 2 
= 15 ln 3 

.

3 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
: ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ‬

· ln ( 2007 )

2006 

= 2006ln ( 2007 ) 
2006 

ln ( 2007 ) 
· ln ( 1962)

1954 

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

; 14841, 68 

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

= 1954  ln ( 1962 ) 
1954 

ln ( 1962 ) 
·

; 15262, 02 


; 0,13 
ln 1830 
1418 

· ln ( 2) 

= 1418  ln 2 
1418 

ln ( 2 ) 

; 982, 88 

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

12 

· ln ( 2, 0005 ) = 12ln ( 2, 0005 ) 
12 

ln ( 2, 0005 )  ; 8, 32 

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

· ln ( 25 ´ 37 ´ 53 ) = ln 25 + ln 37 + ln 5 3 
= 5 ln 2 + 7 ln 3 + 3 ln 5 
ln 25 ´ 37 ´ 53  ; 15, 98 

(



.

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

4 ‫ﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭ‬

:  ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‬

· a = 3 ln 7 - 5 ln 5 

a = ln 73 - ln 55  = ln
a < 0 
· b = 3 ln 2 -

:  ‫ﺇﺫﻥ‬

73 
343 
= ln 

5
3125 

æ 343  ö
343 
ln ç
< 0  :  ‫ﻓﺈﻥ‬
< 1  :  ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬
÷
3125 
è 3125 ø



ln 15 = ln 2 3  - ln ( 15 ) 2 


b = ln 8 - ln 15 = ln 


b > 0  :  ‫ﺇﺫﻥ‬
· c = ln

(

15 


> 0  :  ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

15 

> 1  :  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬



3 - 2 

c < 0 
· d  =

15 



:  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬

ln

(



3 - 2 < 0 

: ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

3 - 2 < 1  :  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬

ln 3
ln 3
ln 3 
=
=
ln 0, 5
æ 1 ö - ln 2 
ln ç ÷
è 2 ø

d < 0 

(

ln 3 
:  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
ln 2 
. 5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

æ 2 3 + 4 ö
3 - 1 + ln çç
÷ = 0  : ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬
4  ÷ø
è

æ 2 3 +4ö
æ 2 3 + 4 ö
3 - 1 + ln çç
÷÷ = ln 3 - 1 + ln çç
÷
4 ø
4  ÷ø
è
è
2  æ 2 3 + 4 ö
æ 3 + 2 ö
= ln 3 - 1 çç
÷÷ = ln 4 - 2 3  çç
÷÷
4 ø
è
è 2  ø
2ln

2ln

d  = -

:  ‫ﺇﺫﻥ‬

(



)

(

(

(

= ln 2 - 3

)



(



)( 2 + 3 ) = ln ( 4 - 3) = ln 1 = 0 

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  6 ‬‬

‫‪1  2 ‬‬
‫‪x - x + ln x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪ (1 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f ‬‬

‫=‪f ( x ) ‬‬

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬

‫‪]0; +¥[ ‬‬

‫‪x 2  - x + 1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪D f  = { x Î ¡ : x  - 4 > 0} ‬‬
‫‪ f ( x ) = ln ( x 2  - 4 ) ‬ﺤﻴﺙ ‪  :‬‬
‫‪= ‬‬

‫‪ (2 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪+ ‬‬

‫‪x  - 4 ‬‬

‫‪D f  = ]-¥; -2[ È ]2;  +¥[ ‬‬

‫‪  f ‬‬

‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬

‫‪ (3 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f ¢ ( x ) = x - 1 +‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪D f ‬‬

‫‪f ( x ) = x ln   x ‬‬

‫‪2 x ‬‬
‫‪x 2  - 4 ‬‬
‫‪D f  = { x Î ¡ : x ¹ 0} ‬‬
‫‪ ‬‬

‫=‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪D f  = ] -¥ ;  0[ È ]0 ;   + ¥[  :‬‬
‫‪D f ‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬

‫‪  f ‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪f ¢ ( x ) = ln x  + 1 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫´‪f ¢ ( x ) = 1 ln   x + x ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪ (4 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪x ln  x ‬‬
‫‪D f  = { x Î ¡ : x ¹ 0  ,   ln x ¹ 0  ,  x > 0} ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪  :‬‬

‫‪Df  = { x Î ¡ : x ln x ¹ 0  ,   x > 0} ‬‬
‫=‪ f ( x ) ‬ﺤﻴﺙ ‪  :‬‬

‫ﻟﻜﻥ ‪ ln x ¹ 0  : ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x ¹ 1  : ‬‬
‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  f ‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f ‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬

‫‪D f  = ]0;1[ È ]1;  +¥[ ‬‬

‫‪1 ö‬‬
‫‪æ‬‬
‫÷ ‪- ç 1. ln x + x ‬‬
‫)‪x ø - ( ln x + 1 ‬‬
‫‪f ¢ ( x ) = è‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x ln  x ) ‬‬
‫) ‪( x ln x‬‬
‫‪ (5 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬
‫ﻟﻜﻥ ‪: ‬‬

‫‪f ( x ) = x ln  ( - x ) ‬‬
‫‪- x > 0 ‬‬

‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪: ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪D f  = { x Î ¡ : - x > 0} ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪ x < 0 ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪D f  = ] -¥; 0[   :‬‬

: ‫ﺤﻴﺙ‬

D f 

  f 

‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬

- 1 
= ln ( - x ) + 1 
- x 
æ x - 1 ö
f ( x ) = ln ç
÷ : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 
è x - 2 ø

f ¢ ( x ) = 1 ln ( - x ) + x ´
ì
î

Df  = íxΡ:

x -1 
ü
> 0 ,  x - 2 ¹ 0 ý
x -2 
þ

:  ‫ﺤﻴﺙ‬

D f  = ] -¥;1[ È ]2;  +¥[ 

x - 1 
x - 2 
x - 1 
x - 2 

-¥ 



¥ + 





+

+



-

+

-

+



: ‫ﺤﻴﺙ‬

: ‫ﺇﺫﻥ‬

f  ‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬  D f 

 

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

1. ( x - 2 ) - 1. ( x - 1 )
-1 
( x - 2) 2
( x - 2 ) 2 
f ¢ ( x ) =
=
x-1
x - 1 
x-2
x - 2 
-1
x - 2
-1 
f ¢ ( x ) =
´
=
( x - 2 ) x - 1 ( x - 2 )( x - 1)  

Df  = { x Ρ : e2 x - 5e x  + 6 > 0}   : ‫ ﺤﻴﺙ‬f ( x) = ln( e2 x -5e x +6)   : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬7 
t 2  - 5t + 6  :  ‫ ﻨﺠﺩ‬e x  = t :  ‫ ﺒﻭﻀﻊ‬e 2 x - 5e x  + 6  :  ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬
t 2  - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3 )  : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬t 2 = 3  ,  t1  = 2  ,  D = 1  :  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

e 2 x - 5e x + 6 = ( e x - 2)( e x  - 3 ) 
x = ln 2  :  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬
x > ln 2  :  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬
x = ln 3  :  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬
x > ln 3  :  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

ln e x  = ln 2  :  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
ln e x  > ln 2  :  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
ln e x  = ln 3  :  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
ln e x  > ln 3  :  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬

e x  = 2  :  ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬
e x  > 2  :  ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬
e x  > 3  :  ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬
e x  = 3  :  ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬

: ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

e x  - 2 = 0 
e x  - 2 > 0 
e x  - 3 > 0 
e x  - 3 = 0 

(e

x

ln 2 

-¥ 



ln 3 

¥ + 

e x  - 2 



+

+

e 2  - 3 



-

+

+

-

+

- 2)( e x  - 3 ) 

D f  = ]-¥; ln 2[ È ]ln 3;  +¥[  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

f ¢ ( x ) =

2e 2 x - 5 e x 
e 2 x - 5e x  + 6 

D f  = { x Î ¡ : x > 0  } 
1



: ‫ﺤﻴﺙ‬

: ‫ﺤﻴﺙ‬

D f 

  f 

‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬



( ln x ) 

D f  = ]0;  +¥[ 

f ( x) =

f ¢ ( x ) = ´ 2 ´ ´ ( ln x )  : ‫ ﺤﻴﺙ‬D f 



: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬8 

: ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

  f 

‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬

f ¢ ( x ) =

ln  x 


.

 

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

 

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

: ‫ﺇﺫﻥ‬

7 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

:  ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬

ln x ö

æ
ö
x
= lim
ln  x ÷ = +¥
÷
ç
>
x ø x ® 0 è
x  ø 

lim 
= 0 
>
x ® 0  ln  x 
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷


æ x ö
÷ = -¥
= lim  ln ç
lim ln ç 2  ÷ = lim ln ç
÷
x ®+¥
è x  + 1 ø x®+¥ ç 1 + 1  ÷ x ®+¥ ç x 2 æ 1 + 1  ö ÷
ç ç
x 2  ø
è
x 2  ÷ø ÷ø 
è è
lim
ln ( ln  x ) = -¥
>
æ
>
x®0 è

lim ç x -

x ® 1 

( 1 

( 2 

( 3 

(4 

e x 
= 0 
x ® 0  ln  x 

lim 

( 5 

>

ln x ö
æ
lim ( x 2  - ln x  ) = lim x ç x = +¥
x ®+¥
x ®+¥ è
x  ÷ø 
z  a  + ¥ : ‫ ﻓﺈﻥ‬x  a +¥ ‫ﻟﻤﺎ‬  x 2  = z  ‫ﺃﻱ‬  x = z  ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 
ln x
ln z2 
2ln z 
lim
= lim
= lim 
= 0 
x ®+¥
z ®+¥

x  z®+¥ z
z  a  + ¥ : ‫ ﻓﺈﻥ‬x  a +¥ ‫ﻟﻤﺎ‬  x = 4  z  ‫ﺃﻱ‬  x 4  = z  ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 

lim

x ®+¥

ln x

x

= lim



z ®+¥

ln 4  z

z

= lim

z ®+¥
2  2 

é ln 
 )
ê
( ln x 
lim
= lim ë


x ® +¥



z® +¥

ln z

( x ) ùúû
( x)
2

z




(6 

(7 

(8 

1 ln z 
= 0 
z ®+¥ 4  z 

= lim 

( x ) ùû
( x ) 

é 2ln 
=  lim  ë
x ®+¥


(9 






æ ln x ö
æ ln t ö
= lim 4 çç
=
lim 
4
÷÷ t ®+¥ ç
÷ = 0 
x ®+¥


è
ø
è
ø
t  a  +¥ :  ‫ ﻓﺈﻥ‬x  a +¥ :  ‫ ﻟﻤﺎ‬x = t  ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 
lim
( x - ln x ) ln  x = -¥  (10 
>

x ® 0 

lim x ln x = lim z  ln z 2  = lim 2 z  ln z  = 0 
>

>

>

x®0

z® 0

z ® 0 

>

( 11 

>

z ® 0  :  ‫ ﻓﺈﻥ‬x ®0  ‫ﻟﻤﺎ‬  x 2  = z  ‫ﺃﻱ‬  x = z  ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 
1 ö
æ
ln ç 1 + ÷
ln ( 1 + t ) 
1 ö
x ø
æ
è
lim x ln ç 1 + ÷ = lim
= lim 
= 1  (12 
>
x ®+¥

x ø x ®+¥

è
t ® 0 


>

t ®0  : ‫ ﻓﺈﻥ‬x  ® + ¥

‫ﻟﻤﺎ‬

 





= t  ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪8 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪: ‬‬
‫‪ (1 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ln x -  ln ( x - 2 ) = 1 ‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x > 0; x > 2} ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬
‫‪æ x  ö‬‬
‫‪ln ç‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ D = ]2;  +¥[  :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪÷ =  ln e  : ‬‬
‫‪è x - 2 ø‬‬
‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ x  = e  : ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = xe - e  : ‬ﺇﺫﻥ ‪( 1 - e ) x = - e  :‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪- e ‬‬
‫= ‪ ) x ‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪  :‬ﻷﻥ ‪( x > 2 ‬‬
‫= ‪ x ‬ﺃﻱ ‪: ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬
‫‪1 - e ‬‬
‫‪1 - e ‬‬
‫ﺤﻠﻭل‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
‫‪ (2 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬

‫‪ln x 2  = 4 ‬‬

‫‪ D = { x Î ¡ : x ¹ 0} ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪D = ¡* : ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬
‫‪ ln x 2  = 4 ln e ‬ﺃﻱ ‪ln x 2 =  ln  e 4  : ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪  : ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x 2 = e 4  : ‬ﺃﻱ ‪  x = e  : ‬ﺃﻭ ‪x = - e ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪- e 2 ,  e 2  : ‬‬
‫‪ (3 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ln ( x - 1) +  ln ( x + 2) =  ln ( x 2  - 3 x + 2 ) ‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x - 1 > 0, x + 2 > 0, x2  - 3x + 2 > 0} ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪  x > 1  : ‬ﻭ ‪  x > - 2 ‬ﻭ ‪x 2  - 3 x + 2 > 0 ‬‬
‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪x2 = 2   ,   x1  = 1   ,   D  = 1   ,   x 2  - 3 x + 2 > 0  : ‬‬
‫‪-¥ ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2  ¥ + ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‬‫‪+‬‬
‫‪x 2  - 3 x + 2 > 0 ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ ]-¥;1[ È ]2; +¥[  :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D = ]2;  +¥[  :‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln ( x - 1)( x + 2 ) =  ln ( x 2  - 3 x + 2 )  :‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪( x - 1)( x + 2 ) = x 2  - 3 x + 2 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x + x - 2 = x - 3 x + 2  : ‬ﺇﺫﻥ ‪4 x = 4  : ‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪: ‬‬

‫‪x = 1 ‬‬

‫ﺤﻠﻭل‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻭﻫﻭ ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬

‫‪2 ‬‬

‫‪ (4 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪2 (  ln x )  + 5 ln x - 3 = 0  :‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x > 0} ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪D = ]0;  +¥[ ‬‬

‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ ln x = t  : ‬ﻨﺠﺩ ‪2 t 2  + 5 t - 3 = 0  : ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫= ‪t2‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪,    t 1  = - 3   ,    D = 49  : ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪ ln x = - 3  :  t  = - 3 ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪e Ln x  = e - 3  : ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪- 3 ‬‬
‫= ‪:  t ‬‬
‫= ‪  t‬ﻟﻤﺎ‬
‫‪ t = e ‬ﺃﻱ ‪: ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪: ‬‬
‫= ‪ln x ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪Lnx ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ e = e 2  : ‬ﺇﺫﻥ ‪ x = e  : ‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪e  ,  3  : ‬‬
‫‪e ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪9 ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪: ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪ (1 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x > 0} ‬‬
‫< ‪ ln x ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬
‫‪1 ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪D = ]0;  +¥[ ‬‬

‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪: ‬‬

‫‪ln x <  ln e ‬‬
‫‪  2 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x < e 2 ‬‬

‫‪e   ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬
‫<‪x‬‬
‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪.  ù 0 ;   e é : ‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ë‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬
‫‪ (2 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ln x  < 1  : ‬‬
‫ﺃﻱ ‪:‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ‬

‫‪D = { x Î ¡ : x ¹ 0} ‬‬
‫‪  :‬‬

‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪  : ‬‬
‫‪ ln x <  lne ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x < e  : ‬ﺇﺫﻥ ‪-e < x < e  : ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪:‬‬

‫‪ (3 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ln x +  ln ( x - 1) >  ln6  :‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x > 0, x > 1} ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬

‫‪]- e; 0[ È ]0;  e [ ‬‬

‫‪. ‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪D = ]1;  +¥[ ‬‬

‫‪ln x ( x - 1) <  ln6 ‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪x 2  - x  > 6  : ‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x 2  - x - 6 > 0  : ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x2 = 3    ,    x 1  = -2   ,   D  = 25  : ‬‬

‫‪-¥ ‬‬
‫‪-2 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪¥ + ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‬‫‪+‬‬
‫‪x - x - 6 ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪]-¥; -2[ È ]3; +¥[  :‬‬
‫‪2 ‬‬

‫ﻟﻜﻥ ‪D = ]1;  +¥[ ‬‬
‫‪ (4 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪< 0 ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪]3; +¥ [ ‬‬

‫)‪ln ( x - 1 ‬‬
‫‪ln ( x + 3 ) ‬‬

‫‪D = { x Î ¡ : x - 1 > 0, x + 3 > 0,  ln ( x + 3) ¹ 0} ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪  :‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪x + 3 ¹ 1    ,    x > - 3   ,   x > 1  : ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x ¹ - 2    ,    x > - 3    ,    x  > 1 : ‬‬
‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬

‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪D = ]1;  +¥[ ‬‬

‫‪ln ( x - 1 )  :‬‬

‫‪ ln ( x - 1) = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x - 1 = 1  : ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 2  : ‬‬
‫‪ ln ( x - 1) > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ x - 1 > 1  : ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x > 2  : ‬‬
‫‪ ln ( x - 1) < 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x < 2  : ‬‬
‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬

‫‪Ln ( x + 3 )  :‬‬

‫‪ ln ( x + 3 ) = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x + 3 = 1  : ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬

‫‪x = -2 ‬‬

‫‪ ln ( x + 3 ) > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x + 3 > 1  : ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬

‫‪x > -2 ‬‬

‫‪ ln ( x + 3 ) < 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x < -2  : ‬‬
‫‪+¥ ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪:‬‬

‫‪]1; 2 [ ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪ln ( x - 1 ) ‬‬
‫‪ln ( x + 3 ) ‬‬

‫‪æ ln ( x - 1 ) ö‬‬
‫‪ln çç‬‬
‫÷÷‬
‫‪è ln ( x + 3 ) ø‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪ (5 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ( ln x )  - 8 ln x + 7 > 0  :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D = ]0;  +¥[  :‬‬
‫‪ ‬ﺒﻭﻀﻊ ‪ ln x = t‬ﻨﺠﺩ ‪t 2  - 8t + 7 > 0  : ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪t 2 = 7  ,    t 1  = 1   ,    D = 36  : ‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪t 2  - 8t + 7 = (t - 1)(t - 7 )  :‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪- 8 ln x + 7 = (  ln x - 1)(  ln x - 7 )  :‬‬

‫‪2 ‬‬

‫) ‪( ln x‬‬

‫‪  ln x - 1 = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x = 1 ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = e  : ‬‬

‫‪  ln x - 1 > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x > 1 ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪  : ‬‬
‫‪  ln x >  ln e ‬ﺇﺫﻥ ‪x > e ‬‬
‫‪  ln x - 7 = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x = 7 ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ln x =  ln  e 7  : ‬‬

‫‪ ‬ﺇﺫﻥ‬

‫‪x =  e 7 ‬‬

‫‪  ln x - 7 > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln x > 7 ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ln x >  ln  e 7  : ‬‬

‫‪ ‬ﺇﺫﻥ‬

‫‪x > e 7 ‬‬

‫‪e 7 ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪e ‬‬

‫‪0 ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪- ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪- ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪ln x - 1 ‬‬
‫‪ln x - 7 ‬‬

‫‪( ln x - 1)(  ln x - 7 ) ‬‬

‫‪]0 ;  e[ U ùû e 7  ;   + ¥ éë‬‬
‫‪D = ]0;  +¥[ ‬‬
‫‪( x 2  - 4 x )  ln x ³ 0 ‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬
‫‪ (6 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪0 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪- ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪- ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪:‬‬

‫‪]0 ;  1] U [ 4 ;  + ¥[ ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x 2  - 4 x ‬‬
‫‪ln x ‬‬
‫‪( x 2  - 4 x )  ln x  ‬‬

.


g  ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ 

g ( x ) = x 3  - 2 ln x + c   ;   c Î ¡  : ‫ ﺤﻴﺙ‬f ( x ) = 3 x 2  : ‫ﺤﻴﺙ‬

x 4 

10 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 




1

+
x - 1  ( x - 1 ) 2 

f ( x ) = - x 3  +


+ c   ;  c Î ¡ 
4
x - 1 
1 2 x - 2 
x - 1 
: ‫ﺤﻴﺙ‬
f ( x ) =
f ( x ) = 2 

2 x - 2 x 
x - 2 x 

g ( x) =

: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬1 

: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬2 

+ ln ( x - 1) ­

g ( x) =


ln ( x 2  - 2 x ) + c     ; 


c Î ¡ 

: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 

: ‫ﻭﻤﻨﻪ‬



f (x) =







´ ( ln  x ) 

f ( x ) =

: ‫ﺤﻴﺙ‬

( lnx ) 


: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 



g ( x) =

( ln x ) 

g ( x ) = ln ( sin x ) + c   ,   c Î ¡ 

g ( x ) = ln ( e + 1) + c    ,   c Î ¡




+ c  ,   c Î ¡ 
cosx 
sin  x 

: ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

: ‫ﺤﻴﺙ‬

f ( x ) =

: ‫ﺤﻴﺙ‬

e x 
f ( x ) = x 
: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 
e  + 1 

: ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 

.  11 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
: ‫( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬1 


x + 3 x + 1 
( ax + b )( x + 3 )( x + 1) + c ( x + 1) + d ( x + 3 )
f ( x ) =
( x + 3 )( x + 1 ) 
f ( x ) = ax + b +

f ( x ) =

c

+

( ax + b ) ( x 2  + 4 x + 3 ) + cx + c + dx + d 

x 2  + 4 x + 3 
ax 3 + 4ax 2 + 3ax + bx 2  + 4bx + 3 b + cx + c + dx + d 
f ( x ) =
x 2  + 4 x + 3 
ax 3 + ( 4a + b ) x 2  + ( 3a + 4b + c ) x + 3 b + c + d 
f ( x ) =
x 2  + 4 x + 3 
ìa = -1 
ìa = -1 
ïb = -8 + e 
ï4a + b = -12 + e 
ï
ï
:
 
‫ﻋﻠﻴﻪ‬
‫ﻭ‬
:  ‫ﻭﻤﻨﻪ‬
í
í

=
26 
3
a
+
4
b
+
c
=
9
+


ï
ï
ïîd  = -4 
ïî 3b + c + d = 3e - 2 
f ( x ) = - x - 8 + e +

26

x + 3 x + 1 
:

g ( x) = -

: ‫ﺇﺫﻥ‬

g  ‫ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬  (2 

1  2 
x - 8 x + ex + 26 ln ( x + 3 ) - 4 ln ( n + 1 ) + c 




g ( x ) = - x 2  + ( -8 + e ) x + 26 ln ( x + 3 ) - 4 ln ( x + 1) + c   ,  c Î ¡ 

g ( 0 ) = 1  : ‫ ﺤﻴﺙ‬h ( x ) = g ( x )  : h  ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‬  (3 

c = -26 ln 3 
1

:  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬

26 ln 3 + c = 0  :  ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬g ( 0 ) = 1  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬

h ( x ) = ­ x 2  + ( ­8 + e ) x + 26 ln ( x + 3) ­4 ln ( x + 1) ­26 ln3  : ‫ﺇﺫﻥ‬


.  12 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

f  ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬  -1 
D f  = { x Î ¡ : x + 1 > 0} 
  : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬
:

D f  = ] -1;  +¥[ 

: ‫ﺤﻴﺙ‬

lim f ( x ) = lim ( - x 2  + x + 2 ln ( x + 1 ) ) = -¥
>

x ® - 1 

>

x ® - 1 

lim f ( x ) = lim ëé - x 2  + x + 2 ln ( x + 1 ) ûù
x ®+¥

x ®+¥

é - x 2  + x  2  ln ( x  + 1 ) ù
+
ú
x  + 1  û
ë x+1

( x  + 1 ) ê
x ® +¥

= lim

é 2  æ
ù
1  ö
ê x  ç - 1 + x  ÷ 2 ln ( x + 1 ) ú
ø+
ú
= lim  ê è
x ® + ¥ ê
1  ö
x + 1  ú
æ
êë x çè 1 + x  ÷ø
úû

é æ
ù
1 ö
ê x ç -1 + x ÷ 2 ln ( x + 1 ) ú
ø+
ú = -¥
= lim  ê è
x ®+¥ ê


+

ú
1 +
êë
úû

· f ¢ ( x ) = - 2 x + 1 +


x + 1 

f ¢ ( x ) =

( -2 x + 1)( x + 1) + 2 

x + 1 
-2 x - 2 x + x + 1 + 2 
f ¢ ( x ) =
x + 1 

-2 x - x + 3 
f ¢ ( x ) =
x + 1 


.‫ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺒﺴﻁ‬


D = 25    :    - 2 x - x + 3 

x2 = ,      x 1  = 1 


f ¢ ( x ) 

‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ 

‫‪¥ + ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪-1 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪+ ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ ‬ﺇﺫﻥ ‪f ‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪- 2 x 2  - x + 3 ‬‬

‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪[1; +¥[ ‬‬

‫ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪ ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪¥ + ‬‬

‫‪]-1 ;  1 ] ‬‬
‫‪-1 ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2.ln2 ‬‬

‫‪f ( x ) ‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪-¥‬‬
‫‪f  ( 1) = 2 ln2 ‬‬
‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪ :‬ﻫﻨﺎﻟﻙ ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ‬

‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪lim   f ( x ) = -¥‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪x = -1  : ‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬

‫>‬

‫‪x ® - 1 ‬‬

‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪é‬‬
‫‪ln ( x + 1 ) ù‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪= lim ê - x + 1 + 2 ‬‬
‫‪ú‬‬
‫‪x ® +¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  û‬‬
‫‪ë‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪é‬‬
‫‪2 ( x + 1 ) ln ( x + 1 ) ù‬‬
‫‪= lim ê - x + 1 +‬‬
‫‪ú = -¥‬‬
‫‪x ® +¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 1  û‬‬
‫‪ë‬‬
‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ‬
‫‪-2 ‬‬

‫ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﻤﻌﺎ‪ ‬ﻤل‬

‫ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪3 ‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪-2 x 2  - x + 3 ‬‬
‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ¢ ( x ) = 3 ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪= 3  : ‬‬
‫‪x + 1 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪ - 2 x 2  - x + 3 = 3 x + 3  : ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪- 2 x 2  - 4 x  = 0  : ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ -2 x ( x + 2 ) = 0  :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪  x = 0  : ‬ﺃﻭ ‪x = -2 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪ -2  )  x = 0  : ‬ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺭﻓﻭﻀﺔ (‬

‫‪ ‬ﺇﺫﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻤﻤﺎﺱ ﻭﺍﺤﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 0 ‬ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y = f ¢ ( 0 ) ´ ( x - 0 ) + f  ( 0 ) ‬‬
‫‪ f  ( 0 ) = 0 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪y =  3 x  : ‬‬
‫‪-3 ‬‬

‫ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪f ( x ) = 0 ‬‬

‫ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ‪: ‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪7 ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪25‬‬

‫‪æ 5ö‬‬

‫‪+ 2 ln ; -1, 24 ‬‬
‫= ‪f  ç ÷ = - + + 2 ln‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪è 2ø‬‬
‫‪f  ( 2 ) = -2 + 2 ln 3  ; 0,19 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫‪ ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪æ 5 ö‬‬

‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( 2 ) . f  ç ÷ < 0  :‬‬
‫‪è 2 ø‬‬
‫‪ ‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ‬
‫‪-4 ‬‬

‫‪x 0 ‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪5 ù‬‬
‫‪2 úû‬‬

‫‪é‬‬
‫‪ê 2 ; ‬‬
‫‪ë‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‬

‫‪5 ‬‬
‫‪  ;   f ( x 0 ) =  0 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫< ‪2 < x0‬‬

‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺴﺎﺕ ﻭ ‪( C ) ‬‬

‫‪: ‬‬

‫‪y ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫)‪(C‬‬
‫‪(g ) ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫‪­1 ‬‬
‫‪­2 ‬‬
‫‪­3 ‬‬
‫‪­4 ‬‬

‫‪-5 ‬‬

‫ﺃ( ‪ ‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪g ‬‬

‫ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪­1 ‬‬

‫‪­2 ‬‬

‫‪­3 ‬‬

‫‪(g ) ‬‬

‫ﺤﻴﺙ‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪  D g  = ¡ : ‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل‬

‫ﻭ‪  g ( - x ) = g ( x ) ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪g ‬‬
‫ﺏ( ﻜﺘﺎﺒﺔ‬

‫‪g ( x ) ‬‬

‫ﻜل ﻋﺩﺩ ‪  x ‬‬

‫ﻤﻥ‬

‫‪- x Î D g  :  D g ‬‬

‫ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪:‬‬

‫‪ìï g ( x ) = - x 2  + x + 2 ln ( x + 1)    ;   x > 0 ‬‬
‫‪í‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ïî g ( x ) = - x - x + 2 ln ( - x + 1)    ;   x > 0 ‬‬
‫ﺝ( ﺇﻨﺸﺎﺀ‬

‫) ‪(g‬‬

‫‪ ) :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ (‬

‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪g ( x ) = f ( x )  : x > 0 ‬‬‫ ‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  : x < 0 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g ‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻴﺎﻨﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

‫) ‪ ( g‬ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ‪( c ) ‬‬

‫ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  13 ‬‬

‫‪ (1 –  I ‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪j ( 1) = 0     ;      j ( 3 ) = 0  :‬‬
‫‪ (2 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬

‫‪Dj = { x Î ¡ : x - 2 ¹ 0} = ]-¥; 2[ È ]2;  +¥[ ‬‬
‫‪lim j ( x ) = lim x 2  - 4 x + 3 + 6 ln x - 2  = +¥‬‬
‫‪x ® -¥‬‬

‫‪x ® -¥‬‬

‫‪lim j ( x ) = lim x 2  - 4 x + 3 + 6 ln x - 2  = -¥‬‬
‫>‬

‫>‬

‫‪x ® 2 ‬‬

‫‪x ®2‬‬

‫‪lim j ( x ) = lim x 2  - 4 x + 3 + 6 ln x - 2  = -¥‬‬
‫<‬

‫<‬

‫‪x ® 2 ‬‬

‫‪x ®2‬‬

‫‪lim j ( x ) = lim x 2  - 4 x + 3 + 6ln x - 2  = +¥‬‬
‫‪x ® +¥‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪( 2 x - x )( x - 2 ) + 6 2 ( x - 2 )  + 6 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪j ¢ ( x ) = 2 x - 4 +‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪  j ¢ ( x ) ‬ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪x - 2 ‬‬
‫ﻷﻥ‪ 2 ( x - 2 )  + 6 > 0  :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪+‬‬

‫‪j‬‬

‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪-‬‬

‫‪]2; +¥[ ‬‬
‫‪3 ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪j ¢ ( x ) ‬‬

‫ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪2 ‬‬

‫‪]-¥; 2 [ ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪j ¢ ( x ) ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪-¥‬‬
‫‪ (3 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪j ( x ) ‬‬

‫‪:‬‬

‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪l‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ (1  - II ‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪j ( x ) ‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x ‬‬

‫)‪j ( x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪( x - 2 ) ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪j ( x ) ‬‬

‫‪+‬‬

‫= )‪f ¢ ( x ‬‬

‫‪D f  = { x Î ¡ : x - 2 ¹ 0} ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬

‫‪D f  = ¡ - {2} ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪´ ( x - 2 ) - ln x - 2 ‬‬
‫‪- 6 ´ x - 2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x - 2 ) ‬‬

‫‪5 ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪f ¢ ( x ) = 1 +‬‬

‫)‪( x - 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x - 2 ) + 5 - 6 + 6ln x - 2 ‬‬
‫=‬
‫‪2 ‬‬
‫‪( x - 2 ) ‬‬

‫)‪j ( x ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪( x - 2 ) ‬‬

‫=‬

‫‪x 2  - 4 x + 4 - 1 + 6ln x - 2 ‬‬
‫‪2‬‬

‫)‪( x - 2‬‬

‫=‬

‫‪  (2 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪f ‬‬
‫‪ln ( - x + 2 ) ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪+ 6 ‬‬
‫‪= -¥‬‬
‫ ‪lim f ( x ) = lim x + 2‬‬‫‪x ®-¥‬‬
‫‪x ®-¥‬‬
‫‪- x + 2 ‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪:‬‬

‫‪6ln x - 2 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‬‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim x + 2 ‬‬‫<‬

‫<‬

‫‪x ® 2 ‬‬

‫‪x®2‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪éë( x + 2 )( x - 2 ) - 5 - 6ln x - 2 ùû = -¥‬‬
‫‪x ® 2  x - 2 ‬‬
‫‪6ln x - 2 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‬‫‬‫(‬
‫‪) ‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪x®2‬‬
‫‪x ® 2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪éë ( x + 2 )( x - 2 ) - 5 - 6ln x - 2 ùû = +¥‬‬
‫‪= lim‬‬
‫>‬
‫‪x ® 2  x - 2 ‬‬
‫‪5  6ln x - 2 ‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim x + 2 ‬‬‫‬‫‪= +¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪= lim‬‬
‫<‬

‫)‪j ( x ‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬

‫‪2 ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

‫‪( x - 2 ) ‬‬
‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫= )‪f ¢ ( x ‬‬

‫ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪j ( x ) ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ ‬ﺇﺫﻥ ‪ f ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ ]-¥ ;  1 ] ‬ﻭ ‪[ 3 ;  + ¥[ ‬‬
‫ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ [1 ;  2 [ ‬ﻭ ‪]2 ;  3 ] ‬‬
‫‪3 ‬‬

‫‪+¥ ‬‬
‫‪+‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪0 ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪8 ‬‬

‫‪f ( x ) ‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪ (3 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻫﻨﺎ ‪ ‬ﻟﻙ ‪  4 ‬ﻓﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x = 2 ‬‬
‫‪lim ëé f ( x ) - ( x + 2 ) ûù = 0 ‬‬

‫‪x ®+¥‬‬

‫‪ ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = x + 2 ‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ‬

‫‪x ‬‬

‫‪+¥‬‬

‫ﻭ ﻋﻨﺩ‬

‫‪-¥‬‬

‫‪ (4 ‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬

‫‪5 ‬‬
‫‪; 4, 8 ‬‬
‫‪3 ‬‬

‫‪f  ( - 1 ) = 1 +‬‬

‫‪5 ‬‬
‫‪- 3ln 2 ; 1, 4 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ (5 ‬ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ‬

‫‪w‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻨﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل‬

‫‪5 ‬‬
‫‪+ 3ln 2 ; 6, 5 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪f  ( - 4 ) = - 2 + + ln 6 ;  0, 6 ‬‬
‫‪6 ‬‬

‫‪f  ( 0 ) = 2 +‬‬

‫؛‬

‫‪f  ( 4 ) = 6 -‬‬

‫؛‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ‪:‬‬

‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x ‬‬

‫ﻤﻥ‬

‫‪4 - x Î D f  :  D f ‬‬

‫ﻤﺤﻘﻕ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪f ( 4 - x ) + f ( x ) = 8 ‬‬

‫ﻭ ﻫﻭ‬

‫‪.‬‬

‫‪5 6ln 2 - x‬‬
‫‪5 - 6ln 2 - x ‬‬
‫‬‫‪+ x + 2 ‬‬‫‬‫‪2- x‬‬
‫‪2- x‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫‪ln x - 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5  6ln x - 2 ‬‬
‫‪= 8+‬‬
‫‪+6‬‬
‫‬‫‬‫‪= 8 ‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x-2‬‬
‫‪x - 2 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪ w ( 2; 4 ) ‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪.  ( G‬‬

‫‪f ( 4 - x) + f ( x) = 6 - x -‬‬

‫‪ -6 ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ‬

‫)‪(G‬‬

‫‪:‬‬

‫‪y‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪7 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪7 ‬‬

‫‪6 ‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫‪­1 ‬‬
‫‪­2 ‬‬
‫‪­3 ‬‬

‫‪­1 ‬‬

‫‪­2 ‬‬

‫‪­3 ‬‬

‫‪­4 ‬‬

‫‪­5 ‬‬

‫‪­6 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  14 ‬‬
‫‪-1 ‬‬

‫‪ ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪0 ‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬

‫‪D f  = [ 0;  +¥[  :‬‬

‫‪æ 1 ö‬‬
‫÷ ‪ln ç 1 +‬‬
‫‪ln ( 1 + t ) ‬‬
‫‪x ø‬‬
‫‪æ 1 ö‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f ( x ) = lim‬‬
‫‪- xln ç 1 + ÷ = lim‬‬
‫‪- è‬‬
‫‪= lim ‬‬‫‪= 0 ‬‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫‪t ®+¥‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x ø x ®0 ‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪x ®0‬‬
‫‪x ®0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﺇﺫﻥ‬

‫‪f ‬‬

‫‪ ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪0 ‬‬

‫‪  -2 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪. ‬‬

‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪0 ‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪:‬‬

‫‪1 ö‬‬
‫‪æ‬‬
‫÷ ‪- x ln ç 1 +‬‬
‫‪1 ö‬‬
‫‪x ø‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫‪- ln ç 1 + ÷ = -¥‬‬
‫>‬
‫‪x‬‬
‫‪x ø‬‬
‫‪è‬‬
‫‪x ® 0 ‬‬
‫‪ ‬ﺇﺫﻥ ‪  f ‬ﻻ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0 ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ‪( C ) ‬‬

‫‪f ( x ) - f  ( 0 ) ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x - 0 ‬‬
‫‪x®0‬‬
‫‪x®0‬‬
‫>‬

‫>‬

‫ﻴﻘﺒل ﻨﺼﻑ‬

‫‪ ‬ﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪.  0 ‬‬

‫‪ -3 ‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ f ¢ ( x ) ‬ﻭ ‪f ¢¢ ( x ) ‬‬
‫‪-1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ö‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪f ¢ ( x ) = ( -1) ´ ln ç 1 + ÷ + ( - x ) ´ x ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x ø‬‬
‫‪è‬‬
‫‪1 + ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1ö‬‬
‫‪1ö‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪= - ln ç 1 + ÷ + x  = - ln ç 1 + ÷ +‬‬
‫‪x ø 1 + 1 ‬‬
‫‪x ø x + 1 ‬‬
‫‪è‬‬
‫‪è‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪-1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ ‪f ¢¢ ( x ) = - x ‬‬‫‪1  ( x + 1 ) 2 ‬‬
‫‪1 +‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1 ‬‬
‫‬‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫)‪x ( x + 1 ) ( x + 1‬‬
‫‪x ( x + 1 ) ‬‬

‫‪=-‬‬

æ
è

lim f ¢ ( x ) = lim - ln ç 1 +

x ®+¥

x ®+¥



+
= 0 
÷
x ø x + 1 
: f ¢ ( x )  ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬-





+¥ 

f ¢¢ ( x ) 

+


f ¢ ( x ) 


f ¢ ( x ) < 0  ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‬
: f  ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬  -4 

æ 1 ö
ln ç 1 + ÷
ln ( 1 + t ) 
x ø
æ 1 ö
lim f ( x) = lim - xln ç 1+ ÷ = lim - è
= lim = -1 
x®+¥
x ®+¥
t ®0 


è x ø x®+¥


. (

[ 0; +¥[ 




f ¢ ( x ) 
f ¢¢ ( x ) 

‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

t  =



‫ﺒﻭﻀﻊ‬  )


f  ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  f ¢ ( x ) < 0  ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬
+¥ 

-


-1 

‫‪ (5 ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪y  = - 1  :  ( C ) ‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬

‫‪y ‬‬
‫‪0,5 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪3,5 ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪2,5 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪1,5 ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪0,5 ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫‪­0,5 ‬‬

‫‪(C) ‬‬
‫‪­1 ‬‬

‫‪ (6 ‬ﺤﺴﺎﺏ ‪g ¢ ( x ) ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪g ¢ ( x ) = 1. f ( x ) - 1 ‬‬
‫‪g¢ ( x ) = f ( x ) - 1 ‬‬
‫‪ ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f ‬‬‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪g¢ ( x ) = f ( x ) - 1 ‬‬
‫‪:‬‬

‫‪ ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪h ‬‬

‫¡ ‪c Î‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻋﻠﻰ‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪; ‬‬

‫‪]0; +¥[ ‬‬

‫‪f ( x ) = g ¢ ( x ) + 1 ‬‬
‫‪h ( x ) = g ( x ) + x + c‬‬
‫‪.‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  15 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ -1 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬

‫‪f ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪D f  = { x Î ¡ : 6 - x > 0} = ]-¥; 6[ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 x - 11 ‬‬
‫‪- ln ( 6 - x ) = -¥‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim‬‬
‫‪x ® -¥‬‬
‫‪x ® -¥ x - 6 ‬‬
‫‪2 x - 11 ‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim‬‬
‫‪- ln ( 6 - x ) ‬‬
‫‪x®6‬‬
‫‪x ® 6  x - 6 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪éë 2 x - 11 + ( 6 - x ) ln ( 6 - x ) ùû = -¥‬‬
‫‪= lim‬‬
‫<‬
‫‪x ® 6  x  - 6 ‬‬
‫<‬

‫<‬

‫‪- 1 ‬‬
‫‪6  - x ‬‬

‫‪-‬‬

‫)‪2 ( x - 6 ) - 1 ( 2 x  - 11 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪( x  - 6 ) ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪- x  + 5 ‬‬
‫=‬
‫‪x  - 6  ( x  - 6 ) 2 ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ f ¢ ( x ) = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪- x + 5 = 0  : ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬

‫‪ f ¢ ( x ) > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪- x + 5 > 0  : ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬

‫‪x < 5 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺇﺫﻥ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪ f ¢ ( x ) < 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪  x > 5  : ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬

‫‪]-¥; 5 ] ‬‬
‫‪f ‬‬

‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪[ 5; 6 [ ‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪6 ‬‬
‫‪-‬‬

‫‪-¥ ‬‬
‫‪-‬‬

‫‪-¥‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪- 1 ‬‬
‫‪= 1 ‬‬
‫‪- 1 ‬‬

‫=‬

‫)‪( x - 6‬‬

‫‪x = 5 ‬‬

‫= )‪f ¢ ( x ‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪f ( x ) ‬‬

‫=‪f  ( 5 ) ‬‬

‫‪ -2 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪:‬‬

‫‪5‬‬
‫‪11 ‬‬
‫=‪      ;      f ( 0 ) ‬‬
‫‪- Ln 6 ‬‬
‫‪36‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪y = f ¢ ( 0 )( x - 0 ) +  f  ( 0 ) ‬‬

‫= )‪f ¢ (0‬‬

‫‪5‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪x + - ln 6 ‬‬
‫‪36‬‬
‫‪6 ‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪ -3 ‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬

‫‪13 ‬‬
‫‪- ln 6 ; - 0,16 ‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫؛‬
‫‪f  ( 3 ) = - ln 3 ; 0, 56 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ -4 ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  [ - 1 ;  0 ] ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫=‪f  ( - 1 ) ‬‬

‫‪f ( -1) . f  ( 0 ) < 0 ‬‬

‫؛‬

‫‪11 ‬‬
‫‪- ln 6 ; 0, 04 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪f  ( 4 ) = - ln 2 ;  0, 80 ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ‬

‫=‪f  ( 0 ) ‬‬

‫‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f  (a ) = 0 ‬‬

‫‪f  ( 5 ) = 1 - ln1 = 1 ‬‬

‫‪ -5 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  [ 5; 6 [ ‬‬

‫‪f ‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪f  ( 5 ) > 0 ‬‬

‫ﻭ‬

‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬

‫‪lim f ( x ) = -¥‬‬
‫<‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ‬

‫‪x ® 6 ‬‬
‫ﻭﺤﻴﺩ‬

‫‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪f  ( b ) = 0  :‬‬

‫‪ -6 ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪( C ) ‬‬

‫‪:‬‬

‫)‪f ( x‬‬
‫‪2 x - 11  ln ( 6 - x ) ‬‬
‫‪= lim  2 ‬‬
‫‬‫‪= 0 ‬‬
‫‪x ®-¥ x - 6 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ( C ) ‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻋﻨﺩ ‪-¥ ‬‬

‫‪x = 6 ‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬

‫‪y ‬‬
‫‪1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪6 ‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪0 ‬‬

‫‪­1 ‬‬

‫‪­2 ‬‬

‫‪­3 ‬‬

‫‪­1 ‬‬
‫‪­2 ‬‬
‫‪­3 ‬‬

‫‪ -7 ‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪11 ‬‬
‫‪é‬‬
‫· ‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪- Ln 6 ê‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪11 ‬‬
‫= ‪ : m‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻤﻭﺠﺏ ﻭ ﺃﺨﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬
‫· ‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪- Ln 6 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪ù 11 ‬‬
‫‪é‬‬
‫‪ : m Î‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ‪.‬‬
‫· ‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪ú 6  - Ln 6 ;  1 ê‬‬
‫‪û‬‬
‫‪ë‬‬
‫· ‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪ : m = 1 ‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬
‫· ﻟﻤﺎ ‪ : m Î ]1;  +¥[ ‬ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل‪.‬‬
‫‪ù‬‬
‫‪û‬‬

‫;‪m Î ú -¥‬‬

‫‪ :‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ‪.‬‬

‫‪­4 ‬‬

‫‪­5 ‬‬

‫‪ -8 ‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f ( x ) £ 0  :‬‬
‫‪x Î ]-¥; b ] È [a ; 6[ ‬‬
‫‪ f ( x ) £ 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪  :‬‬
‫‪ -9 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪  a ‬ﻭ ‪b ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪ax - 6 a + b ‬‬
‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪: ‬‬
‫‪x - 6 ‬‬
‫‪ì a  = 2 ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ‪: ‬‬
‫‪í‬‬
‫‪î -6a + b = - 11 ‬‬
‫‪2 x - 11‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪: ‬‬
‫‪= 2 +‬‬
‫‪x-6‬‬
‫‪x - 6 ‬‬
‫‪D g  = ]-¥; 6[ ‬‬
‫‪ -10 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪  : g ‬‬
‫=‬

‫‪2 x - 11‬‬
‫‪b‬‬
‫‪= a +‬‬
‫‪x-6‬‬
‫‪x-6‬‬
‫‪ì a = 2 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ‪: ‬‬
‫‪í‬‬
‫‪î b = 1 ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪+ 1 ‬‬
‫‪6 - x ‬‬
‫‪= ln ( 6 - x ) - 1 + 1 = ln ( 6 -  x ) ‬‬

‫´‪g ¢ ( x ) = 1.ln ( 6 - x ) + ( x - 6 ) ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ -11 ‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬
‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬

‫‪f ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪- ln ( 6 - x ) = 2 ‬‬‫‪- g ¢ ( x ) ‬‬
‫‪6 - x ‬‬
‫‪x-6‬‬

‫‪f ( x) = 2 +‬‬

‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪  h ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f ‬‬
‫‪h ( x ) = 2 x - ln ( 6 - x ) - ( x - 6 ) ln ( 6 - x ) - x + c ‬‬
‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪h ( x ) = x - ( 1 - x + 6 ) ln ( 6 - x ) + c ‬‬
‫¡ ‪c Î‬‬

‫‪h ( x ) = x - ( 7 - x ) ln ( 6 - x ) + c       ;  ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  16 ‬‬
‫‪( 1 ‬‬
‫‪( 8 ‬‬

‫‪√ ‬‬
‫‪.  × ‬‬

‫‪√  (2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪( 9 ‬‬

‫‪√ ‬‬

‫‪( 3 ‬‬

‫‪.  × ‬‬

‫‪. ×  (10 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪( 4 ‬‬

‫‪√ ‬‬

‫‪( 5 ‬‬

‫‪.  √ ‬‬

‫‪( 6 ‬‬

‫‪× ‬‬

‫‪√  (7 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤ‪ ‬ﺭﻴﻥ‪.  17 ‬‬
‫‪ (1 ‬ﺤل ﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪:‬‬

‫‪log 6 = logx + log ( x - 1) ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  x > 0  : ‬ﻭ ‪x - 1 > 0 ‬‬
‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x > 1 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ]1; +¥[ ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( 1 ) ‬‬
‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ logx ( x - 1) = log 6  :‬ﻭ ﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x ( x - 1) = 6  :‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪ x 2  - x - 6 = 0  : ‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x2 = 3     ;     x 1  = -2    ;   D = 25  : ‬‬

‫‪s = { 3} ‬‬
‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪ (2 ‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪2 ( logx )  + 5logx - 3 = 0  :‬‬
‫‪ ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  x > 0 ‬ﺒﻭﻀﻊ ‪  logx = t ‬ﻨﺠﺩ ‪2 t 2  + 5 t - 3 = 0 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪t 2 = - 3    ;    t 1  =     ;   D = 49 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ln x  1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫= ‪ logx‬ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ln x  = ln10  : ‬‬
‫=‬
‫‪ ‬ﻟﻤﺎ = ‪:  t ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ln10 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x  = 10  : ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ln x = ln 10  : ‬‬
‫‪ln x ‬‬
‫‪ ‬ﻟﻤﺎ ‪ log x  = - 3  :  t = - 3 ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪= - 3  : ‬‬
‫‪ln10 ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ ln x  = ln10 -3  : ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x  = 10 -3  : ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪} ‬‬

‫{‬

‫‪s =  10;10 -3 ‬‬

‫‪ (3 ‬ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪: ‬‬
‫‪log x > 3 ‬‬
‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x > 0 ‬‬
‫‪ln x ‬‬
‫ﺃﻱ ‪ln x >  ln10 3  : ‬‬
‫ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪> 3  : ‬‬
‫‪ln10 ‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪s = ùû103 ;  +¥ éë  : ‬‬

‫‪ (4 ‬ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪log ( x - 6 ) > 2 logx  :‬‬
‫‪ ‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪  x > 0 ‬ﻭ ‪x - 6 > 0 ‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x  > 10 3  : ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪: ‬‬

.

]6; +¥[ 
log ( x - 6 ) > logx 2 
‫ﻭﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

x - 6 > x 2  :  ‫ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬

.‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺤﻠﻭل‬

x > 6 

:  ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬

: ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬

- x 2  + x - 6 < 0  :  ‫ﺇﺫﻥ‬
.

18 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 


S  ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ 

88 99 ö
æ1 2 3
æ 1  ö
´ ´ ´ ..... ´ ´
= log ç
÷ = - log 100 
÷
99 100 ø
è 100 ø
è2 3 4

S = log ç

S = - log 102  = -2 

: ‫ﺇﺫﻥ‬

.

]-¥; 0[ È ]0; +¥[ 

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬



 

‫؛ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

19 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

f ( x ) = x + log x 

(1 

é ln ( - x )  1  ù
= lim x ê1 +
´
ú = -¥
x ® -¥
x ® -¥
- x 
ln10 x ® -¥ ë
ln10 û
é ln x  1  ù
lim f ( x ) = lim  ê1 +
´
= +¥
x ®+¥
x ®+¥ ë
x  ln10 úû
ln x 
lim
f ( x ) = lim
x +
= -¥
>
>
ln10 
x®0
x ® 0 

lim f ( x ) = lim x +

lim f ( x ) = lim x +
<

<

x®0

x ® 6 

ln  x 

ln ( - x ) 
ln10 

= -¥

f ( x ) = x 2 - 1 - log ( x 2  - 1)     (2 
x 2  - 1 > 0  ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻥ ﺃﺠل‬  f  ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 
]-¥;1[ È ]1; +¥[  :‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻫﻲ‬

lim f ( x ) = lim x 2 - 1 - log ( x 2  - 1) 
 

x ®-¥

x ®-¥

(



é log x 2  - 1  ù
ú = +¥
= lim x  - 1 ê1 x ® -¥
x 2  - 1  ú
êë
û

(



)

(



é log x 2  - 1  ù
ú = +¥
lim f ( x ) = lim x  - 1 ê1 x ® +¥
x ® +¥
x 2  - 1  ú
êë
û
2

lim f ( x ) = lim x - 1 - log ( x  - 1 ) = +¥

(

x ® -1

)



x ® -1 

x > -1

x > - 1 

lim f ( x ) = lim x 2 - 1 - log ( x 2  - 1 ) = -¥
x ®1

x ® 1 

x>1

x > 1 

f ( x ) =

x ¹ 10  :  ‫ﺃﻱ‬



(3 

Logx - 1 
x > 0  ‫ﻭ‬  Logx - 1 ¹ 0  ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬  f  ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 
ln x 
ln x ¹ ln10  :  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
¹ 1  :  ‫ ﻤﻌﻨﺎﻩ‬logx  ¹ 1 
ln10 

]0;10[ È ]10; +¥[ 


: ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‬


= -¥
logx - 1 
x >10
x >10 


= 0 
= +¥ ,  lim f ( x ) = lim 
lim f ( x ) = lim 
x ®+¥
x ®+¥ logx - 1 
x ® 10  logx - 1 
x ® 10 
= 0  , 
lim f ( x ) = lim 
x®0
x ® 0  logx - 1 
>

>

>

lim f ( x ) = lim 

x ®10

x ®10 

>



f ( x ) = ( log x )     (4 

]0; +¥[ 

‫ﺃﻱ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

x > 0  ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ 

2



lim f ( x ) = lim ( logx ) = +¥ , lim f ( x ) = lim ( logx )  = +¥
x®0
x> 0

x ® 0 

x ® +¥

x > 0 

x ® +¥

.  20 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 
: ‫– ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬

x ¹ 1  ‫ﺃﻱ‬  x - 1 ¹ 0  ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬

]-¥;1[ U ]1; +¥[ 
lim f ( x ) = +¥ , 
x ®-¥

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ 





: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‬

lim f ( x ) = -¥ 
x ® 1 
x <1 

lim f ( x ) = +¥

x ®+¥



 

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

lim f ( x ) = -¥ 
x ® 1 
x >1 

‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫´‬
‫‪ln10 x - 1 ‬‬
‫ﻟﻤﺎ ‪  f ¢ ( x ) > 0 : x > 1 ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪f ‬‬

‫‪]-¥;1 [ ‬‬

‫=‪f ¢ ( x ) ‬‬
‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ]1; +¥[ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f ‬‬

‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪-¥ ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪f ( x ) ‬‬
‫‪-¥‬‬

‫‪-¥‬‬

‫‪ -2 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪ ‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻫﻨﺎﻙ ‪4 ‬‬

‫ﻓﺭﻭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x = 1  : ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪log ( x - 1 ) ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫‪= 0 ‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻋﻨﺩ‬

‫‪+¥‬‬

‫)‪f ( x‬‬
‫‪log ( - x + 1 ) ‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫‪= 0 ‬‬
‫‪x ®-¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x ®-¥‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻋﻨﺩ ‪-¥ ‬‬

‫‪ -3 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪y = f ¢ ( 2 ) . ( x - 2 ) + f  ( 2 )  :‬‬
‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪( x - 2 ) ‬‬
‫‪ln10 ‬‬

‫– ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ‪ ‬ﺫﺍﺕ‬

‫=‪y‬‬

‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ ‪10 ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫=‪ x - 1 ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪: ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪: ‬‬
‫‪f ¢ ( x ) = 10 ‬‬
‫‪ln10 ‬‬
‫‪10.ln10 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻤﻤﺎﺱ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ‪ ‬ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‬
‫‪. 1 +‬‬
‫‪ln10 ‬‬

‫‪x  = 1 +‬‬

‫‪ -5 ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ‬

‫‪( C ) ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪y ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪0,5 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪0,5  1  1,5  2  2,5  3 ‬‬

‫‪­1,5  ­1  ­0,5  0 ‬‬
‫‪­0,5 ‬‬
‫‪­1 ‬‬

‫ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ‪y = 0 : x  = 0  : ‬‬‫* ‪ ‬‬
‫‪( C ) I ( y¢y ) = {0} ‬‬

‫‪x - 1 = 1 : y = 0  * ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪  x - 1 = 1  : ‬ﺃﻭ ‪x = 1 = -1 ‬‬
‫‪ ( C ) I ( x ¢x ) = {O , A } ‬ﺤﻴﺙ ‪A ( 2; 0 )  :‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪: ‬‬

‫‪x = 2 ‬‬

‫‪ ‬ﺃﻭ‬

‫‪ -6 ‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ ( C ) ‬ﻭ ) ‪( D‬‬

‫ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﻴﻥ‪.‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪.  21 ‬‬
‫‪-1 ‬‬

‫‪D f  = ]0;  +¥[ ‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim - 4 + 4 logx ‬‬
‫‪  = -¥‬‬
‫>‬

‫>‬

‫‪x ® 0 ‬‬

‫‪x®0‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim - 4 + 4log x  = +¥‬‬
‫‪x ® +¥‬‬

‫‪4‬‬
‫‪1 ‬‬
‫´‬
‫‪Ln 10  x ‬‬

‫=‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪x ® +¥‬‬

‫‪x = 0 ‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪  f ¢ ( x ) > 0 ‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫‪f ‬‬

‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫‪]0; +¥[ ‬‬

‫‪0 ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+¥‬‬

‫‪f ( x ) ‬‬
‫‪-¥‬‬

‫‪2 ‬‬

‫– ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬

‫ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x = 0  : ‬‬
‫‪f ( x ) ‬‬
‫‪-4 log x ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 0 ‬‬
‫‪x ®+¥‬‬
‫‪x ®+¥ x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ‬

‫‪ – 3 ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪( C ) ‬‬

‫‪:‬‬

‫‪y‬‬
‫‪1,5 ‬‬

‫‪9  10,5  12  13,5  15  16,5  x ‬‬

‫‪7,5 ‬‬

‫‪6 ‬‬

‫‪4,5 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪1,5 ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫‪­1,5 ‬‬
‫‪­3 ‬‬
‫‪­4,5 ‬‬
‫‪­6 ‬‬
‫‪­7,5 ‬‬

.

22 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

D f  = { x Î ¡ : x > 0 ,  logx ¹ 0} 
 
D f  = ]0; +1[ ; ]1;  +¥ [ 

= 0  ,  lim f
 
x ® 0  logx 
x®1

lim f ( x ) = lim 
>

x®0

>

<

: ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-


= -¥
x  ® 1  lo g x 

( x ) = lim 
<



= 0 
= +¥  ,  lim f ( x ) = lim 
x ® +¥
x ® +¥ log x 
x®1
x ® 1  log x 
1

´
- 1 
f ¢ ( x ) = ln10  2x  =

( log x )
( x ln10 )( log x ) 
‫ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬f  ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  f ¢ ( x ) < 0  ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬
]1; +¥[  ‫ ﻭ‬  ]0;1[  

lim
f ( x ) = lim 
>
>





f ¢ ( x ) 
f ( x ) 


-

¥ + 
-



+¥ 





.‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ‬

( C )  ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ‬

y = 0 ,  x  = 1 








­1 



















­1 
­2 
­3 

.

23 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 

D f  = ]0;  +¥[  : ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
lim f ( x ) = lim
>

>

x®0

x®0

logx - 1

x

lim f ( x ) = lim 

= lim
>
x ® 0 



( log x - 1 ) = -¥



log x  1 
- = 0 

x

1 1

. . x - 1 ( logx - 1 ) 
- log + 1 
ln10

ln10
 
f ¢ ( x ) =

2

x ® +¥

x ® +¥

x
ln x 



1
10 
+1
1 + ln 
1
ln

+
ln10 
= ln10 ln10 
=
= 2  x 
x2
x 2 ln10
x  ln10 

‫‪ f ¢ ( x ) = 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪= - 1  : ‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪10 = xe -1  : ‬‬

‫ﺃﻱ ‪: ‬‬

‫‪10 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪10 ‬‬

‫‪e -1 ‬‬

‫‪ ln‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪= e -1  : ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x = 10e ‬‬
‫= ‪ x ‬ﺇﺫﻥ ‪  : ‬‬

‫‪10 ‬‬

‫‪ f ¢ ( x ) > 0 ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪> - 1  : ‬‬
‫‪x ‬‬
‫ﺃﻱ ‪ 10 > xe -1  : ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x < 10 e  : ‬‬
‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f  : ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪]0 ;  10e ] ‬‬
‫ﻋﻠﻰ‬

‫‪10 ‬‬

‫‪ ln‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪> e - 1  : ‬‬

‫‪10 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬

‫‪[10e  ;   + ¥[ ‬‬
‫‪0 ‬‬

‫‪10e ‬‬

‫‪+¥ ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪f ¢ ( x ) ‬‬

‫‪f ( 10e   ) ‬‬
‫‪f ( x ) ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪log2e - 1 ‬‬
‫‪; 0, 02 ‬‬
‫‪2 e ‬‬

‫‪-¥‬‬

‫=‪f ( 10e ) ‬‬

‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪7 ‬‬

‫‪6 ‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪0 ‬‬
‫‪­1 ‬‬
‫‪­2 ‬‬
‫‪­3 ‬‬
‫‪­4 ‬‬
‫‪­5 ‬‬
‫‪­6 ‬‬

‫‪­1 ‬‬


Documents similaires


Fichier PDF tdreseau corrige
Fichier PDF heywood tables
Fichier PDF livre tdc
Fichier PDF serie02 gra
Fichier PDF correction lca 18 09
Fichier PDF regulation du ph


Sur le même sujet..