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Contrôle C2 Thermodynamique II
SMP – S3 – Durée 1h30 - 2010
Exercice 1 (question du cours) : Effets thermoélectriques (4pts)

Les relations d’Onsager décrivant les effets thermoélectriques sont :

r
1 →
φ
Jq = −L qq 2 grad T − L qe grad
;
T
T


r
1 →
φ
Je = −L eq 2 grad T − L ee grad
T
T

1/ Donner le nom et l’expression des forces thermodynamiques dans ces équations.
2/ Utiliser ces relations pour trouver l’expression du coefficient de Seebeck ε en fonction des
coefficients d’Onsager et du potentiel électrique φ .
3/ En déduire la relation liant la conductivité thermique K aux coefficients d’Onsager et à la
température T.
Exercice 2 : Application du cours (6pts)

1/ A partir de la fonction énergie libre G, montrer que H = − T 2

∂G / T 
 .
∂T  P

2/ D’après le théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, U(S,V,n) est de degré 1, et peut
s’écrire : U =

∑X

j

∂U
, où les Xj sont les variables extensives de la fonction U.
∂X j

a- Trouver l’expression de U(S,V,n). Donner, dans ce cas, sa différentielle.
b- En déduire la relation de Gibbs-Duhem (relation entre les variables intensives).
Exercice 3 : Transformations isobares et isothermes de l’eau (10 pts)

On considère une mole d’eau à l’état vapeur saturée de volume V1 à la température T1. Cette
mole subit successivement les transformations suivantes :
A1A2 : réchauffement isobare P1 jusqu’à l’état A2 à T2 ;
A2A3 : compression isotherme T2 jusqu’à l’état P2 à l’état de vapeur saturée ;
A3A4 : condensation isotherme jusqu’à l’état liquide saturant ;
A4A5 : refroidissement isobare P2 jusqu’à l’état A5 à T1 ;
A5A6 : détente isotherme T1 jusqu’à l’état liquide saturant à P1 ;
A6A1 : évaporation isotherme T1 jusqu’à l’état de vapeur saturée.
On donne : P1=1atm, P2=11atm, T1=100°C, T2=180°C, les chaleurs de vaporisation de l’eau
L1=40kJ/mol à 100°C, L2=36,6kJ/mol à 180°C, les capacités thermiques molaires de l’eau
liquide
et
de
l’eau
vapeur
sont
supposées
constantes :
c f = 75,2J / mol / K ,

c g = 32,7J / mol / K et R=8,32J/mol/K.
On admet que la vapeur d’eau se comporte comme un gaz parfait même à l’état de vapeur
saturée.
1/ Tracer sur un diagramme P-V les différentes transformations subit par cette mole d’eau. De
quelle machine thermique s’agit-il ?
2/ Trouver l’expression littérale et la valeur numérique des volumes V1 à l’état A1, V2 à l’état
A2 et V3 à l’état A3.
3/ Trouver l’expression littérale et la valeur numérique des chaleurs Q12, Q23, Q34, Q45, Q56 et
Q61 échangées par l’eau au cours de ces transformations.
4/ Trouver l’expression littérale et la valeur numérique des travaux W12, W23, W34, W45, W56 et
W61 échangées par l’eau au cours de ces transformations sans utiliser le résultat de 3/.
5/ Déduire des expressions littérales des questions 3/ et 4/ que la chaleur latente de
vaporisation de l’eau liquide varie linéairement avec la température absolue T suivant la loi
de Regnault : L=L0-aT. Calculer les coefficients a et L0.
6/ Utiliser la relation de Clapeyron pour trouver littéralement puis numériquement la pression
d’équilibre liquide/vapeur en fonction de la température T.
----------------------------------------------

Solution et barème du contrôle C2
Thermo 2 – S3 – 2010
Exercice 1 (question du cours) : Effets thermoélectriques (4pts)

1/ Les relations d’Onsager décrivant les effets thermoélectriques sont :
→ φ
r
1 →
Le flux thermique : J q = − L qq 2 grad T − L qe grad
T
T
→ φ
r
1 →
Le flux électrique : J e = − L eq 2 grad T − L ee grad
T
T




1
T

grad T est la force thermodynamique d’origine thermique ; (0,5pt)

2



φ
est la force thermodynamique d’origine électrique (0,5pt).
T
2/ Coefficient thermoélectrique ε (ou coefficient Seebeck)
− grad

→ φ
r
L eq →
En circuit ouvert, J e = 0 , on aura : 0 = − 2 grad T − L ee grad
(0,5pt)
T
T

L eq L φ →
L
D’où
− ( 2 + ee2 ) grad T − ee grad φ = 0 .
Le
coefficient
Seebeck,
T
T
T


L eq + L ee φ
− ε grad T = grad φ (0,5pt) d’où : ε =
(0,5pt)
L ee T

ε,

est

défini

par :

3/ Expression de la conductivité thermique K

r
D’après l’expression du flux Jq , en circuit ouvert, on a :
→ φ
r
L qq − φL qe →
L qe →
1 →
J q = −L qq 2 grad T − L qe grad = −(
)
grad
T
+
ε grad T (0,5pt)
T
T
T
T2
r
L qe  →
 L qq − φL qe
Soit J q =  − (
)+
ε  grad T (0,5pt) et par identification avec la loi de Fourier, on obtient :
2
T 
T


K=

L qq L ee − L2qe
T 2 L ee

(0,5pt).

Exercice 2 : Application du cours (6pts)

1/ G = H − TS = H − T

∂G 
 (1pt) et
∂T  P

1 ∂G 
G
∂G / T 
(1pt) que l’on multiplie par T2 et en
 =
 −
∂T  P T ∂T  P T 2

remplaçant dans la première donne H = −T 2

∂G / T 
 (2ème équation de Helmholtz).
∂T  P

2.a/ On voit que U est une fonction homogène de degré 1 dont toutes les variables sont
extensives : S, V et n. L’application du théorème d’Euler à U donne : U = TS - PV + µn (1pt).
2.b/ la différentielle de U est dU = TdS - PdV + µdn (1pt) et sa différentielle selon l’équation 3.a/ est
dU = TdS + SdT - PdV - VdP + µdn + ndµ (1pt). La comparaison de ces deux différentielles donne :
0 = SdT - VdP + ndµ (1pt) c’est l’équation de Gibbs-Duhem qui lie les variables intensives.
Exercice 3 : Transformations isobares et isothermes de l’eau (10 pts)
Remarque : les résultats ici sont molaires, on peut accepter les résultats massiques si la masse
molaire est juste, M=18g/mol.

(1pt)

(0,5pt)

2/ P1=1atm, P2=11atm, T1=373K, T2=453K, les chaleurs de vaporisation de l’eau L1=40kJ/mol à
100°C, L2=36,6kJ/mol à 180°C, les capacités thermiques molaires de l’eau liquide et de l’eau
vapeur sont supposées constantes : c f = 75,2J / mol / K , c g = 32,7J / mol / K et R=8,32J/mol/K. Le
gaz est parfait : PV = RT . On obtient : V1=RT1/P1=0,0310336m3 (0,5pt),
V2= RT2/P1=0,0376896m3 (0,5pt), V3=RT2/P2=0,0034263m3 (0,5pt).
V
3/ Q12 = c g (T2 − T1 ) = 2,62kJ (0,5pt), Q 23 = RT2 ln 3 = −9kJ (0,5pt), Q 34 = −L 2 = −36,6kJ
V2

(0,5pt),

Q 45 = c f (T1 − T2 ) = −6,02kJ (0,5pt), Q 56 = 0 (0,5pt) et Q 61 = L1 = 40kJ (0,5pt).

On a : Q cycle = −9kJ : le système fournit donc au milieu extérieur une quantité de chaleur

Q cycle = −9kJ par cycle.
4/ Calcul des travaux échangés par la mole d’eau au cours des transformations du cycle. On
négligera les volumes molaires des phases liquides devant ceux des phases vapeur (V4<<V3 et
V6<<V1), il vient : W12 = −P1 (V2 − V1 ) = −0,67kJ (0,5pt) ;
W23 = −RT2 ln

V3
= 9,04kJ
V2

(0,5pt) ;

W34 = − P2 (V4 − V3 ) ≈ P2 V3 = 3,77 kJ

(0,5pt) ;

W45 = 0

(0,5pt) ;

W56 = 0 (0,5pt) ; W56 = − P1 (V1 − V6 ) ≈ −P1V1 = −3,1kJ (0,5pt).
Wcycle = 9,04kJ : le système a donc reçu du milieu extérieur un travail total de 9,04kJ par cycle (cycle

récepteur).
On a obtenu Wcycle ≈ −Q cycle qui est en accord avec le 1ier principe de la thermodynamique.
5/ Q cycle = c g (T2 − T1 ) + RT2 ln
RT2 ln

V3
V
+ c f (T1 − T2 ) + L1 − L 2 et W = − P1 (V2 − V1 ) − RT2 ln 3 + P2 V3 − P1 V1 donc
V2
V2

V3
V
+ (c f − c g )(T1 − T2 ) + L1 − L 2 = P1 (V2 − V1 ) + RT2 ln 3 − P2 V3 + P1 V1 .
V2
V2

D’où on tire : L 1 − L 2 = ∆c(T2 − T1 ) (0,5pt) ⇒ sous forme différentielle (si T2 = T1 + dT ) on aura

dL = ∆cdT et L(T) = ∆cT + L 0 avec a = ∆c = 42,5J / mol / K et L 0 = L1 + ∆cT1 = 55,9kJ / mol (0,5pt).
5/ D’après la relation de Clapeyron, et en négligeant le volume molaire du liquide devant le volume
RT
molaire V =
de la vapeur, la chaleur de vaporisation est :
P
dP RT 2 dP
RT 2 dP
=
ou en séparant les variables L 0 − aT =
, ou en séparant les variables
dT
P dT
P dT
L
dP L 0 − aT dT
1
1 T
=
d’où on tire P(T ) = P1 exp[ 0 ( − )]( 1 ) a / R (1pt)
P
R
R T1 T T
T2

L ≈ TV


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