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Gestion de Portefeuille
Chapitre 3 : Critère Espérance-Variance et analyse des
portefeuilles e¢ cients
Sessi TOKPAVI

Université de Paris X Nanterre, Bâtiment G, bureau 515

Sessi TOKPAVI ()

Portefeuilles e¢ cients

Université de Paris X Nanterre, Bâtiment G, b
/ 48

Plan

1

Introduction

2

Portefeuilles e¢ cients et frontière e¢ ciente

3

Caractérisation des portefeuilles e¢ cients

4

1

Absence d’un actif sans risque

2

Présence d’un actif sans risque

Le critère Espérance-Variance dans la pratique

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Portefeuilles e¢ cients

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Introduction

Dans ce chapitre, nous présentons les principaux résultats théoriques
de la sélection de portefeuilles d’actifs.
Le modèle retenu est celui de l’Espérance-Variance de Markowitz
(1952).
Plus précisément, l’investisseur face au problème du choix des actifs
appartenant à un univers d’investissement donné utilise comme
critères discriminants entre les portefeuilles possibles, leurs espérances
et variances respectives.
Nous verrons précisément comment se dé…nit dans un tel modèle, le
portefeuille optimal, ainsi que ses propriétés.

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Portefeuilles e¢ cients

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Cadre d’analyse et notations

Le cadre d’analyse est le suivant: on suppose l’existence de k actifs
dont les rendements respectifs entre deux dates consécutives t0 et t1
sont notés Ri , i = 1, ..., k.
Le rendement d’un portefeuille quelconque à partir de ces k actifs est
noté Rp , avec:
Rp

= ∑ki=1 wi Ri
= w T R,

(1)

où w = (w1 , ..., wk )T est le vecteur (k 1) des poids des actifs et
R = (R1 , ..., Rk )T le vecteur (k 1) des rendements des actifs.

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Portefeuilles e¢ cients

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Cadre d’analyse et notations...
Le vecteur d’espérance de rendement pour les k actifs est noté
µ = (µ1 , ..., µk )T et est supposé connu en t0 .
Il en est de même de la matrice (k
rendements des k actifs, notée Σ.

k ) de variances-covariances des

Le vecteur de décision correspond au vecteur de poids w et est
inconnu à la date t0 .
L’objectif de l’investisseur est alors de déterminer la valeur optimale
de w = (w1 , ..., wk )T entre t0 et t1 .
La stratégie est de type "buy and hold", c’est-à-dire l’investisseur
choisit les poids en t0 , et ne réalise aucune transaction entre t0 et t1 .
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Portefeuilles e¢ cients

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L’ensemble des portefeuilles réalisables

Un choix particulier du vecteur de décision w = (w1 , ..., wk )T renvoie
(cf. chapitre 2) à un portefeuille d’espérance et d’écart-type:
µp = w T µ
σp =

p

(2)

w T Σw .

(3)

En faisant varier w = (w1 , ..., wk )T , il est possible de représenter
dans le plan σp , µp l’ensemble des portefeuilles réalisables et donc
les di¤érents choix possibles d’investissements.

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L’ensemble des portefeuilles réalisables: illustration
Considérons le cas simpli…é de 5 actifs dont les rendements espérés µi
et les écart-types des rendements σi sont donnés dans le tableau
suivant:
Actifs
Actif 1
Actif 2
Actif 3
Actif 4
Actif 5

µi
2%
4%
6%
7%
10%

σi
10%
20%
30%
35%
50%

On suppose ici que les corrélations entre les rendements des di¤érents
actifs sont nulles. Le graphique suivant a¢ che pour un certain
nombre de simulations l’ensemble des portefeuilles réalisables.
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L’ensemble des portefeuilles réalisables: illustration...

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Portefeuilles e¢ cients

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L’ensemble des portefeuilles réalisables: illustration...
Chaque point du graphique identi…e un portefeuille dont l’écart-type
des rendements est a¢ ché en abscisse et l’espérance de rendement en
ordonnée.
On notera qu’il existe des portefeuilles pour lesquels le niveau
d’écart-type des rendements est plus faible que celui des actifs
individuels. C’est l’e¤et diversi…cation discuté dans le chapitre
précédent.
Plus généralement quelle que soit la structure de corrélation entre les
rendements des actifs, l’ensemble des portefeuilles réalisables prend la
forme représentée sur le graphique précédent, soit une parabole
enveloppant les di¤érents choix d’investissements.

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Portefeuilles e¢ cients: dé…nition

On appelle portefeuilles e¢ cients (ou e¢ caces) les portefeuilles
optimaux au sens du critère Espérance-Variance.
Plus précisément, il s’agit des portefeuilles qui pour un niveau de
risque donné procurent l’espérance de rendement la plus élevée.
On peut localiser dans le plan σp , µp , pour l’ensemble des
portefeuilles réalisables, une frontière dont les points correspondent
aux portefeuilles e¢ cients.
Cette frontière porte le nom de "frontière e¢ ciente".

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Frontière e¢ ciente en absence d’un actif sans risque
Sur le graphique suivant est représentée l’enveloppe des portefeuilles
réalisables ainsi que la frontière e¢ ciente dans le cas où tous les k
actifs sont risqués.
La frontière e¢ ciente est en rouge et correspond à l’enveloppe
supérieure de l’ensemble des portefeuilles réalisables.
En e¤et, si on …xe un niveau de risque donné σp = σ0 , le portefeuille
P est celui qui engendre pour ce niveau de risque l’espérance de
rendement la plus forte.
De ce point de vue, il (le portefeuille P) domine tous les autres
portefeuilles de même niveau de risque, c’est-à-dire les points de la
ligne verticale AP.
En faisant varier le niveau de risque σp sur l’axe des abscisses, on
obtient alors l’ensemble des portefeuilles e¢ cients qui correspond à la
courbe en rouge.
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Frontière e¢ ciente en absence d’un actif sans risque...
Figure:

Espérance

P

(σ p= σ 0) A

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Ecart-type

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque

Si on suppose l’existence en plus des k actifs risqués d’un actif sans
risque de rendement R0 , la frontière e¢ ciente correspond à la droite
en rouge sur le graphique suivant.
Cette droite est tangente à l’enveloppe supérieure des portefeuilles
réalisables composés uniquement des k actifs risqués, et permet de
dé…nir un portefeuille particulier appélé portefeuille tangent (Point T).
Chaque point de la frontière e¢ ciente correspond alors à un
portefeuille e¢ cient, combinaison linéaire du portefeuille tangent et
de l’actif sans risque.

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...

Espérance

Figure:

T
B

R0
A

Ecart-type

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...

Pour bien comprendre la forme de la frontière e¢ ciente, utilisons un
raisonnement en deux étapes pour le choix d’un portefeuille dans un
univers de k actifs risqués et d’un actif sans risque de rendement R0 :
premièrement, la constitution d’un portefeuille constitué uniquement
des k actifs risqués, comme le point A de l’ensemble des portefeuilles
(d’actifs risqués) réalisables;
la combinaison dans une proportion donnée du portefeuille A avec
l’actif sans risque.

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...
Notons µA l’espérance de rendement du portefeuille A et µp celle du
portefeuille …nal composé à x% du portefeuille A et (1 x ) % de
l’actif sans risque. On a:
µp

= x µA + (1 x ) R0
= x (µA R0 ) + R0 .

(4)

De même, si on note σA l’écart-type des rendements du portefeuille A
et σp celui du portefeuille …nal, on obtient:
σ p = jx j σ A .

(5)

De (4) et (5), on déduit alors l’équation de la droite R0 A, soit:
µp = R0 +
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R0

µA
σA

Portefeuilles e¢ cients

σp .

(6)

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...
Chaque point de la droite R0 A correspond à un portefeuille composé
des k + 1 actifs. Le point R0 identi…e le portefeuille composé
uniquement de l’actif sans risque, et un mouvement de R0 vers A
identi…e les di¤érents portefeuilles composés de l’actif sans risque et
d’une proportion de plus en plus élevée du portefeuille A d’actifs
risqués.
Le raisonnement précédent peut être appliqué indi¤éremment à tout
portefeuille constitué uniquement des actifs risqués (comme le point
B par exemple) et de l’actif sans risque.
On remarque alors aisément que le portefeuille d’actifs risqués dont la
combinaison avec l’actif sans risque conduit à un portefeuille …nal
d’espérance la plus elévée possible (pour un niveau de risque donné)
est le portefeuille tangent (portefeuille T). La frontière e¢ ciente
correspond alors à la droite en rouge, d’équation:
µ
R0
µp = R0 + T
σp .
(7)
σT
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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...

L’identi…cation de la frontière e¢ ciente à l’aide de ce raisonnement en
deux étapes correspond à un résultat très important dans la théorie de
sélection de portefeuille (dû à Tobin et Markowitz) et référencé par le
terme Théorème de séparation en deux fonds:
le premier fonds correspond au portefeuille tangent et est identique
pour tous les investisseurs partageant les mêmes anticipations en ce
qui concerne le niveau des espérances, des variances et des
covariances des rendements des k actifs risqués;
le deuxième fonds correspond à l’actif sans risque.

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Frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans risque...

Le portefeuille e¢ cient composé des k + 1 actifs va di¤érer suivant les
agents en fonction de leur degré d’aversion absolue au risque:
Un individu très averse au risque va détenir sur la droite R0 T un
portefeuille e¢ cient proche de R0 , ce qui équivaut à x relativement
faible;
Un individu de niveau d’aversion absolue au risque faible va quant à
lui détenir sur la droite R0 T un portefeuille e¢ cient proche de T , soit
x elevé.

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Caractérisation des portefeuilles e¢ cients

Dans cette section, nous allons au-delà de la simple description des
portefeuillles e¢ cients, en déterminant les formules explicites des
compositions de ces portefeuilles.
Puisque la frontière e¢ ciente (lieu géométrique des portefeuilles
e¢ cients) est di¤érente selon que l’on inclut ou non un actif sans
risque dans l’univers d’investissement, nous distinguerons les deux cas
suivants:
absence d’un actif sans risque;
présence d’un actif sans risque.

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Absence d’un actif sans risque: le programme
Le programme à résoudre pour la détermination d’un portefeuille
d’actifs risqués (de niveau d’espérance désiré égal à µp ) est le suivant:

avec e le vecteur (k

8
>
w T Σw
< min
w
s.c. w T µ = µp ,
>
: s.c. w T e = 1

(8)

1) rempli de 1.

Il s’agit de déterminer le portefeuille de variance minimale pour un
niveau d’espérance µp …xé par l’investisseur, avec la contrainte
supplémentaire que la somme des poids est égale à 1.
On autorise la possibilité de positions courtes.
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Résolution du programme de l’investisseur

Soit L (w , λ1 , λ2 ) le lagrangien associé au programme (8):
L (w , λ1 , λ2 ) = w T Σw + λ1 µp

w T µ + λ2 1

wT e ,

(9)

avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de lagrange.

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Résolution du programme de l’investisseur...

Les conditions d’optimalité s’obtiennent comme habituellement en dérivant
le lagrangien par rapport au vecteur de décision w et aux deux
multiplicateurs de lagrange, soit:
8 δL (w ,λ ,λ )
1 2
>
=0
<
δw
δL (w ,λ1 ,λ2 )
(10)
=0 .
δλ
>
: δL (w ,λ11 ,λ2 )
=0
δλ2

On obtient alors un système de k + 2 équations à k + 2 inconnues,
w = (w1 , ..., wk )T , λ1 et λ2 .

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Résolution du programme de l’investisseur...

La résolution de ce système d’équations nécessite le rappel de
quelques règles de dérivation matricielle.
Soit A un vecteur de dimension (k 1) et x un vecteur de dimension
(k 1). On a:
δ xT A
= A.
(11)
δx
Soit A une matrice de dimension (k k ) symétrique et x un vecteur
de dimension (k 1). On a:
δ x T Ax
= 2AX .
δx

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(12)

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Résolution du programme de l’investisseur...

Si on applique ces résultats à la résolution du système d’équations issues
des conditions du premier ordre, on obtient alors:
8
< 2Σw λ1 µ λ2 e = 0
µ
wT µ = 0
,
(13)
: p
T
1 w e=0
ou encore:

8
λ
λ
< w = 21 Σ 1 µ + 22 Σ
T
T
w µ = µ w = µp
: T
w e = eT w = 1

1e

,

(14)

si la matrice de variances-covariances Σ est inversible.

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Résolution du programme de l’investisseur...
Si on inclut la première équation de (14) dans les deux dernières, on
obtient:
λ1 µT Σ 1 µ + λ2 µT Σ 1 e = 2µp
,
(15)
λ1 e T Σ 1 µ + λ2 e T Σ 1 e = 2
qui est un système de deux équations à deux inconnues, à savoir les
multiplicateurs de Lagrange. Posons:
A = eT Σ

1

µ = µT Σ

B = µT Σ

1

C = eT Σ

1

1

e,

(16)

µ,

(17)

e.

(18)

avec A, B et C des constantes. Le système s’écrit alors:
λ1 B + λ2 A = 2µp
.
λ1 A + λ2 C = 2
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(19)

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Résolution du programme de l’investisseur...
La résolution du programme précédent conduit à:
(
Cµ A
λ1 = 2 Dp
,
B Aµ
λ2 = 2 D p

(20)

avec:
A2 .

D = BC

(21)

Si on remplace les valeurs des deux multiplicateurs de Lagrange
(équations 20-21) dans l’expression de w dans l’équation (14), on a:
wp

=
=
=

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λ1
Σ
2
C µp

1

µ+
A

D


Σ

1e

λ2
Σ
2
1


D

µ+


1

e

B

+

Portefeuilles e¢ cients

(22)
Aµp
D


Σ

1

e




D

1e

µp .

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Résolution du programme de l’investisseur...

On peut réécrire de manière plus compacte l’expression de la solution
optimale, avec:
wp = g + hµp ,
(23)
où g et h sont dé…nis par:

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g=

1
B Σ
D

1

h=

1
C Σ
D

1

e

A Σ

1

µ

A Σ

1

Portefeuilles e¢ cients

µ

,

(24)

e

.

(25)

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Résolution du programme de l’investisseur...
L’écart-type des rendements du portefeuille optimal est alors égal à:
q
σp =
wpT Σwp
(26)
s
λ1 T 1 λ2 T 1
=
µ Σ + e Σ
Σwp
2
2
r
λ1 T
λ2
=
µ wp + e T wp
2
2
r
λ1
λ2
=
µp +
2
2
r
1
=
C µ2p 2Aµp + B
D
Si on fait varier µp = µp , la dernière expression correspond à
l’équation de la frontière e¢ ciente en l’absence d’un actif sans risque
(voir graphique 2).
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/ 48

Un exemple illustratif
Pour illustrer les di¤érents calculs exposés ci-dessus, considérons
l’exemple simpli…é de trois actifs risqués de caractéristiques:
µ1 = 7%, σ1 = 12%

(27)

µ2 = 12%, σ2 = 21%

(28)

µ3 = 18%, σ3 = 28%

(29)

σ12 = σ21 = 0.63%

(30)

σ13 = σ31 = 0.17%

(31)

σ23 = σ32 = 2.65%.

(32)

On désire déterminer la composition du portefeuille de variance
minimale garantissant un niveau de rendement égal à 12%.
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/ 48

Un exemple illustratif...
On a donc par rapport à nos notations:
µ = (µ1 , µ2 , µ3 )T = (0.07, 0.12, 0.18)T ,
0

0.0144
Σ = @ 0.0063
0.0017

0.0063
0.0441
0.0265

Les calculs successifs donnent:

1
0.0017
0.0265 A .
0.0784

0

1
4.2060
Σ 1 µ = @ 0.9991 A
1.8686
0

1
64.8259
Σ 1 e = @ 8.2700 A
8.5749
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(33)

(34)

(35)

(36)

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/ 48

Un exemple illustratif...
Les quatre constantes A, B, C et D valent:
A = µT Σ

1

e = 7.0737

(37)

B = µT Σ

1

µ = 0.7507

(38)

e = 81.6708

(39)

2

(40)

C = eT Σ
D = BC

1

A = 11.2698.

Les paramètres g et h se calculent alors aisément:
0
1
1.6779
g = @ 0.0762 A
0.6017
0
1
10.2087
A
h = @ 2.0493
8.1594

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Portefeuilles e¢ cients

(41)

(42)

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/ 48

Un exemple illustratif...
On obtient alors:
0

1
0.4529
wp = g + hµp = @ 0.1697 A .
0.3774

(43)

Le portefeuille e¢ cient garantissant un niveau de rendement espéré
égal à 12% est composé à 45.3% de l’actif 1, 17% de l’actif 2 et
37.7% de l’actif 3. L’écart-type du portefeuille ainsi obtenu est égal à:
q
(44)
σp = wpT Σwp = 14.26%.
On notera au passage que le portefeuille garantit le même niveau de
rendement que l’actif 2, avec un niveau de risque plus faible (14.26%
au lieu de 21%). C’est l’e¤et "diversi…cation".

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/ 48

Présence d’un actif sans risque

On suppose dans cette section l’existence (en plus des k actifs risqués)
d’un actif sans risque (livret A par exemple) de rendement certain R0 .
Avec la présence d’un actif sans risque, la contrainte de somme des
poids égale à 1 n’est plus nécessaire puisqu’il sera investi 1 w T e
dans l’actif sans risque, avec w = (w1 , ..., wk )T le vecteur (k 1) des
poids alloués aux actifs risqués, et e le vecteur (k 1) rempli de 1.
Le rendement espéré du portefeuille des k + 1 actifs équivaut à:
µp = w T µ + 1

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Portefeuilles e¢ cients

w T e R0 .

(45)

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/ 48

Présence d’un actif sans risque: le programme

Le programme de détermination du portefeuille de variance minimale
de niveau d’espérance égal à µp correspond alors à:
(

min w T Σw
w

s.c. w T µ + 1

w T e R0 = µp .

(46)

Le lagrangien associé s’écrit:
L (w , λ) = w T Σw + λ µp

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wT µ

Portefeuilles e¢ cients

1

w T e R0 .

(47)

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/ 48

Résolution du programme

Les conditions du premier ordre conduisent au système suivant:

ou encore:

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2w Σ λµ + λR0 e = 0
,
µp w T µ
1 w T e R0 = 0

(48)

w = λ2 Σ 1 (µ R0 e )
.
w T (µ R0 e ) + R0 = µp

(49)

Portefeuilles e¢ cients

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/ 48

Résolution du programme...
La combinaison des deux équations donne:
λ

2

R0 e )T Σ

λ
=
2


1



R0 e ) + R0 = µp

µp

R0

R0 e )T Σ

1



R0 e )

(50)

(51)

soit …nalement:
wp = δΣ
avec:
δ=
∆ = (µ
Sessi TOKPAVI (EconomiX)

1



R0 e ) ,

(52)

µp R0
λ
=
2


R0 e )T Σ

1



Portefeuilles e¢ cients

(53)
R0 e ) .

(54)

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/ 48

Résolution du programme...
L’écart-type des rendements de ce portefeuille est égal à:
q
σp =
wpT Σwp
r

=

=
=
=

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δ (µ

q

r

r

δ (µ
δ µp
1
µp


R0 e )T Σ

1

(55)

Σwp

R0 e )T wp
R0
R0 , car µp > R0 .

Portefeuilles e¢ cients

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/ 48

Résolution du programme...

Si on fait varier µp = µp dans l’équation (55), on retrouve l’équation de la
droite correspondant à la frontière e¢ ciente en présence d’un actif sans
risque (voir graphique 3 et équation 7), soit:
p
µp = R0 + ∆σp ,
(56)
avec l’équivalence:

p

∆=

∆=

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R0

µT

(57)

σT
R0

µT
σT

Portefeuilles e¢ cients

2

(58)

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/ 48

Résolution du programme...
La pente de la frontière e¢ p
ciente, c’est-à-dire le ratio (µT R0 ) /σT
ou de manière équivalente ∆ est égale à la valeur maximale du ratio
de Sharpe dé…ni pour tout portefeuille d’actifs risqués comme le
rapport du rendement espéré (en excès au taux sans risque) sur
l’écart-type des rendements.
Il est en e¤et facile d’observer sur le graphique 3 que le portefeuille
tangent est celui qui a le ratio de Sharpe le plus élevé car ce dernier
est dé…ni au point de tangence de la droite de pente la plus élevée et
l’enveloppe supérieure de l’ensemble des portefeuilles (d’actifs risqués)
réalisables.
On s’intéressera à la notion de ratio de Sharpe dans un chapitre
ultérieur.
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Résolution du programme...

On peut déterminer avec précision la composition du portefeuille tangent,
en normalisant les poids du portefeuille e¢ cient de l’équation (52), soit:
wT

=
=
=

δΣ 1 (µ R0 e )
e T (δΣ 1 (µ R0 e ))
Σ 1 (µ R0 e )
e T Σ 1 µ e T Σ 1 eR0
Σ 1 (µ R0 e )
,
A CR0

(59)

avec A et C comme dé…nis dans la section précédente.

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Un exemple illustratif...
Reprenons l’exemple des 3 actifs risqués de la section précédente et
ajoutons dans l’univers d’investissement un actif sans risque de
rendement égal à 3%. La question ici est de déterminer le portefeuille
e¢ cient garantissant un niveau de rendement espéré égal à 10%. On
a:
wp = δΣ 1 (µ R0 e ) ,
(60)
avec:
δ=



µp

R0

T

R0 e ) Σ

1

0.04

0.09



R0 e )

.

(61)

On trouve successivement:
µ



R0 e =

R0 e )T Σ
µp

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1



T

,

(62)

R0 e ) = 0.399,

(63)

R0 = 0.07.

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0.15

(64)

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Un exemple illustratif...

La suite donne:
δ=
wp =

0.07
= 0.175,
0.399

0.395

0.131

(65)

0.282

T

.

(66)

Le portefeuille e¢ cient garantissant un niveau de rendement de 10%
est composé de 39.5% de l’actif 1, 13.1% de l’actif 2 et 28.2% de
l’actif 3. La proportion restante, soit 19.2% est investie dans l’actif
sans risque.
L’écart-type des rendements du portefeuille ainsi obtenu est égal à:
q
σp = wpT Σwp = 11.07%.

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Contraintes opérationnelles
Terminons cette section, en notant que dans les deux cas (absence ou
présence d’un actif risqué) les programmes d’optimisation (8-46) sont
généralement étendus en incluant des contraintes opérationnelles de
liquidité, de coûts de transaction, de turnover, de prohibition de vente
à découvert, etc.
Ainsi pour le programme (8), on aura:
8
min w T Σw
>
>
> w
<
s.c. w T µ = µp ,
(67)
>
s.c. w T e = 1
>
>
:
sc. w 2 Θ

où Θ est un ensemble décrivant l’ensemble des contraintes.
La solution n’est cependant plus explicite dans ce cas de …gure, et il
faut généralement recourir à des algorithmes d’optimisation
numérique.
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Non-faisabilité de l’optimisation Espérance-Variance

De l’ensemble des formules établies ci-dessus pour caractériser les
portefeuilles e¢ cients, il découle que le critère Espérance-Variance de
Markowitz n’est pas faisable d’un point de vue opérationnel.
Les formules (notamments les compositions des portefeuilles
e¢ cients) dépendent du vecteur d’espérance de rendements des actifs
risqués (µ) et de la matrice de variance-covariance des rendements
(Σ), qui sont inconnus.
La mise en oeuvre de l’optimisation Espérance-Variance requiert donc
d’estimer ces deux moments de la distribution des rendements.

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Non-faisabilité de l’optimisation Espérance-Variance...
Si on dispose à la date t0 de l’optimisation, d’une historique de
longueur T des rendements pour les k actifs, on peut approximer les
deux moments par leur contrepartie empirique.
Plus précisément, désignons par Rt le vecteur de dimension (k
contenant les rendements des k actifs à la date t.

1)

Avec cette notation, les estimateurs empiriques de µ et Σ
correspondent respectivement à:
b=
µ

1 T
Rt ,

T t =1

(68)

b = 1 ∑Tt=1 (Rt µ
b ) (Rt µ
b )T .
Σ
(69)
T
Ces deux estimateurs peuvent alors être utilisés en lieu et place des
vrais moments inconnus µ et Σ.
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Estimateurs empiriques et risque d’estimation

Il est cependant démontré que les moments empiriques sont des
estimateurs relativement peu précis.
La démarche en deux étapes qui consiste donc à estimer les moments
par leur contrepartie empirique et à les utiliser en lieu et place des
vrais moments inconnus induit des erreurs dans la détermination des
portefeuilles e¢ cients.
Ce phénomène est référencé dans la littérature par le terme risque
d’estimation, et il est démontré empiriquement dans de nombreux
papiers qu’il érode les gains des portefeuilles e¢ cients.
Le problème semble être particulièrement sévère en ce qui concerne
l’estimation du vecteur d’espérance de rendement µ

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Quelles solutions adopter dans la pratique
De nombreuses méthodes statistiques existent et qui proposent des
solutions quant à l’estimation précise des deux moments. On peut
citer entre autres:
la méthode dite du Resampling de Michaud (1999);
les méthodes statistiques dites de Shrinkage qui exploitent le trade-o¤
traditionnel entre biais et variance, en proposant des estimateurs pour
les deux moments qui sont biaisés, mais plus précis que les estimateurs
empiriques.
l’imposition de la probibition de vente à découvert comme contrainte
dans la résolution des programmes d’optimisation;
etc.

Dans les chapitres suivants, nous allons nous focaliser sur les modèles
d’évaluation des actifs …nanciers qui o¤rent une évaluation des
espérances de rendements des actifs en fonction de facteurs de risque
économiques: on étudiera en particulier le MEDAF (Modèle
d’Evaluation des Actifs Financiers) et ses extensions.
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