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Probl`eme classique d’un syst`eme oscillant `a un degr´e de libert´e. (Je sais pas qui ´ecrit vos sujets,
mais c’est mal pos´e, j’ai du relire trois fois pour bien comprendre ! ).
Le principe fondamental de la dynamique s’´ecrit :
..

.

m x +2γ x +kx = F (t)

(1)

Equation diff´erentielle dont la partie homog`ene correspond aux oscillations propres du syst`emes
et le second membre cause les oscillations forc´ees du syst`eme. Il est pratique pour la r´esolution de
passer par les complexes et de consid´erer l’´equation :
..

.

m y +2γ y +ky = F0 sin(wt + φ)

(2)

et on r´esout la somme de (1) et (2) qui s’´ecrit :
..

.

m z +2γ z +kz = F0 exp(i(wt + φ))

(3)

On pose z = Zexp(i(wt + φ)
Du coup, on a :
Z(k − mw2 + i2γw) = F0

(4)

On peut poser une fonction de transfert G(w) tel que :

Z = G(w)F0

(5)

Z =| G(w) | exp(iΦ)F0

(6)

o`
u Φ est le d´ephasage issu de la fonction de transfert G. Du coup en repassant par z, puis par
x en retirant la partie r´eelle, on a :

x =| G(w) | F0 cos(wt + Φ)
On a | G(w) |= √

(7)

1
(k−mw2 )2 +(2γ)2 w2

Contrairement `
a un syst`eme non amorti, le d´enominateur de la fonction de transfert ne peut s’annuler. Pas de r´esonance donc. Voil`
a pour la forme de x. Du coup l’´etude de la courbe donne le reste.
Il faut bien comprendre que la partie transitoire jusque t = 10s est due au terme d’amortissement,
alors que le reste est li´e `
a la force excitatrice.
Avec l’indication de la question 1, tu d´etermines facilement T0 , c’est l’intervalle de temps entre
les deux premiers pics de la courbe, c’est pas tr`es pr´ecis mais je lis T0 = 2.5s T’en d´eduis w0 .
Pour la seconde question, je suis pas trop sur. Le d´ephasage semble de π/2 puisque `a l’origine
des temps x(0) = 0. Il v´erifie sin(Φ) = − | G(w) | 2γw pour tout w. Du coup, en prenant w = w0 ,
tu peux isoler γ.
Pour la troisi`eme c’est plutˆ
ot facile, il suffit de mesurer la p´eriode en deuxi`eme partie de courbe.
Et en deuxi`eme partie de courbe, on a | G(w) |= 1 `a peu pr`es. Du coup, F0 c’est l’amplitude de ta
fonction soit ici 2.
1


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