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Soit x un élément de A. Le but est de prouver que l’inverse de x est également dans A. Par
stabilité, les puissances successives de x sont toutes éléments de A. Supposer que ces puissances
sont deux à deux distinctes aboutit à une contradiction, car sinon A contiendrait un nombre infini
d’éléments (or A est fini). Il existe donc deux entiers naturels n et m (avec n > m) tels que :
xn = xm
En composant par l’inverse de x m fois (inverse qui existe car tout élément est inversible dans
G), on obtient :
x n−m = e
En posant k = n − m, on a prouvé qu’il existe un entier k ≥ 1 tel que :
xk = e
Au passage, on vient de prouver que l’élément neutre e de G est nécessairement dans A.
• Si k = 1, alors x = e, et dans ce cas l’inverse de x est e, ce qui prouve que l’inverse de x est
dans A ;
• Si k ≥ 2, alors on peut écrire que :
x.x k−1 = e
ce qui prouve que x k−1 est l’inverse de x, et cet inverse est bien élément de A car x k−1 est un
élément de A.
Dans tous les cas, l’inverse de x est dans A, ce qui achève la preuve.

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