Controlefinal2Aanlyse1 Février2015 .pdf


Nom original: Controlefinal2Aanlyse1_Février2015.pdfTitre: Géométrie élémentaireAuteur: Mohamed HOUIMDI

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Pr.M.Houimdi

Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences-Semlalia
Département de Mathématiques

Février 2015
Filière SMA-S1
Contrôle d’Analyse I

Durée 2 Heures
NB : Une grande importance sera donnée à la rigueur des démonstrations et la clarté de la rédaction.



Exercice 1 (6 points)
1
− [2x].
Soit f : R −→ R la fonction définie par f (x) = [x] + x +
2


1
1. Montrer que ∀x ∈ R, f x +
= f (x).
2


n
n
= f (x) et ∀n ∈ Z, f x +
= f (x).
2. Montrer que ∀n ∈ N, f x +
2
2


1
3. Montrer que ∀x ∈ 0, , f (x) = 0.
2
m 1
4. Montrer que pour tout x ∈ R, il existe m ∈ Z, tel que 0 ≤ x − < .
2
2


1
5. En déduire que ∀x ∈ R, [x] = [2x] − x + .
2


n
x + 2k
6. Déduire de la question précédente la valeur de ∑
.
k+1
k=0 2
Exercice 2 (2 points)
a) Soit (un )n≥0 une suite convergente. Montrer qu’il existe N ∈ N, tel que
∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |un+1 − un | ≤

1
2

b) En déduire que si (un )n≥0 est une suite convergente de Z, alors (un )n≥0 est stationnaire.
Exercice 3 (5 points)
π
n
Soient (un )n≥2 et (vn )n≥2 les suites définies pour chaque n ≥ 2 par un = ∏ cos k et
2
k=2
π
vn = un sin n .
2
a) Montrer que la suite (un )n≥2 est monotone.
b) Montrer que la suite (vn )n≥2 est géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme v2 .
(Rappelons que pour tout x ∈ R, on a sin(2x) = 2 cos x sin x)
c) Pour chaque n ≥ 2, déterminer l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.
d) Déterminer lim un .
n→+∞

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Pr.M.Houimdi
Exercice 4 (7 points)
On considère la fonction f : [0, +∞[−→ R définie par f (x) =

1
.
ch(x)
1. a) Calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R+ et donner le tableaux de variation de f .
b) Monter que f est une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.
1
c) Montrer que pour tout x ∈ J, on a ch( f −1 (x)) = .
x
−1
d) Montrer que f est dérivale sur ]0, 1[ et pour chaque x ∈ ]0, 1[, calculer ( f −1 )0 (x).

2. a) Montrer qu’il existe un unique α ∈]0, 1[, tel que αch(α) = 1.
1
b) Montrer que ∀x ∈ [0, +∞[, | f 0 (x)| ≤ .
2
(On peut remarquer que ∀x ∈ R, (sh(x) − 1)2 ≥ 0)
1
c) En déduire que ∀x ∈ [0, +∞[, ∀y ∈ [0, +∞[, | f (x) − f (y)| ≤ |x − y|.
2
3
d) En déduire que < α < 1.
2

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