ControleRattAanlyse1 Février2015 .pdf


Nom original: ControleRattAanlyse1_Février2015.pdfTitre: Géométrie élémentaireAuteur: Mohamed HOUIMDI

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Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences-Semlalia
Département de Mathématiques

Février 2015
Filière SMA-S1
Contrôle de rattrapage d’Analyse I

Durée 2 Heures
NB : Une grande importance sera donnée à la rigueur des démonstrations et la clarté de la rédaction.

Exercice 1 (6 points)
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et soient (un )n≥0 et (vn )n≥0 les suites définies par
u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =

u2n
un + vn

v0 = b et ∀n ∈ N, vn+1 =

v2n
un + vn

1. Montrer que ∀n ∈ N, un > 0 et vn > 0.
2. Montrer que la suite (vn − un )n≥0 est constante et calculer sa valeur.
3. Montrer que (un )n≥0 est monotone puis en déduire que les suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 convergent et
déterminer lim vn en fonction de lim un .
n→+∞

n→+∞

4. Soient l = lim un et L = lim vn . Montrer que
n→+∞

n→+∞

a) Si a < b alors l = 0 et L = b − a.
b) Si a = b alors l = L = 0.
c) Si a > b alors l = a − b et L = 0.
Exercice 2 (14 points)
Soit f : ]0, +∞[−→ R une fonction de classe C2 vérifiant la proprièté suivante :
∀x ∈ ]0, +∞[, f (x + 1) = x f (x) et f 00 (x) > 0
1. On suppose qu’il existe c ∈ ]0, +∞[, tel que f (c) = 0.
a) Montrer qu’il existe u ∈ ]c, c + 1[ et il existe v ∈ ]c + 1, c + 2[, tels que f 0 (u) = f 0 (v) = 0.
b) En déduire une contradiction puis justifier que pour tout x ∈ ]0, +∞[, on a f (x) 6= 0.
c) Montrer que f garde un signe constant sur ]0, +∞[.
2. a) Montrer que f 0 est strictement croissante et que f 0 s’annule en un unique point α, avec α ∈ ]1, 2[.
b) Montrer que f est strictement décroissante sur ]0, α[ et que f strictement croissante sur ]α, +∞[.
c) Montrer que si f (2) < 0, alors f (2) > f (3).
d) En déduire une contradiction et que ∀x ∈ ]0, +∞[, f (x) > 0.
3. a) Montrer que pour tout entier n ≥ 2, on a f (n) = (n − 1)! f (2) et en déduire lim f (x).
x→+∞

b) Montrer que lim+ x f (x) = l, où l = f (1).
x→0

c) Montrer qu’il existe a > 0, tel que ∀x ∈ ]0, a],
d) Donner le tableau de variation de f .

l
≤ f (x) et en déduire lim+ f (x).
2x
x→0


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