DM02 2014 2015 .pdf

Institut Préparatoire aux Études
d’Ingénieurs
de
Tunis.

Année universitaire 2014/2015

DM d’Algèbre N◦ 2
Février 2015 - Classes MP

Problème.
L’objectif de ce problème est une première étude de la suite des noyaux et des images itérés (Ker(f k ))k
et (Im(f k ))k d’un endomorphisme donné f d’un espace vectoriel E.
On considère donc un espace vectoriel E sur un corps K qui peut être R ou C et f ∈ L(E). On note :
f 0 = IdE , ∀k ∈ N, f k+1 = f k ◦ f = f ◦ f k , Nk = Ker(f k ) et Ik = Im(f k ).
On dit qu’un sous-espace vectoriel G est stable par un certain endomorphisme g de E lorsqu’on a
g(G) ⊂ G.
On dit qu’un endomorphisme g est nilpotent s’il existe k ∈ N tel que g k = 0. 1
Partie 1 : Suite des noyaux itérés - Suite des images itérées.
Justifier, brièvement, que pour tout k ∈ N, Nk et Ik sont des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que pour tout k ∈ N, Nk et Ik sont stables par f .
Montrer que les suites (Nk )k et (Ik )k sont respectivement croissante et décroissante pour l’inclusion.
On suppose qu’il existe r ∈ N tel que Nr = Nr+1 .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N, Nn+r = Nr .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, Nr+n ∩ Ir+n = {0}.
(c) Montrer que s’il existe p ∈ N, p > r tel que Ip+1 = Ip , alors Ip = Ip−1 .
5. On suppose maintenant qu’il existe s ∈ N tel que Is = Is+1
(a) Montrer que pour tout n ∈ N, In+s = Is .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, E = Ns+n + Is+n .
(c) Montrer que s’il existe p ∈ N, p > s tel que Np+1 = Np , alors Np = Np−1 .
6. Les entiers r et s existent-ils toujours ?
1.
2.
3.
4.

Partie 2 : Coeur et Nilespace d’un endomorphisme
Soient A = {k ∈ N, Nk = Nk+1 } et B = {k ∈ N, Ik = Ik+1 }. On suppose que A et B sont non vides
et on pose r = min(A) et s = min(B).
1. Montrer que r = s.
2. En déduire que E = Ir ⊕ Nr .
3. Le sous-espace Ir étant stable par f , alors f y induit un endomorphisme qu’on notera f1 . 2 Montrer
que f1 est un automorphisme d’espaces vectoriels. 3
4. On considère de même l’endomorphisme f2 induit par f sur Nr . Montrer que f2 est nilpotent. 4
1. Le plus petit entier k vérifiant cette propriété est appelé indice de nilpotence de g.
2. C’est-à-dire qu’on considère l’endomorphisme
f1 : Ir −→ Ir
x 7−→ f (x)
3. Ir est dit Coeur de l’endomorphisme f .
4. Nr est dit N ilespace de f .

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