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Analyse(synthèse 1 à 6) .pdf



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Synthèse 1 : Fonctions – Généralités
1 Définitions
1.1

Intervalles – voisinage

a et b étant deux réels, l’ensemble { x ∈ \ / a < x < b} est l’intervalle ouvert noté ]a, b[ ; a et b
sont les bornes de l’intervalle.
x ∈ [ a, +∞[ ⇔ x ≥ a s’écrit aussi [ a, +∞[ = { x ∈ \ / x ≥ a}

L’intervalle ]−∞, +∞[ est exactement égal à \ . On note \ = \ ∪ {−∞, +∞} .
On appellera voisinage de a, a ∈ \ , tout intervalle ouvert de \ contenant a : ∀α 0 > 0 ,

]a − α 0 , a + α 0 [

est un voisinage de a.

1.2 Fonctions réelles d’une variable réelle
Une fonction (ou application) réelle d’une variable réelle est une transformation qui à tout
élément d’une partie (souvent appelée domaine) D ⊂ \ fait correspondre un unique élément
de \ . Ainsi ∀x ∈ D , ∃! y ∈ \ tel que y = f ( x ) .

D (souvent noté D f ) est l’ensemble de définition (ou ensemble de départ) de f.
f ( D ) est l’ensemble d’arrivée de f (ou image) de D par f.

Remarques :
- Les éléments de f ( D ) sont appelés les images des éléments de D

-

Les éléments de D sont appelés les antécédents des éléments de f ( D ) .

1.3 Graphe d’une fonction
Le graphe d’une fonction f (ou courbe représentative de f) est l’ensemble des points de
coordonnées ( x, y = f ( x ) ) , avec x ∈ D .

2 Opérations sur les fonctions
Définition :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ .
• Quand elle existe, la fonction (1 f ) est appelée fonction inverse de f :



1
1
∀x ∈ I ,   ( x ) =
f ( x)
 f
La fonction ( − f ) est appelée fonction opposée de f :
∀x ∈ I , ( − f )( x ) = − f ( x )

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S. Charles (21/08/2002)
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3 Fonction composée – Fonction réciproque
3.1

Fonction composée

Définition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \
tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ∈ J (i.e., f ( I ) ⊆ J ).
La fonction composée g D f est la fonction définie sur I par ( g D f )( x ) = g ( f ( x ) ) :
f
g
x 
→ f ( x ) 
→ g ( f ( x ) ) = ( g D f )( x )

où x ∈ I et f ( x ) ∈ J , afin que g ( f ( x ) ) existe.
3.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité



On dit qu’une fonction f : I → J est injective si tout élément de f ( I ) est l’image d’un
seul élément de I. Autrement dit, f est injective si et seulement si :
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2

L’injectivité d’une fonction se traduit également par le fait que « tout élément de J admet au
plus un antécédent par f dans I ».
• On dit qu’une fonction f : I → J est surjective si f ( I ) = J , autrement dit si tout élément
de J est l’image par f d’au moins un élément de I.
• On dit qu’une fonction f : I → J est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
3.3 Fonction réciproque

Définition :
Soit f : I → J . On dit que f admet une fonction réciproque s’il existe g : J → I telle que
f D g = Id J et g D f = Id I .
On dit alors que g est la fonction réciproque de f et on note g = f −1 .
Proposition :
Soit f : I → J . Alors f admet une fonction réciproque si et seulement si f est bijective.
Il ne faut pas confondre la fonction réciproque f −1 , avec la fonction inverse 1 f .
Remarque :
Du point de vue graphique, les représentations de deux fonctions réciproques se déduisent
l’un de l’autre par une symétrie par rapport à la première bissectrice.

4 Fonctions majorées, minorées, bornées - Extremums
4.1 Comparer, majorer, minorer des nombres réels
Voir le site web.

- Synthèse 1, p2/4 -

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S. Charles (21/08/2002)
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4.2 Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles

Définitions :
Soit f : I → \ .
• On dit que f est majorée, s’il existe un réel M tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ M . Dans ce cas, on
appelle borne supérieure de f sur l’intervalle I, noté sup f , le plus petit majorant de f.
I



On dit que f est minorée, s’il existe un réel m tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ m . Dans ce cas, on
appelle borne inférieure de f sur l’intervalle I, noté inf f , le plus grand minorant de f.
I



On dit que f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée.

4.3 Extremums

4.3.1

Extremums globaux

Définition :
Soit f : I → \ . Soit x0 ∈ \ .


On dit que f présente un maximum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ f ( x0 ) .



On dit que f présente un minimum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ f ( x0 ) .



Dans l’un de ces deux cas, on dit que f présente un extremum global en x0 .

4.3.2

Extremums locaux

Définition :
Soit f : I → \ . Soit x0 ∈ I .
On dit que f présente un maximum (resp. minimum) local en x0 s’il existe au moins un

α > 0 tel que ∀x ∈ I , x ∈ ] x0 − α , x0 + α [ ⇒ f ( x ) ≤ f ( x0 ) (resp. f ( x ) ≥ f ( x0 ) .

5 Variation des fonctions
5.1

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Définitions :
Soit f : I → \ .







{( x, y ) ∈ I et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) .
On dit que f est décroissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) .
On dit que f est strictement croissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x < y} , ⇒ f ( x ) < f ( y ) .
On dit que f est strictement décroissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x < y} , ⇒ f ( x ) > f ( y ) .

On dit que f est croissante sur I si

2

2

2

2

On dit que f est (strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante ou
(strictement) décroissante sur I.

- Synthèse 1, p3/4 -

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5.2 Somme et produit de fonctions monotones

Définition :
Soit f : I → \ . On dit que f est positive (respectivement négative), si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ 0
(respectivement f ( x ) ≤ 0 ).

Voir le site web pour plus de détails.
5.3 Inverse d’une fonction monotone

Proposition :
Soit f : I → \ monotone. Si on suppose que f ne s’annule jamais sur I, et qu’elle est de signe
1
constant, alors la fonction inverse   est monotone sur I \ { x / f ( x ) = 0} , de monotonie
 f
contraire à celle de f et de même signe.
5.4 Composition de fonctions monotones

Proposition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \ ,
telles que ∀x ∈ I , f ( x ) ∈ J  f ( I ) ⊆ j  .
(i)
Si f et g ont même monotonie, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée g D f est
croissante sur I.
(ii)
Si f et g sont de monotonie contraire, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée
g D f est décroissante sur I.

6 Fonctions paires, impaires, périodiques
6.1 Fonctions paires et impaires
Soit une fonction f, définie sur une partie D de \ symétrique par rapport à 0
( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
Définition :
On dit que f est paire si ∀x ∈ D , f ( − x ) = f ( x )

On dit que f est impaire si ∀x ∈ D , f ( − x ) = − f ( x )
6.2 Fonctions périodiques

Définition :
Soit f : D f → \ . S’il existe T ∈ \ strictement positif tel que ∀x ∈ D f , x + T ∈ D f et
f ( x + T ) = f ( x ) , alors la fonction f est dite périodique de période T. On dit aussi que f est T-

périodique.
6.3 Réduction de l’intervalle d’étude
Soit une fonction f, définie sur un domaine D de \ symétrique par rapport à 0.
• Si f est paire (ou impaire), on peut réduire l’intervalle d’étude aux x positifs. Le graphe de
la fonction sur D se déduira par symétrie par rapport à Oy (ou 0).
• Si f est T-périodique, on peut réduire l’intervalle d’étude à la seule période T. Le graphe
de la fonction sur D se déduira par des translations de T le long de l’axe des x.
- Synthèse 1, p4/4 -

Synthèse 2 : Limites – Continuité
N’hésitez pas à consulter le formulaire des limites disponible sur le site web.

1 Limites
1.1

Définitions

1.1.1

Limite en un point

Définitions :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I ( x0 peut être une des extrémités de I).


Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en x0 , ou bien que f ( x ) tend vers A lorsque x
tend vers x0 ( x → x0 ), si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x → x0
x → x0



x0

On dit que +∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = +∞ ) si :
x → x0

∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≥ A

1.1.2

Limites en +∞ et −∞

Définition
Soit f : I → \ . On suppose que I = [ a; +∞[ .



Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en +∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →+∞
x →+∞



+∞

On dit que +∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≥ A

Définition (limite en −∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = ]−∞; a ] .



Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en −∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →−∞
x →−∞



−∞

On dit que +∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≥ A

Proposition :
Si A ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim ( f ( x ) − A ) = 0 .
x → x0

x → x0

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1.1.3

Limite par valeurs supérieures ou inférieures

Définition :
Soit f : I → \ telle que lim f ( x ) = A ( x0 ∈ \ ). Quand x tend vers x0 , on dit que f ( x ) tend
x → x0

vers A par valeurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de x0 , f ( x ) ≥ A (resp.
f ( x ) ≤ A ).

On note alors lim f ( x ) = A + (resp. lim f ( x ) = A − ).
x → x0

1.1.4

x → x0

Limites à gauche et à droite

Voir le site web.
1.2

1.2.1

Limites par opération

Limite d’une somme
lim f ( x ) =

A

A

A

+∞

−∞

+∞

lim g ( x ) =

A′

+∞

−∞

+∞

−∞

−∞

A + A′

+∞

−∞

+∞

−∞

?

x → x0
x → x0

lim ( f + g )( x ) =

x → x0

? on parle alors de forme indéterminée
1.2.2

Limite d’un produit
lim f ( x ) =

A

A≠0

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

lim ( fg )( x ) =

AA′

+∞ ou −∞

?

+∞ ou −∞

x → x0
x → x0
x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.

1.2.3

Limite d’un quotient

lim f ( x ) =

A

A≠0

A

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′ ≠ 0

0

+∞ ou −∞

A′

0

+∞ ou −∞

A A′

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

?

?

x → x0
x → x0

lim ( f g )( x ) =

x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A′ , en appliquant la règle des signes.
Remarques :
• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0+ ou 0− selon la règle des signes.
• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : +∞ ou −∞ selon la règle des signes.

- Synthèse 2, p2/5 -

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1.3 Limites par comparaison
Soit f : I → \ .
Proposition 1 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≥ g ( x ) et lim g ( x ) = +∞ , alors :
x →+∞

lim f ( x ) = +∞ .

x →+∞

Théorème « des gendarmes » :
S’il existe deux fonctions g et h, un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) et

lim g ( x ) = A et lim h ( x ) = A , alors lim f ( x ) = A .

x →+∞

1.4

x →+∞

x →+∞

Limite d’une fonction composée

Théorème :
Soient x0 , A et A′ des nombres réels (« éventuellement » égaux à ±∞ ).
Soient f et g deux fonctions dont la composée g D f existe.
Si lim f ( x ) = A et si lim g ( x ) = A′ , alors lim ( g D f )( x ) = A′ .
x → x0

x → x0

x →A

1.5 Limite à l’infini d’une fonction polynôme ou d’une fraction rationnelle
Méthode :
Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où
les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression f ( x ) en factorisant

chaque polynôme par le terme de plus haut degré.
™ Cas d’une fonction polynôme
D La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré

š Cas d’une fraction rationnelle
D La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié
de ses termes de plus haut degré
1.6

Limites et courbe représentative d’une fonction

1.6.1

Etude des branches infinies

Considérons une fonction f définie sur un domaine D f de \ . Soit Γ sa courbe
représentative.
Proposition 1 :
Si lim f ( x ) = ±∞ , alors la droite x = x0 (
x → x0

& à l’axe des y) asymptote à la courbe Γ .

Proposition 2 :
Si lim f ( x ) = A , alors la droite y = A est (
x →±∞

& à l’axe des x) asymptote à la courbe Γ .

- Synthèse 2, p3/5 -

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1.6.2

Direction asymptotique

On recherche une direction asymptotique lorsque lim f ( x ) = ±∞ .
x →±∞

S’il existe une direction asymptotique, alors

f ( x)
tend vers une limite finie A .
x

f ( x)
→ ±∞ lorsque x → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique dans la
x
direction Oy.

Si

1.6.3

Asymptotes

La courbe Γ admet une asymptote oblique D d’équation y = ax + b , si :
f ( x)
a = lim
x →±∞
x
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de D, on montre que f ( x ) − ax tend vers b lorsque

x → ±∞ , ou bien alors que f ( x ) − ax − b tend vers 0 lorsque x → ±∞ .

Si f ( x ) − ax → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique de pente a.

2 Quelques trucs…
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d'une
fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l'écriture de cette fonction... afin de
pouvoir les appliquer !
Nous avons vu comment il est possible de connaître la limite à l'infini d'un polynôme ou d'une
fonction rationnelle. Voyons maintenant le cas particulier d’une fonction contenant une racine
carrée ou une valeur absolue.
2.1

La quantité conjuguée

Soit f une fonction définie sur \ + par f ( x ) = x + 4 − x .
f ( 0 ) = 0 . On cherche à déterminer lim f ( x ) .
x →+∞

lim

x + 4 = +∞

lim

x = +∞

x →+∞
x →+∞

Donc lim f ( x ) est de la forme indéterminée « ∞ − ∞ ».
x →+∞

L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée
2.2 Les valeurs absolues

Soit f une fonction définie sur \ \ {−1,1} par f ( x ) =

1− 2 x
1− x

.

On cherche à déterminer les limites de f ( x ) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste ici à écrire différemment la valeur absolue de x selon que x est négatif
ou positif

- Synthèse 2, p4/5 -

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3 Continuité
3.1

Continuité en un point - Continuité sur un intervalle

Définitions :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ . Soit x0 ∈ I .


On dit que f est continue en x0 si et seulement si lim f ( x ) = f ( x0 ) , c’est-à-dire si :
x → x0

∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) ≤ ε


f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition x ≥ x0 (resp. x ≤ x0 ), i.e.,

si lim+ f ( x ) = f ( x0 ) (resp. lim− f ( x ) = f ( x0 ) ).
x → x0

x → x0

Conséquences :
• f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x0 .
• f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

3.1.1

Opérations sur les fonctions continues : Voir le site web.

3.1.2

Prolongement par continuité

Si f est une fonction définie sur I \ { x0 } et si lim f ( x ) = a , on dit que g est un prolongement
x → x0

par continuité de f en x0 si et seulement si g ( x ) = f ( x ) ∀x ≠ x0 et g ( x0 ) = a .
3.2 Propriétés des fonctions continues

3.2.1

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . Alors, en supposant que
f ( a ) < f ( b ) , pour tout y tel que f ( a ) ≤ y ≤ f ( b ) , il existe au moins un élément x ∈ ]a, b[
tel que y = f ( x ) .

Corollaire 1 :
Soit f continue sur [ a, b] . Si f ( a ) f ( b ) ≤ 0 , alors ∃c ∈ ]a, b[ tel que f ( c ) = 0 .
Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si I a pour bornes a et b, celles de f ( I ) ne sont pas nécessairement f ( a ) et f ( b ) .

3.2.2

Théorème de la bijection réciproque

Théorème :
Si f : I → J est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J.
De plus, la fonction réciproque f −1 , de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la
même monotonie que f).
Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à l’équation

f ( x ) = 0 . Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.
- Synthèse 2, p5/5 -

Synthèse 3 : Dérivation – Etude de fonctions
Dans tout ce chapitre, on considèrera des fonctions définies sur I ⊆ \ où I est un
intervalle ouvert de \ .

1 Définition
1.1

Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle

Définition 1 :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . On dit que f est dérivable au point x0 si et seulement si la

quantité

f ( x ) − f ( x0 )
admet une limite finie lorsque x tend vers x0 .
x − x0

On note alors f ′ ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
;
x − x0

f ′ ( x0 ) est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en x0 .

Définition 2 :
Soit f : I → \ . On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
1.2

Dérivées à gauche et à droite

Définition 3 :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point x0 si

f ( x ) − f ( x0 )
admet une limite finie lorsque x tend vers x0 par
x − x0
valeurs supérieures (resp. inférieures) :
f ( x ) − f ( x0 )
f d′ ( x0 ) = lim+
: dérivée à droite de f en x0 , notée aussi f +′ ( x0 ) .
x → x0
x − x0
et seulement si la quantité

f g′ ( x0 ) = lim−
x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
: dérivée à gauche de f en x0 , notée aussi f −′ ( x0 ) .
x − x0

Proposition :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . f est dérivable au point x0 si et seulement si f est dérivable à
droite et à gauche en x0 , et f d′ ( x0 ) = f g′ ( x0 ) .
1.3

Fonctions dérivées

Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction f ′
qui a tout x de I associe f ′ ( x ) .

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1.4

Développement limité d’ordre 1

Définition :
Une fonction f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 s’il existe α ∈ \ et une
fonction ε définie sur un voisinage V de x0 tels que :
∀x ∈ V , f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) α + ( x − x0 ) ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0
x → x0

Proposition :
f est dérivable en x0 si et seulement si f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 . On
a alors :
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 ) ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0 .
x → x0

1.5

Lien entre dérivabilité et continuité

Théorème :
Soit f : I → \ . Si f est dérivable en x0 , alors f est continue en x0 .
La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas nécessairement la
dérivabilité.

2 Propriétés des fonctions dérivables
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de \ .
2.1

Tangente à une courbe en un point

Définition :
Soit f : I → \ dérivable en x0 . Alors f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 :
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 ) ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0
x → x0

L’équation y = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) est l’équation de la tangente désignée par (T) à la
courbe représentative de f, au point x0 .

Le nombre dérivé f ′ ( x0 ) est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente.
Propriétés :
Soit f : I → \ dérivable en x0 . Soit ( Γ ) courbe représentative de f.
f ′ ( x0 ) est donc la pente de la tangente (T) à ( Γ ) au point x0 .

(i)
(ii)

Si f ′ ( x0 ) = 0 , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des x ;

Si lim f ′ ( x ) = ∞ , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des y.
x → x0

2.2
Interprétation géométrique
Voir le site web.

- Synthèse 3, p2/6 -

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3 Dérivées usuelles
Un formulaire récapitulatif des dérivées les plus usuelles vous est proposé sur le site web.

4 Opérations sur les dérivées
4.1

Somme, produit et quotient de fonctions dérivables

Proposition 1 :
La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux foctions
dérivables en x0 est dérivable en x0 .
Par extension, la somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux
fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur I ⊆ \ .
• ∀α , β ∈ \ la fonction h = α f + β g est dérivable sur I et h′ = α f ′ + β g ′ .
• La fonction h = fg est dérivable sur I et h′ = f ′g + fg ′ .
1
g′
• Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction h = est dérivable sur I avec h′ = − 2 .
g
g
f
f ′g − fg ′
.
• Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction h = est dérivable sur I avec h′ =
g
g2
4.2

Composition

Proposition 5 :
Soient f : I → \ et g : J → \ deux fonctions telles que f ( I ) ⊆ J .

Si f est dérivable en x0 et si g est dérivable en y0 = f ( x0 ) , alors g D f est dérivable en x0 et

( g D f )′ ( x0 ) = f ′ ( x0 )( g ′ D f )( x0 ) .
Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors g D f est dérivable est
dérivable sur I et ( g D f )′ = f ′. ( g ′ D f ) .
4.3

Fonction réciproque

Proposition 6 :
Soit f : I → J une fonction strictement monotone et dérivable en x0 tel que f ′ ( x0 ) ≠ 0 .
f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque f −1 : J → I .
1
1
Alors f −1 est dérivable en y0 = f ( x0 ) et ( f −1 )′ ( y0 ) =
=
.
f ′ ( x0 ) ( f ′ D f −1 ) ( y0 )
Par extension, si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f −1 est dérivable sur J et ( f −1 )′ =

- Synthèse 3, p3/6 -

1
.
f ′ D f −1

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4.4

Dérivées successives

4.4.1

Définitions

Définitions 1 :
0
Soit f : I → \ . On note f ( ) = f .
On suppose que la fonction f (

n −1)

existe et est dérivable de I dans \ .

(

On définit alors la fonction f ( ) = f (
n




n −1)

)′ .

Si la fonction f ( ) : I → \ existe, on dit que f est n-fois dérivable sur I.
n

f ( ) est appelée dérivée n-ième de f sur I. f ( ) est également notée D n ( f ) ou
n

n

dn f
.
dx n

Remarques :
2
3
1. On utilise souvent les notations suivantes : f ( ) = f ′′ et f ( ) = f ′′′ .
2. Si f(n) est continue sur I on dit que f est de classe Cn.

5 Théorème de Rolle
Théorème :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé [ a, b ] ,

- f admet une dérivée pour toute valeur de l’intervalle ouvert ]a, b[ ,
- f est telle que f ( a ) = f ( b ) ;

Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert ]a, b[ telle que f ′ ( c ) = 0 .
Il n’y a pas obligatoirement unicité du point c.

6 Théorème des accroissements finis
6.1

Théorème

Théorème des accroissements finis (Généralisation du théorème de Rolle) ou théorème de la
moyenne :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé [ a, b ] ,
- f est dérivable sur ]a, b[ ,

Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert ]a, b[ telle que :
f (b ) − f ( a ) = (b − a ) f ′ ( c ) ⇔ f ′ ( c ) =

f (b) − f ( a )
b−a

Comme pour le théorème de Rolle, il n’y a pas nécessairement unicité de c.
6.1.1

Sens de variations des fonctions

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] et dérivable sur ]a, b[ .

- Synthèse 3, p4/6 -

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Propriétés :
(i)
f est constante sur [ a, b ] ⇔ ∀x ∈ [ a, b ] f ′ ( x ) = 0
(ii)
(iii)
(iv)

f est croissante sur [ a, b ] ⇔ ∀x ∈ [ a, b ] f ′ ( x ) ≥ 0

f est décroissante sur [ a, b ] ⇔ ∀x ∈ [ a, b ] f ′ ( x ) ≤ 0
f admet un extremum en x0 ⇔ f ′ ( x0 ) = 0

Exemple 13
6.1.2

Inégalités des accroissements finis

Théorème 1 :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] et dérivable sur ]a, b[ .

S’il existe deux réels m et M tels que ∀x ∈ [ a, b ] , m ≤ f ′ ( x ) ≤ M , alors
m (b − a ) ≤ f (b ) − f ( a ) ≤ M (b − a )

Théorème 2 :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] et dérivable sur ]a, b[ .
S’il existe un réel M tels que ∀x ∈ [ a, b ] , f ′ ( x ) ≤ M , alors
f (b) − f ( a ) ≤ M b − a
6.2

Théorème du point fixe

Théorème :
Soit f une fonction continue de [ a, b ] dans [ a, b ] , alors ∃c ∈ [ a, b ] tel que f ( c ) = c .

Si de plus f est dérivable sur [ a, b ] et que ∀x ∈ [ a, b ] f ′ ( x ) < 1 , alors c est unique.

7 Convexité
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de \ .
7.1
Définitions
Une fonction est dite convexe si son graphe à la forme suivante : courbe (C).

- Synthèse 3, p5/6 -

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Dire que f est convexe signifie que pour tous les points de la courbe entre A et B, la corde
[ AB] est « au-dessus » de l’arc ( AB ) , ou bien encore que pour tout point A et B, l’arc (AB)
est au-dessus de chacune des tangentes de f.
Définition 1 :
f : I → \ est dite convexe sur I si et seulement si :
∀h ∈ [ 0;1] , ∀ ( a, b ) ∈ I 2 , f ( ha + (1 − h ) b ) ≤ hf ( a ) + (1 − h ) f ( b )
Définition 2 :
f : I → \ est dite concave si la fonction ( − f ) est convexe.
7.2

Critère de convexités

Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) :
Soit f : I → \ deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement f ′′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ I .
Définition 3 :
Soient f : I → \ deux fois dérivable et x0 ∈ I , différent des bornes. On dit que x0 est un
point d’inflexion si f ′′ s’annule et change de signe au point x0 ;
On dit que la courbe représentative de f « traverse » la tangente au point x0 .

8 Applications à l’étude des fonctions
8.1

Plan d’étude d’une fonction : Voir le site web.

8.2

Résolution de l’équation f ( x ) = λ

Méthode
Trois étapes sont nécessaires :
(i)
Etudier les variations de la fonction f ;
(ii)
Montrer qu’il existe un intervalle [ a, b ] sur lequel f est dérivable et strictement

monotone, et tel que λ ∈ f

([ a, b ]) .

(iii)

Montrer simultanément que sur D f \ [ a, b ] f ( x ) ≠ λ ;

(iv)

Déterminer un encadrement de la solution à l’aide d’une calculatrice (ou d’un
ordinateur !).

- Synthèse 3, p6/6 -

Synthèse 4 : Fonctions usuelles

1 Fonctions polynômes élémentaires
1.1
1.1.1

Fonctions polynômes de degré 1
Définition et propriétés

Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et β et définie pour tout x ∈ \ par f ( x ) = α x + β avec α ≠ 0 .
La représentation graphique d’un polynôme de degré 1 est une droite de pente α et
d’ordonnée à l’origine β .
1.2
1.2.1

Polynômes du second degré
Définition et propriétés

Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels a, b, c
et définie par :
f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0

La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole.
1.3
1.3.1

Fonctions homographiques
Définition et propriétés

Définition :
Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s :
ax + b
h ( x) =
avec c ≠ 0
cx + d
Si c = 0 , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1.
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour
d
a
asymptote les deux droites d’équation x = − et y = ; le point d’intersection des deux
c
c
asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe.

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2 Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
2.1
Fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Elle est définie sur \ par f ( x ) = sin x . Elle est impaire et 2π -périodique.

Elle est dérivable sur \ avec ( sin )′ ( x ) = cos x .
 π
π 
Elle est strictement croissante sur  0;  et strictement décroissante sur  ; π  .
 2
2 
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1 (puisqu’elle est 2π -périodique)
- les symétries de centres ( kπ , 0 ) (puisqu’elle est impaire)
- les symétries d’axes x =

π
2

+ kπ avec k ∈ ]

Fonction cosinus
Elle est définie sur \ par f ( x ) = cos x . Elle est paire et 2π -périodique.

Elle est dérivable sur \ avec ( cos )′ ( x ) = − sin x .

Elle est strictement croissante sur [ −π ;0] et strictement décroissante sur [ 0; π ] .
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1
π

- les symétries de centres  + kπ , 0 
2

- les symétries d’axes x = kπ avec k ∈ ]

Fonction tangente

sin x
π

Elle est définie sur \ \  + kπ , k ∈ ]  par f ( x ) =
= tan x . Elle est impaire et π cos x
2

1
π

périodique. Elle est dérivable sur \ \  + kπ , k ∈ ]  avec ( tan )′ ( x ) = 1 + tan 2 x =
.
cos 2 x
2

 π π
Elle est strictement croissante sur  − ; 
 2 2
G
Sa courbe est invariante par les translations de vecteur kπ e1 et les symétries de centres
( kπ , 0 ) .

- Synthèse 4, p2/6 -

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2.2
Fonctions trigonométriques inverses
Fonction arcsinus
 π π
arcsin : [ −1;1] →  − ;  . Elle est par construction définie, continue et impaire sur −1;1 .
[ ]
 2 2
x 6 y = arcsin x
Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule selon la règle établie pour les fonctions réciproques :
1
1
1
1
=
=
=
( arcsin )′ ( x ) =
2
( cosD arcsin )( x ) cos y 1 − sin y 1 − x 2

Elle est donc strictement croissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Fonction arccosinus
arccos : [ −1;1] → [ 0;π ]
. Elle est définie et continue sur [ −1;1] .
x 6 y = arccos x
Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
1
Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arccos )′ ( x ) = −
1 − x2
Elle est donc strictement décroissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .

Fonction arctangente
 π π
arctan : ]−∞; +∞[ →  − ;  . Elle est définie, continue et impaire sur −∞; +∞ .
]
[
 2 2
x 6 y = arctan x
Son graphe se déduit de celui de la fonction tangente par symétrie par rapport à la première
bissectrice.
1
Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arctan )′ ( x ) =
1 + x2
La fonction arctangente est donc strictement croissante sur ]−∞; +∞[ .

Relation fondamentale : arcsin x + arccos x =

π
2

- Synthèse 4, p3/6 -

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3 Fonctions logarithme et exponentielle
3.1

La fonction logarithme népérien

Définition :

La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction x 6

]0; +∞[


sur ]−∞; +∞[ et qui s’annule en x = 1 .

1
définit de
x

La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ : ∀x > 0 , ( ln )′ ( x ) = 1 x



La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[



lim+ ln x = −∞

x →0

lim ln x = +∞

lim

x →+∞

x →1

Propriétés : Pour tout a, b ∈ ]0; +∞[ et pour tout p ∈ \ , alors :

(i) ln ( ab ) = ln a + ln b

ln x
= 1 (par définition de la dérivée)
x −1

(ii) ln (1 b ) = − ln b

(iv) ln ( a p ) = p ln a

(iii) ln ( a b ) = ln a − ln b

Théorème :
La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur \ .
3.2

La fonction exponentielle

Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note :
e : x 6 e x ou exp ( x )




La fonction exponentielle est définie sur \ . ∀x ∈ \ , e x > 0
∀x ∈ \ et ∀y ∈ ]0; +∞[ : e x = y ⇔ x = ln y
ln ( e x ) = x



La fonction exponentielle est dérivable sur \ : ( exp )′ ( x ) = exp ( x )




La fonction exponentielle est strictement croissante de \ sur ]0; +∞[
lim e x = 0+

x →−∞

lim e x = +∞

x →+∞

Propriétés :
Pour tout a, b ∈ \ et pour tout p ∈ \ ,
alors :
(i)
e a + b = e a eb
(ii)
e − b = 1 eb
(iii) ( e a −b = e a eb
(iv)

eln y = y

( ( e a ) = e ap
p

- Synthèse 4, p4/6 -

lim e x x = +∞

x →+∞

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4 Fonctions hyperboliques
4.1
Définition des fonctions hyperboliques
Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch x :
e x + e− x
ch x =
2

De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh x :
e x − e− x
sh x =
2
On constate que ch x + sh x = e x et que ch x − sh x = e − x . Il vient alors immédiatement :
ch 2 x − sh 2 x = 1
4.2

Etude des fonctions hyperboliques
Etude de la fonction f ( x ) = chx

4.2.1

e x + e− x
ch x =
D=\
ch ( − x ) = ch x
lim ch x = +∞
x →+∞
2
( ch x )′ = sh x : la fonction est strictement croissante sur \ +
Etude de la fonction f ( x ) = shx

4.2.2

sh x =

e x − e− x
2

( sh x )′ = ch x

D=\

sh ( − x ) = − sh x

: la fonction est strictement croissante sur \ + .

- Synthèse 4, p5/6 -

lim sh x = +∞

x →+∞

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5 Fonctions puissances
5.1

Définition

Définition :
Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque m ≠ 0 et
définie sur \ +∗ par :
f m ( x ) = x m = e m ln x
L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m :
- Si m > 0 , alors lim+ x m = 0 et lim x m = +∞
x →+∞

x →0

-

Si m < 0 , alors lim+ x = +∞ et lim x m = 0
m

x →0

x →+∞

Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout x > 0 :
( f )′ ( x ) = mx m−1
m

Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m :

5.2

Croissances comparées

Théorème :



ln x
ex
0
=
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
ln x
ex
Si m < 0 , alors lim m = +∞ et lim m = +∞
x →+∞ x
x →+∞ x
Si m > 0 , alors lim

- Synthèse 4, p6/6 -

Synthèse 5 : Primitives – Intégration
1 Primitives
Dans toute la suite, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de \ .
1.1

Définitions - Théorème fondamental

Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction f : I → \ . On dit que F : I → \ est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si ∀x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) .

Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. La fonction G : I → \ est aussi
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C ∈ \ telle que ∀x ∈ I ,
G ( x) = F ( x) + C .
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈ \ .

Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que G ( x0 ) = y0 ; elle est donnée par
G ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) + y0 .

En particulier, H ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 .
Théorème fondamental :
Si f : I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
1.2 Primitives des fonctions usuelles
Voir le formulaire disponible sur le site web.
1.3

Linéarité

Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, ∀α , β ∈ \ , la fonction α F + β G est une
primitive sur I de la fonction α f + β g .
1.4

Fonctions composées

Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur un intervalle J
tel que ∀x ∈ I , u ( x ) ∈ J .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
f ( x ) = u ′ ( x ) × g ( u ( x ) ) est la fonction F définie par F ( x ) = G ( u ( x ) ) .

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2 La notion d’intégrale
2.1

Intégrale d’une fonction

Définition 1 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
Soient a, b ∈ I . Alors le nombre F ( b ) − F ( a ) est appelé intégrale de f sur [ a, b ] .
Interprétation géométrique
Voir le site web.

Définition 2 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
L’intégrale de f sur [ a, b ] se note

b

∫ f ( x ) dx . Ainsi :
a

b

F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx que l’on note aussi  F ( x )  a
b

a

b

∫ f ( x ) dx se lit « somme de a à b de f ( x ) dx ».
a

Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit f : [ a, b ] → \ une fonction positive admettant une primitive sur [ a, b ] et (C) sa courbe

représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations x = a et x = b
b

est ( A ) = ∫ f ( x ) dx , exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
a

- Synthèse 5, p2/6 -

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Propositions :
a

(i)
(ii)



a

 ∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) 
a


f ( x ) dx = 0

a
a

b

b

a

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

 F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) 

2.2 Intégrale et primitive

Définition 4 :
Soit une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I.
On note

∫ f ( x ) dx l’ensemble des primitives de f.

Proposition :
Soient une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I et x0 ∈ I .
x

La fonction F définie sur I par l’intégrale F ( x ) =

∫ f ( t ) dt

est l’unique primitive de f sur I

x0

qui s’annule en x0 .
2.3 Premières propriétés

2.3.1

Linéarité

Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] . ∀α , β ∈ \ :
b

b

b

a

a

a

∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx
2.3.2

Signe de l’intégrale

Propositions :
(i)
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] .
Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≥ 0 (resp. ≤ 0 ), alors

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0 (resp. ≤ 0 ).
a

(ii)

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≤ g ( x ) , alors :
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
2.3.3

Relation de Chasles

Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Alors ∀c ∈ [ a, b ] :

b


a

- Synthèse 5, p3/6 -

c

b

a

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

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3 Intégrales et inégalités
3.1

Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Définition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). On appelle valeur moyenne de f sur [ a, b ] , le
réel µ =

b

1
f ( x ) dx .
b − a ∫a

Théorème de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). Il existe c ∈ [ a, b ] tel que :
b

∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ′ ( c )
a

3.2 Valeur absolue d’une intégrale

Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . On a alors :
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
3.3 Inégalités de la moyenne

Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur [ a, b ] .
b

(i)

Si m ≤ f ≤ M , alors m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) .
a

b

(ii)

Si f ≤ M , alors

∫ f ( x ) dx ≤ M b − a .
a

4 Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1 Utilisation des primitives usuelles
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
Voir le formulaire disponible sur le site web.
4.2 Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
b

b

b

a

a

a

∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx

- Synthèse 5, p4/6 -

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4.3 Changement de variable

4.3.1

Cas général des intégrales

Théorème :
Soient φ :  min ( a, b ) ; max ( a, b )  → \ une fonction de classe C1 (continue et à dérivée
première continue) strictement monotone, et f : φ ( a ) , φ ( b )  → \ une fonction continue sur
φ ( a ) , φ ( b )  . Alors :
φ (b )



φ (a)

4.3.2

b

f ( x ) dx = ∫ ( f D φ )( t ) φ ′ ( t ) dt avec x = φ ( t ) et dx = φ ′ ( t ) dt .
a

Conséquences
a

X f paire ⇒

a

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx

−a

0

a

Y f impaire ⇒



f ( x ) dx = 0 ou bien encore

−a

Z f T-périodique ⇒

b


a

−b

f (t )dt = ∫ f (t )dt
−a

a +T

T

b +T

b

a

0

a +T

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ou bien encore ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

4.4 Les fractions rationnelles

Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme

P ( x)
où P ( x ) et Q ( x ) sont des
Q ( x)

polynômes à coefficients dans \ (ou ^ ).
L’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.

4.4.1

Décomposition en éléments simples

Si d ° ( Q ) ≤ d ° ( P ) , on peut effectuer la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
P ( x)
en x, et une nouvelle fraction rationnelle 1
où d ° ( Q ) > d ° ( P1 ) .
Q ( x)
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de

P1 ( x )
.
Q ( x)

Si d ° ( Q ) ≥ d ° ( P ) , et α i étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle xi de Q, β i celui
des deux racines complexes conjuguées de Q associée à l’équation caractéristique
x 2 + pi x + qi = 0 avec pi2 − 4qi < 0 , alors :

- Synthèse 5, p5/6 -

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m βi
P ( x ) n αi
Ai
Bi x + Ci
= ∑∑
+
∑∑
γi
2
Q ( x ) i =1 j =1 ( x − xi )
i =1 j =1 ( x + p x + q
i

4.4.2

i

)

δi

Intégration d’un élément simple de la forme

avec 1 ≤ γ i ≤ α i et 1 ≤ δ i ≤ β i
dx

∫ ( x − x )γ
0

Il s’agit de calculer

dx

∫ ( x − x )γ

pour γ entier ≥ 1 .

0

Deux cas peuvent se présenter :
dx
(1) γ = 1 : ∫
= ln x − x0 + C
( x − x0 )

(2) γ ≠ 1 :

dx

∫ ( x − x )γ = ∫ ( x − x )

−γ

0

0

4.4.3

( x − x0 )
dx =

1−γ

+C

1− γ

Intégration d’un élément simple de la forme

(x

Ax + B

2

+ px + q )

δ

Voir le site web.
4.5 Intégrations par parties
A n’utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué !

Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions dérivables sur un même intervalle [ a, b ] et f une fonction

continue sur [ a, b ] telle que f ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) . Alors :
b


a

b

b

f ( x ) dx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x )  a − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx
a

b

a

- Synthèse 5, p6/6 -

Chapitre 6 : Equations Différentielles
1 Généralités
Définition 1 :
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs
n
y, y′, y′′,… , y ( ) d’une fonction inconnue et de ses dérivées au point x.
NB : y est ici une fonction de x : y ( x ) .

Définition 2 :
Une solution d’une équation différentielle est une fonction f continue et dérivable (jusqu’à
l’ordre n pour une équation d’ordre n) dans un intervalle I donné, et telle que pour toute
valeur x de I, les valeurs de f et de ses dérivées vérifient l’équation.
Définitions 3 :
• La courbe représentative de la solution d’une équation différentielle est une chronique ou
courbe intégrale.
• Résoudre ou intégrer une équation différentielle c’est trouver toutes ses solutions.
Remarque :
Une équation différentielle admet une infinité de solutions. Pour trouver la solution
particulière du problème étudié, il faut tenir compte des conditions particulières (ou
conditions initiales) que doit satisfaire la solution, par exemple : f ( x0 ) = y0 .

2 Equations différentielles du premier ordre
F ( x, y , y ′ ) = 0

2.1

Equations différentielles du premier ordre à variables séparables

dy
= f ( x) g ( y)
dx
dy
dy
On peut écrire
= f ( x ) dx , puis ∫
= f ( x ) dx ⇔ G ( y ) = F ( x ) + C avec C ∈
g ( y)
g ( y) ∫
y′ = f ( x ) g ( y ) ⇔

2.2 Equations différentielles du premier ordre homogènes

dy
 y
 y
y′ = f   ⇔
= f 
dx
 x
 x
y
L’astuce consiste à poser u = pour se ramener à une équation à variables séparables.
x
y
dy
du
du
On pose u = ⇔ y = xu . Ainsi,
= u + x , c’est-à-dire f ( u ) = u + x
.
x
dx
dx
dx
du
dx
Ceci permet finalement d’écrire
.
=
f (u ) − u x

.

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3 Equations différentielles linéaires d’ordre 1
y′ + f ( x ) y = g ( x )

On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre si g ( x ) = 0 (SSM).

On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre si g ( x ) ≠ 0 (ASM).

L’équation SSM est encore appelée équation homogène.
3.1

Equation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre (SSM)
y′ + f ( x ) y = 0

Ces équations SSM sont à variables séparables :
y′ + f ( x ) y = 0 ⇔ y = Ke − F ( x ) avec F une primitive de f.
3.2 Equation différentielle linéaire avec second membre (ASM)
y′ + f ( x ) y = g ( x )

(E)

Ces équations ASM se résolvent en deux temps :
−F x
(1) On intègre d’abord l’équation SSM pour obtenir : y1 = Ke ( )
(2) On résout l’équation ASM, soit en recherchant une solution particulière y p , soit en
utilisant la méthode de variation de la constante.

3.2.1

Recherche d’une solution particulière

Supposons que l’on dispose d’une solution particulière y p de ( E ) , alors la solution générale
de ( E ) est la fonction définie par y = y1 + y p = Ke

− F ( x)

+ yp .

Voir sur le site web les « trucs » pour obtenir ces solutions particulières (Chap 6 §6).

3.2.2

Méthode de variation de la constante

On utilise cette technique lorsqu’on ne peut pas trouver de solution particulière de ( E ) .
On résout dans ce cas l’équation SSM qui fournit y1 = Ke

− F ( x)

.

On suppose alors que la solution générale de ( E ) s’écrit y = K ( x ) e

− F ( x)

.

En remplaçant dans ( E ) , on obtient alors K ′ ( x ) = g ( x ) e F ( x ) puis K ( x ) = ∫ g ( x ) e

Finalement, la solution générale de ( E ) s ‘écrit y = e

− F ( x)

∫ g ( x) e

F ( x)

F ( x)

dx

dx

3.3 Equation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants
y′ + ay = g ( x )

Il s’agit d’un cas particulier des équations différentielle avec f ( x ) = a . Après avoir résolu
l’équation SSM, la méthode précédente s’applique, soit avec recherche d’une solution
particulière, soit par variation de la constante.
Cependant, avec les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients
constants, la solution particulière y p s’obtient parfois simplement :
-

Si g ( x ) = P ( x ) un polynôme de degré n, alors y p = Q ( x ) un polynôme de
degré n ;
- Synthèse 6, p2/5 -

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-

Si g ( x ) = e mx P ( x ) , alors on pose y p = e mx z , et z devient la fonction inconnue de

l’équation différentielle z ′ + ( a + m ) z = P ( x ) : on est ramené au cas précédent.

4 Equations différentielles linéaires du second ordre
F ( x, y, y′, y′′ ) = 0

La différence avec les équations différentielles d’ordre 1, tient au fait que la solution générale
dépend cette fois-ci de deux constantes initiales, par exemple : f ( x0 ) = y0 et f ′ ( x0 ) = z0 .
4.1

Cas des équations incomplètes

Absence de y : F ( x, y′, y′′ ) = 0

4.1.1

On pose z = y′ pour obtenir F ( x, z , z ′ ) = 0 , qui est une équation différentielle d’ordre 1.

4.1.2

Absence de x : F ( y, y′, y′′ ) = 0

dz dz dy dz
= . = .z ce qui nous ramène à considérer z
dx dy dx dy
comme une fonction inconnue de y. On est ainsi ramené à l’équation :

dz 
dy
F  y, z , z  = 0 avec dx =
dy 
z


On pose encore y′ = z , d’où y′′ =

4.2 Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre
y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0

Ces équations ne se résolvent que si l’on dispose d’une solution particulière y p .
On suppose par ailleurs que 1 + a ( x ) + b ( x ) = 0 .
Sachant que y p = e x est solution particulière de toute équation différentielle de ce type, on
pose y = y p z , z devenant la nouvelle fonction inconnue de x.
Il en résulte :

y′ = y′p z + y p z ′
y′′ = y′′p z + 2 y′p z′ + y p z′′

Ainsi :

y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0
⇔ y′′p z + 2 y′p z ′ + y p z ′′ + a ( x ) ( y′p z + y p z ′ ) + b ( x ) y p z

⇔ y p z ′′ + ( 2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ + ( y′′p + a ( x ) y′p + b ( x ) y p ) z
=0
car y p est solution

On pose alors u = z ′ ce qui ramène à une équation différentielle d’ordre 1 à variables
séparables :

- Synthèse 6, p3/5 -

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y p z ′′ + ( 2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ = 0

⇔ y p u ′ = − ( 2 y′p + a ( x ) y p ) u


 2 y′p

du
= −
+ a ( x )  dx
 y

u
 p


Ainsi, ln u = −2 ln y p − ∫ a ( x ) dx = −2 ln y p − A ( x ) + C ⇔ u =
e

C
y e

1
2 A( x )
p

.

A( x )

, c’est-à-dire z = C1 F ( x ) + C2 , ce qui conduit finalement à la
yp
solution générale de l’équation différentielle de départ :
y = y p ( C1 F ( x ) + C2 )

Reste à résoudre z ′ = C1

4.3 Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre à
coefficients constants

y′′ + ay′ + by = 0 avec a, b ∈

4.3.1

des constantes

Etude du cas où a = 0
y′′ + by = 0




Si b = 0 , alors y = C1 x + C2 .
Si b > 0 , alors y = C1 sin (ω x ) + C2 cos (ω x ) .



Si b < 0 , alors y = C1eω x + C2 e −ω x .

4.3.2

Etude du cas où a ≠ 0

y′′ + ay′ + by = 0
On extrait le polynôme caractéristique de l’équation ci-dessus :
ϕ ( r ) = r 2 + ar + b

Puis on cherche les solutions de ϕ ( r ) = 0 (équation caractéristique). On note ∆ = a 2 − 4b le
discriminant.
• Si ∆ = a 2 − 4b > 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet deux racines réelles distinctes r1 , r2 , et
y = C1e r1x + C2 e r2 x .



a
et y = ( C1 x + C2 ) e r0 x .
2
2
Si ∆ = a − 4b < 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet deux racines complexes conjuguées r1,2 = α ± i β

Si ∆ = a 2 − 4b = 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet une racine double r0 = −
et y = eα x ( C1 sin β x + C2 cos β x ) .

- Synthèse 6, p4/5 -

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5 Quelques trucs pour les solutions particulières
Equation différentielle du premier
ordre linéaire à coefficients
constants :
y′ + ay = f ( x ) avec a ≠ 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = P ( x ) avec d ° P = n

Solution particulière

Soit φ ( r ) = r + a l’équation caractéristique
y p = xk P ( x )

k = 0 si 0 n’est pas solution de l’équation φ ( r ) = 0
k = 1 si 0 est solution de l’équation φ ( r ) = 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = eα x P ( x ) avec d ° P = n

y p = x k eα x P ( x )

k = 0 si α n’est pas solution de l’équation φ ( r ) = 0
k = 1 si α est solution de l’équation φ ( r ) = 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = A cos β x + B sin β x

y p = C cos β x + D sin β x

- Synthèse 6, p5/5 -


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