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c1 synthese[1] .pdf



Nom original: c1_synthese[1].pdf
Titre: Chapitre 1 : Fonctions – Généralités
Auteur: CEMAFAC

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Synthèse 1 : Fonctions – Généralités
1 Définitions
1.1

Intervalles – voisinage

a et b étant deux réels, l’ensemble { x ∈ \ / a < x < b} est l’intervalle ouvert noté ]a, b[ ; a et b
sont les bornes de l’intervalle.
x ∈ [ a, +∞[ ⇔ x ≥ a s’écrit aussi [ a, +∞[ = { x ∈ \ / x ≥ a}

L’intervalle ]−∞, +∞[ est exactement égal à \ . On note \ = \ ∪ {−∞, +∞} .
On appellera voisinage de a, a ∈ \ , tout intervalle ouvert de \ contenant a : ∀α 0 > 0 ,

]a − α 0 , a + α 0 [

est un voisinage de a.

1.2 Fonctions réelles d’une variable réelle
Une fonction (ou application) réelle d’une variable réelle est une transformation qui à tout
élément d’une partie (souvent appelée domaine) D ⊂ \ fait correspondre un unique élément
de \ . Ainsi ∀x ∈ D , ∃! y ∈ \ tel que y = f ( x ) .

D (souvent noté D f ) est l’ensemble de définition (ou ensemble de départ) de f.
f ( D ) est l’ensemble d’arrivée de f (ou image) de D par f.

Remarques :
- Les éléments de f ( D ) sont appelés les images des éléments de D

-

Les éléments de D sont appelés les antécédents des éléments de f ( D ) .

1.3 Graphe d’une fonction
Le graphe d’une fonction f (ou courbe représentative de f) est l’ensemble des points de
coordonnées ( x, y = f ( x ) ) , avec x ∈ D .

2 Opérations sur les fonctions
Définition :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ .
• Quand elle existe, la fonction (1 f ) est appelée fonction inverse de f :



1
1
∀x ∈ I ,   ( x ) =
f ( x)
 f
La fonction ( − f ) est appelée fonction opposée de f :
∀x ∈ I , ( − f )( x ) = − f ( x )

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (21/08/2002)
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3 Fonction composée – Fonction réciproque
3.1

Fonction composée

Définition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \
tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ∈ J (i.e., f ( I ) ⊆ J ).
La fonction composée g D f est la fonction définie sur I par ( g D f )( x ) = g ( f ( x ) ) :
f
g
x 
→ f ( x ) 
→ g ( f ( x ) ) = ( g D f )( x )

où x ∈ I et f ( x ) ∈ J , afin que g ( f ( x ) ) existe.
3.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité



On dit qu’une fonction f : I → J est injective si tout élément de f ( I ) est l’image d’un
seul élément de I. Autrement dit, f est injective si et seulement si :
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2

L’injectivité d’une fonction se traduit également par le fait que « tout élément de J admet au
plus un antécédent par f dans I ».
• On dit qu’une fonction f : I → J est surjective si f ( I ) = J , autrement dit si tout élément
de J est l’image par f d’au moins un élément de I.
• On dit qu’une fonction f : I → J est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
3.3 Fonction réciproque

Définition :
Soit f : I → J . On dit que f admet une fonction réciproque s’il existe g : J → I telle que
f D g = Id J et g D f = Id I .
On dit alors que g est la fonction réciproque de f et on note g = f −1 .
Proposition :
Soit f : I → J . Alors f admet une fonction réciproque si et seulement si f est bijective.
Il ne faut pas confondre la fonction réciproque f −1 , avec la fonction inverse 1 f .
Remarque :
Du point de vue graphique, les représentations de deux fonctions réciproques se déduisent
l’un de l’autre par une symétrie par rapport à la première bissectrice.

4 Fonctions majorées, minorées, bornées - Extremums
4.1 Comparer, majorer, minorer des nombres réels
Voir le site web.

- Synthèse 1, p2/4 -

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S. Charles (21/08/2002)
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4.2 Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles

Définitions :
Soit f : I → \ .
• On dit que f est majorée, s’il existe un réel M tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ M . Dans ce cas, on
appelle borne supérieure de f sur l’intervalle I, noté sup f , le plus petit majorant de f.
I



On dit que f est minorée, s’il existe un réel m tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ m . Dans ce cas, on
appelle borne inférieure de f sur l’intervalle I, noté inf f , le plus grand minorant de f.
I



On dit que f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée.

4.3 Extremums

4.3.1

Extremums globaux

Définition :
Soit f : I → \ . Soit x0 ∈ \ .


On dit que f présente un maximum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ f ( x0 ) .



On dit que f présente un minimum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ f ( x0 ) .



Dans l’un de ces deux cas, on dit que f présente un extremum global en x0 .

4.3.2

Extremums locaux

Définition :
Soit f : I → \ . Soit x0 ∈ I .
On dit que f présente un maximum (resp. minimum) local en x0 s’il existe au moins un

α > 0 tel que ∀x ∈ I , x ∈ ] x0 − α , x0 + α [ ⇒ f ( x ) ≤ f ( x0 ) (resp. f ( x ) ≥ f ( x0 ) .

5 Variation des fonctions
5.1

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Définitions :
Soit f : I → \ .







{( x, y ) ∈ I et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) .
On dit que f est décroissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) .
On dit que f est strictement croissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x < y} , ⇒ f ( x ) < f ( y ) .
On dit que f est strictement décroissante sur I si {( x, y ) ∈ I et x < y} , ⇒ f ( x ) > f ( y ) .

On dit que f est croissante sur I si

2

2

2

2

On dit que f est (strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante ou
(strictement) décroissante sur I.

- Synthèse 1, p3/4 -

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5.2 Somme et produit de fonctions monotones

Définition :
Soit f : I → \ . On dit que f est positive (respectivement négative), si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ 0
(respectivement f ( x ) ≤ 0 ).

Voir le site web pour plus de détails.
5.3 Inverse d’une fonction monotone

Proposition :
Soit f : I → \ monotone. Si on suppose que f ne s’annule jamais sur I, et qu’elle est de signe
1
constant, alors la fonction inverse   est monotone sur I \ { x / f ( x ) = 0} , de monotonie
 f
contraire à celle de f et de même signe.
5.4 Composition de fonctions monotones

Proposition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \ ,
telles que ∀x ∈ I , f ( x ) ∈ J  f ( I ) ⊆ j  .
(i)
Si f et g ont même monotonie, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée g D f est
croissante sur I.
(ii)
Si f et g sont de monotonie contraire, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée
g D f est décroissante sur I.

6 Fonctions paires, impaires, périodiques
6.1 Fonctions paires et impaires
Soit une fonction f, définie sur une partie D de \ symétrique par rapport à 0
( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
Définition :
On dit que f est paire si ∀x ∈ D , f ( − x ) = f ( x )

On dit que f est impaire si ∀x ∈ D , f ( − x ) = − f ( x )
6.2 Fonctions périodiques

Définition :
Soit f : D f → \ . S’il existe T ∈ \ strictement positif tel que ∀x ∈ D f , x + T ∈ D f et
f ( x + T ) = f ( x ) , alors la fonction f est dite périodique de période T. On dit aussi que f est T-

périodique.
6.3 Réduction de l’intervalle d’étude
Soit une fonction f, définie sur un domaine D de \ symétrique par rapport à 0.
• Si f est paire (ou impaire), on peut réduire l’intervalle d’étude aux x positifs. Le graphe de
la fonction sur D se déduira par symétrie par rapport à Oy (ou 0).
• Si f est T-périodique, on peut réduire l’intervalle d’étude à la seule période T. Le graphe
de la fonction sur D se déduira par des translations de T le long de l’axe des x.
- Synthèse 1, p4/4 -


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