c2 synthese[1] .pdf

Synthèse 2 : Limites – Continuité
N’hésitez pas à consulter le formulaire des limites disponible sur le site web.

1 Limites
1.1

Définitions

1.1.1

Limite en un point

Définitions :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I ( x0 peut être une des extrémités de I).
•

Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en x0 , ou bien que f ( x ) tend vers A lorsque x
tend vers x0 ( x → x0 ), si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x → x0
x → x0

•

x0

On dit que +∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = +∞ ) si :
x → x0

∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≥ A

1.1.2

Limites en +∞ et −∞

Définition
Soit f : I → \ . On suppose que I = [ a; +∞[ .

•

Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en +∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →+∞
x →+∞

•

+∞

On dit que +∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≥ A

Définition (limite en −∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = ]−∞; a ] .

•

Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en −∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →−∞
x →−∞

•

−∞

On dit que +∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≥ A

Proposition :
Si A ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim ( f ( x ) − A ) = 0 .
x → x0

x → x0

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1.1.3

Limite par valeurs supérieures ou inférieures

Définition :
Soit f : I → \ telle que lim f ( x ) = A ( x0 ∈ \ ). Quand x tend vers x0 , on dit que f ( x ) tend
x → x0

vers A par valeurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de x0 , f ( x ) ≥ A (resp.
f ( x ) ≤ A ).

On note alors lim f ( x ) = A + (resp. lim f ( x ) = A − ).
x → x0

1.1.4

x → x0

Limites à gauche et à droite

Voir le site web.
1.2

1.2.1

Limites par opération

Limite d’une somme
lim f ( x ) =

A

A

A

+∞

−∞

+∞

lim g ( x ) =

A′

+∞

−∞

+∞

−∞

−∞

A + A′

+∞

−∞

+∞

−∞

?

x → x0
x → x0

lim ( f + g )( x ) =

x → x0

? on parle alors de forme indéterminée
1.2.2

Limite d’un produit
lim f ( x ) =

A

A≠0

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

lim ( fg )( x ) =

AA′

+∞ ou −∞

?

+∞ ou −∞

x → x0
x → x0
x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.

1.2.3

Limite d’un quotient

lim f ( x ) =

A

A≠0

A

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′ ≠ 0

0

+∞ ou −∞

A′

0

+∞ ou −∞

A A′

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

?

?

x → x0
x → x0

lim ( f g )( x ) =

x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A′ , en appliquant la règle des signes.
Remarques :
• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0+ ou 0− selon la règle des signes.
• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : +∞ ou −∞ selon la règle des signes.

- Synthèse 2, p2/5 -

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1.3 Limites par comparaison
Soit f : I → \ .
Proposition 1 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≥ g ( x ) et lim g ( x ) = +∞ , alors :
x →+∞

lim f ( x ) = +∞ .

x →+∞

Théorème « des gendarmes » :
S’il existe deux fonctions g et h, un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) et

lim g ( x ) = A et lim h ( x ) = A , alors lim f ( x ) = A .

x →+∞

1.4

x →+∞

x →+∞

Limite d’une fonction composée

Théorème :
Soient x0 , A et A′ des nombres réels (« éventuellement » égaux à ±∞ ).
Soient f et g deux fonctions dont la composée g D f existe.
Si lim f ( x ) = A et si lim g ( x ) = A′ , alors lim ( g D f )( x ) = A′ .
x → x0

x → x0

x →A

1.5 Limite à l’infini d’une fonction polynôme ou d’une fraction rationnelle
Méthode :
Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où
les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression f ( x ) en factorisant

chaque polynôme par le terme de plus haut degré.
™ Cas d’une fonction polynôme
D La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré

š Cas d’une fraction rationnelle
D La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié
de ses termes de plus haut degré
1.6

Limites et courbe représentative d’une fonction

1.6.1

Etude des branches infinies

Considérons une fonction f définie sur un domaine D f de \ . Soit Γ sa courbe
représentative.
Proposition 1 :
Si lim f ( x ) = ±∞ , alors la droite x = x0 (
x → x0

& à l’axe des y) asymptote à la courbe Γ .

Proposition 2 :
Si lim f ( x ) = A , alors la droite y = A est (
x →±∞

& à l’axe des x) asymptote à la courbe Γ .

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1.6.2

Direction asymptotique

On recherche une direction asymptotique lorsque lim f ( x ) = ±∞ .
x →±∞

S’il existe une direction asymptotique, alors

f ( x)
tend vers une limite finie A .
x

f ( x)
→ ±∞ lorsque x → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique dans la
x
direction Oy.

Si

1.6.3

Asymptotes

La courbe Γ admet une asymptote oblique D d’équation y = ax + b , si :
f ( x)
a = lim
x →±∞
x
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de D, on montre que f ( x ) − ax tend vers b lorsque

x → ±∞ , ou bien alors que f ( x ) − ax − b tend vers 0 lorsque x → ±∞ .

Si f ( x ) − ax → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique de pente a.

2 Quelques trucs…
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d'une
fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l'écriture de cette fonction... afin de
pouvoir les appliquer !
Nous avons vu comment il est possible de connaître la limite à l'infini d'un polynôme ou d'une
fonction rationnelle. Voyons maintenant le cas particulier d’une fonction contenant une racine
carrée ou une valeur absolue.
2.1

La quantité conjuguée

Soit f une fonction définie sur \ + par f ( x ) = x + 4 − x .
f ( 0 ) = 0 . On cherche à déterminer lim f ( x ) .
x →+∞

lim

x + 4 = +∞

lim

x = +∞

x →+∞
x →+∞

Donc lim f ( x ) est de la forme indéterminée « ∞ − ∞ ».
x →+∞

L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée
2.2 Les valeurs absolues

Soit f une fonction définie sur \ \ {−1,1} par f ( x ) =

1− 2 x
1− x

.

On cherche à déterminer les limites de f ( x ) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste ici à écrire différemment la valeur absolue de x selon que x est négatif
ou positif

- Synthèse 2, p4/5 -

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3 Continuité
3.1

Continuité en un point - Continuité sur un intervalle

Définitions :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ . Soit x0 ∈ I .
•

On dit que f est continue en x0 si et seulement si lim f ( x ) = f ( x0 ) , c’est-à-dire si :
x → x0

∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) ≤ ε
•

f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition x ≥ x0 (resp. x ≤ x0 ), i.e.,

si lim+ f ( x ) = f ( x0 ) (resp. lim− f ( x ) = f ( x0 ) ).
x → x0

x → x0

Conséquences :
• f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x0 .
• f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

3.1.1

Opérations sur les fonctions continues : Voir le site web.

3.1.2

Prolongement par continuité

Si f est une fonction définie sur I \ { x0 } et si lim f ( x ) = a , on dit que g est un prolongement
x → x0

par continuité de f en x0 si et seulement si g ( x ) = f ( x ) ∀x ≠ x0 et g ( x0 ) = a .
3.2 Propriétés des fonctions continues

3.2.1

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . Alors, en supposant que
f ( a ) < f ( b ) , pour tout y tel que f ( a ) ≤ y ≤ f ( b ) , il existe au moins un élément x ∈ ]a, b[
tel que y = f ( x ) .

Corollaire 1 :
Soit f continue sur [ a, b] . Si f ( a ) f ( b ) ≤ 0 , alors ∃c ∈ ]a, b[ tel que f ( c ) = 0 .
Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si I a pour bornes a et b, celles de f ( I ) ne sont pas nécessairement f ( a ) et f ( b ) .

3.2.2

Théorème de la bijection réciproque

Théorème :
Si f : I → J est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J.
De plus, la fonction réciproque f −1 , de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la
même monotonie que f).
Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à l’équation

f ( x ) = 0 . Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.
- Synthèse 2, p5/5 -