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c5 synthese[1] .pdf



Nom original: c5_synthese[1].pdf
Titre: Chapitre 5 : Primitives – Intégration
Auteur: CEMAFAC

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Synthèse 5 : Primitives – Intégration
1 Primitives
Dans toute la suite, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de \ .
1.1

Définitions - Théorème fondamental

Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction f : I → \ . On dit que F : I → \ est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si ∀x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) .

Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. La fonction G : I → \ est aussi
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C ∈ \ telle que ∀x ∈ I ,
G ( x) = F ( x) + C .
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈ \ .

Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que G ( x0 ) = y0 ; elle est donnée par
G ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) + y0 .

En particulier, H ( x ) = F ( x ) − F ( x0 ) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 .
Théorème fondamental :
Si f : I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
1.2 Primitives des fonctions usuelles
Voir le formulaire disponible sur le site web.
1.3

Linéarité

Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, ∀α , β ∈ \ , la fonction α F + β G est une
primitive sur I de la fonction α f + β g .
1.4

Fonctions composées

Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur un intervalle J
tel que ∀x ∈ I , u ( x ) ∈ J .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
f ( x ) = u ′ ( x ) × g ( u ( x ) ) est la fonction F définie par F ( x ) = G ( u ( x ) ) .

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/09/2002)
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2 La notion d’intégrale
2.1

Intégrale d’une fonction

Définition 1 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
Soient a, b ∈ I . Alors le nombre F ( b ) − F ( a ) est appelé intégrale de f sur [ a, b ] .
Interprétation géométrique
Voir le site web.

Définition 2 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
L’intégrale de f sur [ a, b ] se note

b

∫ f ( x ) dx . Ainsi :
a

b

F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx que l’on note aussi  F ( x )  a
b

a

b

∫ f ( x ) dx se lit « somme de a à b de f ( x ) dx ».
a

Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit f : [ a, b ] → \ une fonction positive admettant une primitive sur [ a, b ] et (C) sa courbe

représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations x = a et x = b
b

est ( A ) = ∫ f ( x ) dx , exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
a

- Synthèse 5, p2/6 -

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Propositions :
a

(i)
(ii)



a

 ∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) 
a


f ( x ) dx = 0

a
a

b

b

a

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

 F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) 

2.2 Intégrale et primitive

Définition 4 :
Soit une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I.
On note

∫ f ( x ) dx l’ensemble des primitives de f.

Proposition :
Soient une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I et x0 ∈ I .
x

La fonction F définie sur I par l’intégrale F ( x ) =

∫ f ( t ) dt

est l’unique primitive de f sur I

x0

qui s’annule en x0 .
2.3 Premières propriétés

2.3.1

Linéarité

Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur [ a, b ] . ∀α , β ∈ \ :
b

b

b

a

a

a

∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx
2.3.2

Signe de l’intégrale

Propositions :
(i)
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] .
Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≥ 0 (resp. ≤ 0 ), alors

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0 (resp. ≤ 0 ).
a

(ii)

Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Si ∀x ∈ [ a, b ] , f ( x ) ≤ g ( x ) , alors :
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
2.3.3

Relation de Chasles

Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . Alors ∀c ∈ [ a, b ] :

b


a

- Synthèse 5, p3/6 -

c

b

a

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

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3 Intégrales et inégalités
3.1

Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Définition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). On appelle valeur moyenne de f sur [ a, b ] , le
réel µ =

b

1
f ( x ) dx .
b − a ∫a

Théorème de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] ( a < b ). Il existe c ∈ [ a, b ] tel que :
b

∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ′ ( c )
a

3.2 Valeur absolue d’une intégrale

Proposition :
Soit f une fonction continue sur [ a, b ] . On a alors :
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
3.3 Inégalités de la moyenne

Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur [ a, b ] .
b

(i)

Si m ≤ f ≤ M , alors m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) .
a

b

(ii)

Si f ≤ M , alors

∫ f ( x ) dx ≤ M b − a .
a

4 Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1 Utilisation des primitives usuelles
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
Voir le formulaire disponible sur le site web.
4.2 Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
b

b

b

a

a

a

∫ (α f + β g )( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx

- Synthèse 5, p4/6 -

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4.3 Changement de variable

4.3.1

Cas général des intégrales

Théorème :
Soient φ :  min ( a, b ) ; max ( a, b )  → \ une fonction de classe C1 (continue et à dérivée
première continue) strictement monotone, et f : φ ( a ) , φ ( b )  → \ une fonction continue sur
φ ( a ) , φ ( b )  . Alors :
φ (b )



φ (a)

4.3.2

b

f ( x ) dx = ∫ ( f D φ )( t ) φ ′ ( t ) dt avec x = φ ( t ) et dx = φ ′ ( t ) dt .
a

Conséquences
a

X f paire ⇒

a

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx

−a

0

a

Y f impaire ⇒



f ( x ) dx = 0 ou bien encore

−a

Z f T-périodique ⇒

b


a

−b

f (t )dt = ∫ f (t )dt
−a

a +T

T

b +T

b

a

0

a +T

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ou bien encore ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

4.4 Les fractions rationnelles

Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme

P ( x)
où P ( x ) et Q ( x ) sont des
Q ( x)

polynômes à coefficients dans \ (ou ^ ).
L’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.

4.4.1

Décomposition en éléments simples

Si d ° ( Q ) ≤ d ° ( P ) , on peut effectuer la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
P ( x)
en x, et une nouvelle fraction rationnelle 1
où d ° ( Q ) > d ° ( P1 ) .
Q ( x)
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de

P1 ( x )
.
Q ( x)

Si d ° ( Q ) ≥ d ° ( P ) , et α i étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle xi de Q, β i celui
des deux racines complexes conjuguées de Q associée à l’équation caractéristique
x 2 + pi x + qi = 0 avec pi2 − 4qi < 0 , alors :

- Synthèse 5, p5/6 -

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m βi
P ( x ) n αi
Ai
Bi x + Ci
= ∑∑
+
∑∑
γi
2
Q ( x ) i =1 j =1 ( x − xi )
i =1 j =1 ( x + p x + q
i

4.4.2

i

)

δi

Intégration d’un élément simple de la forme

avec 1 ≤ γ i ≤ α i et 1 ≤ δ i ≤ β i
dx

∫ ( x − x )γ
0

Il s’agit de calculer

dx

∫ ( x − x )γ

pour γ entier ≥ 1 .

0

Deux cas peuvent se présenter :
dx
(1) γ = 1 : ∫
= ln x − x0 + C
( x − x0 )

(2) γ ≠ 1 :

dx

∫ ( x − x )γ = ∫ ( x − x )

−γ

0

0

4.4.3

( x − x0 )
dx =

1−γ

+C

1− γ

Intégration d’un élément simple de la forme

(x

Ax + B

2

+ px + q )

δ

Voir le site web.
4.5 Intégrations par parties
A n’utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué !

Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions dérivables sur un même intervalle [ a, b ] et f une fonction

continue sur [ a, b ] telle que f ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) . Alors :
b


a

b

b

f ( x ) dx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x )  a − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx
a

b

a

- Synthèse 5, p6/6 -


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