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c6 synthese[1] .pdf



Nom original: c6_synthese[1].pdf
Titre: Chapitre 5 : Primitives – Intégration
Auteur: CEMAFAC

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Chapitre 6 : Equations Différentielles
1 Généralités
Définition 1 :
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs
n
y, y′, y′′,… , y ( ) d’une fonction inconnue et de ses dérivées au point x.
NB : y est ici une fonction de x : y ( x ) .

Définition 2 :
Une solution d’une équation différentielle est une fonction f continue et dérivable (jusqu’à
l’ordre n pour une équation d’ordre n) dans un intervalle I donné, et telle que pour toute
valeur x de I, les valeurs de f et de ses dérivées vérifient l’équation.
Définitions 3 :
• La courbe représentative de la solution d’une équation différentielle est une chronique ou
courbe intégrale.
• Résoudre ou intégrer une équation différentielle c’est trouver toutes ses solutions.
Remarque :
Une équation différentielle admet une infinité de solutions. Pour trouver la solution
particulière du problème étudié, il faut tenir compte des conditions particulières (ou
conditions initiales) que doit satisfaire la solution, par exemple : f ( x0 ) = y0 .

2 Equations différentielles du premier ordre
F ( x, y , y ′ ) = 0

2.1

Equations différentielles du premier ordre à variables séparables

dy
= f ( x) g ( y)
dx
dy
dy
On peut écrire
= f ( x ) dx , puis ∫
= f ( x ) dx ⇔ G ( y ) = F ( x ) + C avec C ∈
g ( y)
g ( y) ∫
y′ = f ( x ) g ( y ) ⇔

2.2 Equations différentielles du premier ordre homogènes

dy
 y
 y
y′ = f   ⇔
= f 
dx
 x
 x
y
L’astuce consiste à poser u = pour se ramener à une équation à variables séparables.
x
y
dy
du
du
= u + x , c’est-à-dire f ( u ) = u + x
On pose u = ⇔ y = xu . Ainsi,
.
x
dx
dx
dx
du
dx
Ceci permet finalement d’écrire
.
=
f (u ) − u x

.

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/09/2002)
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3 Equations différentielles linéaires d’ordre 1
y′ + f ( x ) y = g ( x )

On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre si g ( x ) = 0 (SSM).

On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre si g ( x ) ≠ 0 (ASM).

L’équation SSM est encore appelée équation homogène.
3.1

Equation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre (SSM)
y′ + f ( x ) y = 0

Ces équations SSM sont à variables séparables :
y′ + f ( x ) y = 0 ⇔ y = Ke − F ( x ) avec F une primitive de f.
3.2 Equation différentielle linéaire avec second membre (ASM)
y′ + f ( x ) y = g ( x )

(E)

Ces équations ASM se résolvent en deux temps :
−F x
(1) On intègre d’abord l’équation SSM pour obtenir : y1 = Ke ( )
(2) On résout l’équation ASM, soit en recherchant une solution particulière y p , soit en
utilisant la méthode de variation de la constante.

3.2.1

Recherche d’une solution particulière

Supposons que l’on dispose d’une solution particulière y p de ( E ) , alors la solution générale
de ( E ) est la fonction définie par y = y1 + y p = Ke

− F ( x)

+ yp .

Voir sur le site web les « trucs » pour obtenir ces solutions particulières (Chap 6 §6).

3.2.2

Méthode de variation de la constante

On utilise cette technique lorsqu’on ne peut pas trouver de solution particulière de ( E ) .
On résout dans ce cas l’équation SSM qui fournit y1 = Ke

− F ( x)

.

On suppose alors que la solution générale de ( E ) s’écrit y = K ( x ) e

− F ( x)

.

En remplaçant dans ( E ) , on obtient alors K ′ ( x ) = g ( x ) e F ( x ) puis K ( x ) = ∫ g ( x ) e

Finalement, la solution générale de ( E ) s ‘écrit y = e

− F ( x)

∫ g ( x) e

F ( x)

F ( x)

dx

dx

3.3 Equation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants
y′ + ay = g ( x )

Il s’agit d’un cas particulier des équations différentielle avec f ( x ) = a . Après avoir résolu
l’équation SSM, la méthode précédente s’applique, soit avec recherche d’une solution
particulière, soit par variation de la constante.
Cependant, avec les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients
constants, la solution particulière y p s’obtient parfois simplement :
-

Si g ( x ) = P ( x ) un polynôme de degré n, alors y p = Q ( x ) un polynôme de
degré n ;
- Synthèse 6, p2/5 -

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-

Si g ( x ) = e mx P ( x ) , alors on pose y p = e mx z , et z devient la fonction inconnue de

l’équation différentielle z ′ + ( a + m ) z = P ( x ) : on est ramené au cas précédent.

4 Equations différentielles linéaires du second ordre
F ( x, y, y′, y′′ ) = 0

La différence avec les équations différentielles d’ordre 1, tient au fait que la solution générale
dépend cette fois-ci de deux constantes initiales, par exemple : f ( x0 ) = y0 et f ′ ( x0 ) = z0 .
4.1

Cas des équations incomplètes

Absence de y : F ( x, y′, y′′ ) = 0

4.1.1

On pose z = y′ pour obtenir F ( x, z , z ′ ) = 0 , qui est une équation différentielle d’ordre 1.

4.1.2

Absence de x : F ( y, y′, y′′ ) = 0

dz dz dy dz
= . = .z ce qui nous ramène à considérer z
dx dy dx dy
comme une fonction inconnue de y. On est ainsi ramené à l’équation :

dz 
dy
F  y, z , z  = 0 avec dx =
dy 
z


On pose encore y′ = z , d’où y′′ =

4.2 Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre
y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0

Ces équations ne se résolvent que si l’on dispose d’une solution particulière y p .
On suppose par ailleurs que 1 + a ( x ) + b ( x ) = 0 .
Sachant que y p = e x est solution particulière de toute équation différentielle de ce type, on
pose y = y p z , z devenant la nouvelle fonction inconnue de x.
Il en résulte :

y′ = y′p z + y p z ′
y′′ = y′′p z + 2 y′p z′ + y p z′′

Ainsi :

y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0
⇔ y′′p z + 2 y′p z ′ + y p z ′′ + a ( x ) ( y′p z + y p z ′ ) + b ( x ) y p z

⇔ y p z ′′ + ( 2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ + ( y′′p + a ( x ) y′p + b ( x ) y p ) z
=0
car y p est solution

On pose alors u = z ′ ce qui ramène à une équation différentielle d’ordre 1 à variables
séparables :

- Synthèse 6, p3/5 -

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y p z ′′ + ( 2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ = 0

⇔ y p u ′ = − ( 2 y′p + a ( x ) y p ) u


 2 y′p

du
= −
+ a ( x )  dx
 y

u
 p


Ainsi, ln u = −2 ln y p − ∫ a ( x ) dx = −2 ln y p − A ( x ) + C ⇔ u =
e

C
y e

1
2 A( x )
p

.

A( x )

, c’est-à-dire z = C1 F ( x ) + C2 , ce qui conduit finalement à la
yp
solution générale de l’équation différentielle de départ :
y = y p ( C1 F ( x ) + C2 )

Reste à résoudre z ′ = C1

4.3 Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre à
coefficients constants

y′′ + ay′ + by = 0 avec a, b ∈

4.3.1

des constantes

Etude du cas où a = 0
y′′ + by = 0




Si b = 0 , alors y = C1 x + C2 .
Si b > 0 , alors y = C1 sin (ω x ) + C2 cos (ω x ) .



Si b < 0 , alors y = C1eω x + C2 e −ω x .

4.3.2

Etude du cas où a ≠ 0

y′′ + ay′ + by = 0
On extrait le polynôme caractéristique de l’équation ci-dessus :
ϕ ( r ) = r 2 + ar + b

Puis on cherche les solutions de ϕ ( r ) = 0 (équation caractéristique). On note ∆ = a 2 − 4b le
discriminant.
• Si ∆ = a 2 − 4b > 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet deux racines réelles distinctes r1 , r2 , et
y = C1e r1x + C2 e r2 x .



a
et y = ( C1 x + C2 ) e r0 x .
2
2
Si ∆ = a − 4b < 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet deux racines complexes conjuguées r1,2 = α ± i β

Si ∆ = a 2 − 4b = 0 , alors ϕ ( r ) = 0 admet une racine double r0 = −
et y = eα x ( C1 sin β x + C2 cos β x ) .

- Synthèse 6, p4/5 -

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5 Quelques trucs pour les solutions particulières
Equation différentielle du premier
ordre linéaire à coefficients
constants :
y′ + ay = f ( x ) avec a ≠ 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = P ( x ) avec d ° P = n

Solution particulière

Soit φ ( r ) = r + a l’équation caractéristique
y p = xk P ( x )

k = 0 si 0 n’est pas solution de l’équation φ ( r ) = 0

k = 1 si 0 est solution de l’équation φ ( r ) = 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = eα x P ( x ) avec d ° P = n

y p = x k eα x P ( x )

k = 0 si α n’est pas solution de l’équation φ ( r ) = 0

k = 1 si α est solution de l’équation φ ( r ) = 0

Second membre de la forme :
f ( x ) = A cos β x + B sin β x

y p = C cos β x + D sin β x

- Synthèse 6, p5/5 -


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