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&KDSLWUH /LPLWHV ² &RQWLQXLWp
Sandrine CHARLES (06/10/2001)

Introduction
1

2

Limites
1.1

Définitions

1.2

Limites par opération

1.3

Limites par comparaison

1.4

Limite d’une fonction composée

1.5

Limite à l’infini d’une fonction polynôme ou d’une fraction rationnelle

1.6

Limites et courbe représentative d’une fonction

Continuité
2.1

Continuité en un point - Continuité sur un intervalle

2.2

Propriétés des fonctions continues

3

Pour aller plus loin

4

Exemple d’application en Biologie

5

Quelques trucs…
5.1

La quantité conjuguée

5.2

Les valeurs absolues

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&KDSLWUH /LPLWHV ² &RQWLQXLWp
,QWURGXFWLRQ
L’objet du second chapitre d’analyse est de présenter les notions de limites et de continuité
des fonctions réelles d’une variable réelle définies dans le chapitre 1. Ce chapitre comprend
deux parties sub-divisées comme indiqué sur la gauche de votre écran.
L’introduction officielle de la notion de limite dans le langage mathématique remonte à 1751,
date à laquelle paraît l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert.
Comme cela est largement détaillé sur le site
http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronom2/limiteDD.html
Cauchy publia en 1821 un Cours d’analyse, réédité aujourd'hui dans un but pédagogique et
épistémologique (collection ellipses, Ed. Marketing). Ce cours eut une très grande audience et
constitue le premier exposé rigoureux sur les fonctions numériques. Rénovant l'analyse
fonctionnelle, Cauchy formalise, en particulier, la notion de limite et celle de continuité sur
un intervalle :


Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une
valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette
dernière est appelée la limite de toutes les autres.



h désignant une quantité infiniment petite, lorsque, la fonction f(x) admettant une valeur
unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la
différence f(x + h) - f(x) est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit
que f(x) est une fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit.

Intuitivement et graphiquement, on décrit la
courbe représentative de f sans lever le crayon :
pas de "trous". Ci-contre à gauche, on a un arc de
courbe continu, à droite, il y a discontinuité au
point x = a .

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p2/16 -

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Vous trouverez sur les sites suivants quelques exemples de « culture
générale » ou de la vie courante où apparaît la notion de limite :
Université Libre de Bruxelle

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Zenon.html

([HUFLFHV FRUULJpV
Ci-dessous, deux sites intéressants permettant de s’exercer sur d’autres exemples que ceux de
votre polycopié de travaux dirigés :
IUT Bethune
Maths54.free

/LPLWHV
'pILQLWLRQV


/LPLWH HQ XQ SRLQW

Définitions :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I ( x0 peut être une des extrémités de I).


Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en x0 , ou bien que f ( x ) tend vers A lorsque x
tend vers x0 ( x → x0 ), si :
∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − A ≤ ε

On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x → x0
x → x0



x0

On dit que +∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = +∞ ) si :
x → x0

∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≥ A



De même, on dit que −∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = −∞ ) si :
x → x0

∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≤ A

Exemples
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p3/16 -

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/LPLWHV HQ +∞ HW −∞

Définition (limite en +∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = [a; +∞[ .


Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en +∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε

On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →+∞
x →+∞



+∞

On dit que +∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≥ A



On dit que −∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≤ A

Exemples
Définition (limite en −∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = ]−∞; a ].


Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en −∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε

On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →−∞
x →−∞



−∞

On dit que +∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≥ A



On dit que −∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≤ A

Exemples
Proposition :
Si A ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim ( f ( x ) − A ) = 0
x → x0

x → x0

Si x0 ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim f ( x0 + h ) = A
x → x0

h →0

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p4/16 -

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/LPLWH SDU YDOHXUV VXSpULHXUHV RX LQIpULHXUHV

Définition :
Soit f : I → \ telle que lim f ( x ) = A ( x0 ∈ \ ). Quand x tend vers x0 , on dit que f ( x ) tend
x → x0

vers A par valeurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de x0 , f ( x ) ≥ A (resp.

f ( x ) ≤ A ).
On note alors lim f ( x ) = A + (resp. lim f ( x ) = A − ).
x → x0

x → x0

Exemple
Considérons la fonction définie par f ( x ) =

2x + 1
. On a lim f ( x ) = 0+ et lim f ( x ) = 0− .
2
x →+∞
x →−∞
x

Graphe


/LPLWHV j JDXFKH HW j GURLWH

Définition (limite à gauche) :
Soit A ∈ \ . Alors
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) − A ≤ ε .

x → x0−

lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) ≥ A .

x → x0−

lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) ≤ A .

x → x0−

Définition (limite à droite) :
Soit A ∈ \ . Alors
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) − A ≤ ε .

x → x0+

lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) ≥ A .

x → x0+

lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) ≤ A .

x → x0+

Exemples

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p5/16 -

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/LPLWHV SDU RSpUDWLRQ


/LPLWH G·XQH VRPPH
lim f ( x ) =

A

A

A

+∞

−∞

+∞

lim g ( x ) =

A′

+∞

−∞

+∞

−∞

−∞

A + A′

+∞

−∞

+∞

−∞

?

x → x0

x → x0

lim ( f + g )( x ) =

x → x0

? on parle alors de forme indéterminée
Exemples


/LPLWH G·XQ SURGXLW
lim f ( x ) =

A

A≠0

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

+∞ ou −∞

lim ( fg )( x ) =

AA′

+∞ ou −∞

?

+∞ ou −∞

x → x0

x → x0

x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
Exemples


/LPLWH G·XQ TXRWLHQW

lim f ( x ) =

A

A≠0

A

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

lim g ( x ) =

A′ ≠ 0

0

+∞ ou −∞

A′

0

+∞ ou −∞

A A′

+∞ ou −∞

0

+∞ ou −∞

?

?

x → x0

x → x0

lim ( f g )( x ) =

x → x0

ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A′ , en appliquant la règle des signes.
Remarques :


Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0 + ou 0 − selon la règle des signes.



Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : +∞ ou −∞ selon la règle des signes. Exemples
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p6/16 -

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/LPLWHV SDU FRPSDUDLVRQ
Soit f : I → \ .
Proposition 1 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≥ g ( x ) et lim g ( x ) = +∞ , alors :
x →+∞

lim f ( x ) = +∞ .

x →+∞

Démonstration
Exemple
Proposition 2 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = −∞ , alors :
x →+∞

lim f ( x ) = −∞ .

x →+∞

Démonstration
Théorème « des gendarmes » :
S’il existe deux fonctions g et h, un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) et

lim g ( x ) = A et lim h ( x ) = A , alors lim f ( x ) = A .

x →+∞

x →+∞

x →+∞

Démonstration
Exemple
Proposition 3 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) − A ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = 0 ,
x →+∞

alors : lim f ( x ) = A .
x →+∞

Démonstration
Proposition 4 :
S’il existe deux fonctions f et g et un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ; si lim f ( x ) = A
x →+∞

et lim g ( x ) = A′ , alors A′ ≤ A .
x →+∞

Démonstration
Exemple

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p7/16 -

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/LPLWH G·XQH IRQFWLRQ FRPSRVpH
Théorème :
Soient x0 , A et A′ des nombres réels (« éventuellement » égaux à ±∞ ).
Soient f et g deux fonctions dont la composée g D f existe.
Si lim f ( x ) = A et si lim g ( x ) = A′ , alors lim ( g D f )( x ) = A′ .
x →A

x → x0

x → x0

Démonstration
Exemple
/LPLWH j O·LQILQL G·XQH IRQFWLRQ SRO\Q{PH RX G·XQH IUDFWLRQ UDWLRQQHOOH
Méthode :
Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où
les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression f ( x ) en factorisant
chaque polynôme par le terme de plus haut degré.

™ Cas d’une fonction polynôme
On cherche à calculer lim (− x 2 + ax + b ) avec a, b > 0 .
x →+∞

On a lim − x 2 = −∞ et lim (ax + b ) = +∞ ; la somme est indéterminée.
x →+∞

x →+∞

a b 

On transforme le polynôme : − x 2 + ax + b = x 2  −1 + + 2  .
x x 

a
b
= 0 et lim 2 = 0 ;
x →+∞ x
x →+∞ x

Or lim

a b 
a b 


Donc comme somme lim  −1 + + 2  = −1 et comme produit lim x 2  −1 + + 2  = −∞ .
x →+∞
x →+∞
x x 
x x 



D La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré
lim (− x 2 + ax + b ) = lim − x 2 = −∞

x →+∞

x →+∞

š Cas d’une fraction rationnelle
a − bx
avec a, b, c > 0 .
x →−∞ x 2 + c

On cherche à calculer lim

lim a − bx = +∞ et lim x 2 + c = +∞ ; le quotient est donc indéterminé.

x →−∞

x →−∞

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p8/16 -

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a

a

− b
x − b

a − bx
x
 =1 x
 . Ainsi :
Pour x ≠ 0 , on a : 2
= 
c
c
x +c
x




x 2 1 + 2 
1 + 2 
 x 
 x 
a
c
a
c
= 0 et lim 2 = 0 , donc : lim − b = −b et lim 1 + 2 = 1 . Finalement :
x →−∞ x
x →−∞ x
x →−∞ x
x →−∞
x
lim

a
a
−b
−b
1
lim x
= −b et donc lim x
= 0−
x →−∞
x →−∞ x
c
c
1+ 2
1+ 2
x
x
D La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié
de ses termes de plus haut degré
a − bx
−bx
−b
= lim 2 = lim
=0
2
x →−∞ x + c
x →−∞ x
x →−∞ x
lim

/LPLWHV HW FRXUEH UHSUpVHQWDWLYH G·XQH IRQFWLRQ


(WXGH GHV EUDQFKHV LQILQLHV

Considérons une fonction f définie sur un domaine D f de \ . Soit Γ sa courbe
représentative.
Proposition 1 :
Si lim f ( x ) = ±∞ , alors la droite x = x0 est asymptote à la courbe Γ .
x → x0

Exemple
Proposition 2 :
Si lim f ( x ) = A , alors la droite y = A est asymptote à la courbe Γ .
x →±∞

Exemple


'LUHFWLRQ DV\PSWRWLTXH

On recherche une direction asymptotique lorsque lim f ( x ) = ±∞ .
x →±∞

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p9/16 -

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f(x)

P

(Γ)

M

D’après AZOULAY et AVIGNANT

D

O

x

La courbe Γ admet une direction asymptotique si la droite OM tend vers une position limite
lorsque le point M s’éloigne à l’infini sur Γ .
Le coefficient directeur de OM est

f (x )
f (x )
. S’il existe une direction asymptotique, alors
x
x

tend vers une limite finie A .
Si

f (x )
→ ±∞ lorsque x → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique dans la
x

direction Oy.
Exemples


$V\PSWRWHV
f(x)

y=ax+b

H P
D

D’après AZOULAY et AVIGNANT

M

(Γ)

O

x

La courbe Γ admet une asymptote oblique D d’équation y = ax + b , si la distance entre M et
la droite D ( MH ) tend vers 0 lorsque M s’éloigne à l’infini sur Γ .
La pente de D est :

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p10/16 -

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a = lim

x →±∞

f (x )
x

Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de D, on montre que f ( x ) − ax tend vers b lorsque
x → ±∞ , ou bien alors que f ( x ) − ax − b tend vers 0 lorsque x → ±∞ .

Si f ( x ) − ax → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique de pente a.
Exemple

&RQWLQXLWp
&RQWLQXLWp HQ XQ SRLQW &RQWLQXLWp VXU XQ LQWHUYDOOH
Définitions :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ . Soit x0 ∈ I .


On dit que f est continue en x0 si et seulement si lim f ( x ) = f ( x0 ) , c’est-à-dire si :
x → x0

∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) ≤ ε



f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition x ≥ x0 (resp. x ≤ x0 ).

Conséquences :


f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x0 .



f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

Exemple


2SpUDWLRQV VXU OHV IRQFWLRQV FRQWLQXHV

Propositions 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ et continues en x0 (resp. sur I).
(i)

∀α , β ∈ \ , α f + β g est continue en x0 (resp. sur I).

(ii)

Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors

1
est continue en x0 (resp. sur I).
g

(iii)

Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors

f
est continue en x0 (resp. sur I).
g

Exemples :
Toute fonction constante est continue sur \ .

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p11/16 -

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Les fonctions polynomiales sont continues sur \ . Autres
Remarques :
Pour démontrer qu’une fonction est continue, il suffit souvent de vérifier qu’il s’agit d’un
« mélange » de fonctions continues classiques, et les propositions précédentes ainsi que la
suivante s’appliquent.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ . Si f est continue en x0 (resp. sur I) et g
continue en f ( x0 ) , alors g D f est continue en x0 (resp. sur I).
La démonstration de cette proposition découle directement de celle du théorème 1.4.
Exemple


3URORQJHPHQW SDU FRQWLQXLWp

Si f est une fonction définie sur I \ {x0 } et si lim f ( x ) = a , on dit que g est un prolongement
x → x0

par continuité de f en x0 si et seulement si g ( x ) = f ( x ) ∀x ≠ x0 et g ( x0 ) = a .
Exemple
3URSULpWpV GHV IRQFWLRQV FRQWLQXHV


7KpRUqPH GHV YDOHXUV LQWHUPpGLDLUHV

Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . Alors, en supposant que

f (a ) < f (b ) , pour tout y tel que f (a ) ≤ y ≤ f (b ) , il existe au moins un élément x ∈ ]a, b[
tel que y = f ( x ) .
Remarque
Corollaire 1 :
Soit f continue sur [a, b] . Si f (a ) f (b ) ≤ 0 , alors ∃c ∈ ]a, b[ tel que f (c ) = 0 .
Démonstration
Application

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p12/16 -

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Exercice
Une personne parcourt à vélo une distance de 20 km en une heure.
Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une demi-heure pendant
lequel elle parcourt exactement 10 km.
Solution

Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
! Attention :
Si I a pour bornes a et b, celles de f ( I ) ne sont pas nécessairement f (a ) et f (b ) .
Exemple


7KpRUqPH GH OD ELMHFWLRQ UpFLSURTXH

Théorème :
Si f : I → J est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J.
De plus, la fonction réciproque f −1 , de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la
même monotonie que f).
Remarques :


Les courbes représentatives de f et f −1 sont symétriques l’une de l’autre dans la symétrie
par rapport à la droite y = x parallèlement à la droite y = − x ; si le repère est orthonormé,
il s’agit de la symétrie orthogonale par rapport à la droite y = x . Exemple.



Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à
l’équation f ( x ) = 0 . Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.

3RXU DOOHU SOXV ORLQ
Qu’est-ce qu’un nombre réel ? Théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème de Rolle
Notion d’équivalents (§ 7.3)
Continuité uniforme (§ 7.4.5)
Fonctions k-lipschitziennes (§ 7.4.6)

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p13/16 -

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([HPSOH G·DSSOLFDWLRQ HQ %LRORJLH
L’exemple présenté ci-après est extrait de LEFORT G. (1967) p111.

Pour exciter un tissu (nerf ou muscle), un courant
électrique doit avoir une intensité au moins égale
à une certaine valeur i qui dépend du temps t de
passage du courant ; on admet la formule
approchée :
Université de Montréal

Considérons la fonction définie par f : t → i0 +

i = i0 +

c
avec i0 , c des constantes positives
t

c
pour tout t > 0 .
t

lim f (t ) = i0

t →+∞

Cette limite à une signification biologique simple : quel que soit le temps de passage du
courant, son intensité est toujours supérieure à i0 ; ce nombre i0 est appelé la rhéobase.

lim f (t ) = +∞

t → 0+

On définit par ailleurs la chronotaxie, comme le temps θ de passage nécessaire pour qu’un
courant électrique d’intensité 2i0 excite le tissu : θ = c i0 .

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p14/16 -

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4XHOTXHV WUXFV«
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d'une
fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l'écriture de cette fonction... afin de
pouvoir les appliquer !
Nous avons vu comment il est possible de connaître la limite à l'infini d'un polynôme ou d'une
fonction rationnelle. Voyons maintenant le cas particulier d’une fonction contenant une racine
carrée ou une valeur absolue.
/D TXDQWLWp FRQMXJXpH
Soit f une fonction définie sur \ + par f ( x ) = x + 4 − x .

f (0 ) = 0 . On cherche à déterminer lim f ( x ) .
x →+∞

lim

x + 4 = +∞

lim

x = +∞

x →+∞

x →+∞

Donc lim f ( x ) est de la forme indéterminée « ∞ − ∞ ».
x →+∞

L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée

f (x ) = x + 4 − x =

(

x+4 − x

)(

x+4 + x

)

x+4 + x

Le numérateur est alors du type (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 , d’où :

f (x ) =
lim

x →+∞

(x + 4) − x
x+4 + x

=

4
x+4 + x

x + 4 + x = +∞ , donc lim f ( x ) = 0

Graphe

x →+∞

/HV YDOHXUV DEVROXHV
Soit f une fonction définie sur \ \ {−1,1} par f ( x ) =

1− 2 x
1− x

.

On cherche à déterminer les limites de f ( x ) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste ici à écrire différemment la valeur absolue de x selon que x est négatif
ou positif

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p15/16 -

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x = − x si x < 0
x = x si x > 0
Les limites à déterminer sont les suivantes :

lim f ( x )

lim f ( x )

x →−1±

x →±∞



Commençons par regarder en +∞ :

x > 0 donc x = x et f ( x ) =



lim f ( x )

x →1±

1− 2x
−2 x
=2
, donc lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞ − x
1− x

En −∞ :

x < 0 donc x = − x et f ( x ) =



En −1+ :

x < 0 donc x = − x et f ( x ) =



1 + 2x
2x
, donc lim f ( x ) = lim
=2
x →−∞
x →−∞ x
1+ x
1 + 2x
−1
= −∞
, donc lim+ f ( x ) = lim+
x →−1
x →−1 1 + x
1+ x

En −1− :

On a toujours x < 0 donc x = − x et f ( x ) =
lim− f ( x ) = lim−

x →−1



x →−1

−1
= +∞
1+ x

1 + 2x
, mais cette fois-ci
1+ x

( x < −1)

En 1+ :

x > 0 donc x = x et f ( x ) =



( x > −1)

1− 2x
−1
, donc lim+ f ( x ) = lim+
= +∞
x →1
x →1 1 − x
1− x

( x > 1)

1− 2x
−1
, donc lim− f ( x ) = lim−
= −∞
x →1
x →1 1 − x
1− x

( x > 1)

En 1− :

x > 0 donc x = x et f ( x ) =

Voir le graphe

- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p16/16 -


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