chapitre6[1].pdf


Aperçu du fichier PDF chapitre6-1.pdf - page 6/22

Page 1...4 5 67822



Aperçu texte


Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL

S. Charles (20/10/2001)

......................................................................................................................................................................................................

(TXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV GX SUHPLHU RUGUH KRPRJqQHV
dy
 y
 y
La forme générale de ces équations est y′ = f   ⇔
= f  .
dx
 x
 x

L’astuce consiste à poser u =
On pose u =
Ainsi,

y
pour se ramener à une équation à variables séparables.
x

y
⇔ y = xu
x

dy
du
=u+x
(u est en effet une fonction de x), c’est-à-dire :
dx
dx
f (u ) = u + x

du
dx

Ceci qui permet alors d’écrire :

du
dx
=
f (u ) − u x
On est donc bien ramené au cas précédent.
Exemples :
 Résoudre l’équation y′ =

x2 + y 2
xy

 Résoudre l’équation xyy′ = y 2 − x 2

Réponse
Réponse

8Q H[HPSOH HQ %LRORJLH
Cherchons à décrire au moyen d’une équation différentielle l’évolution de la taille de la
population d'un pays qui présente les caractéristiques suivantes : par an, le taux de
renouvellement est de 20 pour 1000 habitants, et le taux de mortalité est de 15 pour 1000
habitants.
Soit N (t ) la taille de la population l’année t, exprimée en milliers d’habitants.
La variation annuelle de la taille de la population peut être quantifiée à l’aide de la quantité
dN (t )
. Ainsi, on peut écrire, par le jeu d’une balance entre renouvellement naturel et
dt
mortalité :
dN (t )
= aN (t ) − bN (t ) = rN (t )
dt

- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p6/22 -