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Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP

Mise à jour : 08/01/15

BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1. On considère deux suites numériques (un )n∈N et (vn )n∈N telles que (vn ) est non nulle à partir d’un certain
rang et un ∼ vn .
+∞

Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.


1
1
− tan
.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh
n
n

Corrigé exercice 1
1. Par hypothèse, ∃ N 0 ∈ N/∀ n ∈ N, n > N0 =⇒ vn 6= 0.
un
Ainsi la suite
est définie à partir du rang N0 .
vn
un
= 1.
De plus, comme un ∼ vn , on a lim
+∞
n→+∞ vn



un
− 1 6 ε. (1)
Alors, ∀ ε > 0, ∃N ∈ N/N > N0 et ∀ n ∈ N, n > N =⇒
vn
1
Prenons ε = . Fixons un entier N vérifiant (1).
2


un
1

Ainsi, ∀ n ∈ N, n > N =⇒
− 1 6 .
vn
2
1
un
1
C’est-à-dire, ∀ n ∈ N, n > N =⇒ − 6
−16 .
2
vn
2
un
1
On en déduit que ∀ n ∈ N, n > N =⇒
> .
vn
2
un
Et donc, ∀ n ∈ N, n > N =⇒
> 0.
vn
Ce qui implique que un et vn sont de même signe à partir du rang N .


1
1
1
1
1
1
1
1
1
2. Au voisinage de +∞, sh( ) = + 3 + o
=
+
+
o
et
tan
. Donc un ∼ − 3 .
+∞
n
n 6n
n3
n
n 3n3
n3
6n
On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, un est négatif.

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