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Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP

Mise à jour : 08/01/15

EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
1
.
(x + 1)2 (3 − x)
1. Décomposer f (x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] − 1; 3[ telle
que G(1) = 0.

On pose f (x) =

2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence.
3. Déduire de ce développement la valeur de G(3) (0).

Corrigé exercice 2
1
.
(x + 1)2 (3 − x)
1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve :
1
1
1
1
1
1
+
×
+ ×
×
.
f (x) =
2
16 x + 1 4 (x + 1)
16 3 − x
Les primitives de f sur
]−1; +3[ sont donc les fonctions F définies par :
1
x+1
1
1
F (x) =
ln
− ×
+ C avec C ∈ R.
16
3−x
4 (x + 1)
1
De plus, F (1) = 0 ⇐⇒ C = .
8


x+1
1
1
1
1
ln
− ×
+ .
Donc, ∀ x ∈ ]−1; 3[, G(x) =
16
3−x
4 (x + 1) 8
1
1
2. D’après le cours, x 7−→
et x 7−→
sont développables en série entière à l’origine.
x+1
(x + 1)2
Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1)
+∞
P
1
On a ∀ x ∈ ]−1, 1[,
=
(−1)n xn .
1 + x n=0
+∞
P
1
Et, ∀ x ∈ ]−1, 1[,
=
(−1)n+1 nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent).
2
(1 + x)
n=1
1
1
=
Enfin,
x .
3−x
3 1−
3
1
Donc x 7−→
est développable en série entière à l’origine.
3−x
Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2)
P xn
1
1 +∞
Et, on a ∀ x ∈ ]−3; 3[,
=
3−x
3 n=0 3n

On pose f (x) =

On en déduit que f est développable en série entière.
On note R le rayon de convergence de ce développement en série entière.
D’après (1) et (2), R > 1.
Or lim |f (x)| = +∞ donc R 6 1.
x→−1

Donc R = 1.

+∞
P
P
1 +∞
1 +∞
1
1 X xn
(−1)n xn +
(−1)n (n + 1)xn +
×
.
16 n=0
4 n=0
16 3 n=0 3n

+∞
X
(−1)n (n + 1)
1
(−1)n
+
+
C’est-à-dire ∀ x ∈ ]−1; 1[, f (x) =
xn .
n+1
16
4
16
×
3
n=0

Et ∀ x ∈ ]−1; 1[, f (x) =

3. D’après le cours, les coefficients d’un développement en série entière sont ceux de la série de Taylor associée.
(−1)n
(−1)n (n + 1)
1
f n (0)
+
+
,
alors,

n

N,
a
=
.
n
16
4
16 × 3n+1
n!


1
3
1
44
Ainsi, G(3) (0) = f (2) (0) = 2!a2 = 2 ×
+ +
=
.
16 4 16 × 27
27
Donc, si on pose ∀n ∈ N, an =

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