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Exercice Echantillonnage .pdf


Nom original: Exercice Echantillonnage.pdf
Auteur: SAMIA

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Exercice :
Dans un échantillon E1 de 225 personnes de la population d’une région R1, on a trouvé 30 personnes
atteintes d’une maladie M. On note p1 la proportion des personnes de cette région atteintes de cette
maladie.
Dans un échantillon E2 de 100 personnes de la population d’une région R2, on a trouvé 25 personnes
atteintes d’une maladie M. On note p2 la proportion des personnes de cette région atteintes de cette
maladie.
1.a) Donnez le pourcentage de personnes atteintes de la maladie M dans l’échantillon E1.
b) Donnez un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion p1.
2.a) Donnez le pourcentage de personnes atteintes de la maladie M dans l’échantillon E2.
b) Donnez un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion p2.
3.a) Peut-on conclure de cette étude qu’il y a plus de personnes atteintes par la maladie M dans la
région R2 que dans la région R1 ?
b) En supposant que le pourcentage de personnes atteintes reste inchangé dans l’échantillon E2,
quelle aurait dû être la taille minimum de l’échantillon E2 pour pouvoir conclure à une différence
entre les deux régions avec un niveau de confiance de 95% ?
Solution :
1.a) Soit f1 la fréquence de l’échantillon E1.
f1 = 30/255 = 2/17 = 0,118 (environ)
Dans l’échantillon E1, il y a environ 11,8% de personnes atteintes de la maladie M.
b) Vérifions les 3 conditions :
 n1 = 255 > 30
 n1*f1 = 255 * 2/17 = 30,09 (environ) > 5
 n1*(1-f1) = 255(1-2/17) = 224,91 (environ) > 5
Les trois conditions sont réalisées.
Soit I1 l’intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion p1.
I1 = [f1-1/√n1 ; f1+1/√n1]
(√ = racine carrée)
I1 = [2/17 – 1/√255 ; 2/17 + 1/√255] = [0,055 ; 0,180]
P1  [0,055 ; 0,180]
2.a) Soit f2 la fréquence de l’échantillon E2.
f2 = 25/100 = 0,25
Dans l’échantillon E2, il y a 25% de personnes atteintes de la maladie M.
b) Vérifions les 3 conditions :
 n2 = 100 > 30
 n2*f2 = 100 * 0,25 = 250 > 5
 n2*(1-f2) = 100(1-0,25) = 75 > 5
Les trois conditions sont réalisées.
Soit I2 l’intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion p2.
I2 = [f2-1/√n2 ; f2+1/√n2]
(√ = racine carrée)
I2 = [0,25 – 1/√100 ; 0,25 + 1/√100] = [0,15 ; 0,35]
P2  [0,15 ; 0,35]
3.a) Dans l’échantillon E1, au seuil de confiance de 0,95, il y a entre 5,5% et 18% de personnes
atteintes de la maladie M.
Dans l’échantillon E2, au seuil de confiance de 0,95, il y a entre 15% et 35% de personnes atteintes de
la maladie M.
On peut donc conclure qu’il est fort probable, avec un risque de 5% que l’étude soit confiante, que
les personnes de la région R2 soient plus atteintes de la maladie M que celles de la région R1.
b) On suppose que f2 = 0,25 et que n1 = 255 et f1 = 0,118 restent inchangés.
On doit trouver n2 pour que ???? (Condition incomprise)


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