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Titre: Lycée Médenine Série d’exercices ( Coniques) 4 Maths 08 / 09
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Lycée de Médenine
4ème Maths

Mr : HADJ SALEM Habib

Série n°16

Coniques

2014- 2015

(

rr

)

Exercice n° 1 : le plan est rapporté à un repère orthonormé R= O,i, j . Soit la courbe P d’équation : 2x+3y2+4y-1=0
1)a) Montrer que P est une parabole dont on déterminera le sommet S, le foyer F et la directrice D .
b) Construire P.
2) Soit M0 le point de P d’abscisse - 3 et d’ordonnée y0 positive.
a) Déterminer une équation de la tangente T à P au point M0.
b) Donner une équation de la perpendiculaire N à T en M0 .
3) T coupe l’axe focal D de P au point I et N coupe D en J.
a) Montrer F est le milieu du segment [ IJ ]

1
.
3
r r
Exercice n°2 : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, u, v ,on associe à tout point M d’affixe z le point
b) Soit K le projeté orthogonal de M0 sur D , montrer que JK=

(

)

M’ d’affixe z’ =f(z) =z2-(3-i)z+4-3i. On pose z=x+iy et z’=x’+iy’
1) Calculer x’ et y’ en fonction de x et y.
2) a) Démontrer que , lorsque M’ décrit l’axe des ordonnées , le point M décrit la courbe C d’équation
x2-y2-3x-y+4=0.
c)Déterminer les sommets, les foyers , les asymptotes et les directrices de ( C). d) Tracer la courbe (C).
® ®

Exercice 3 : ( ds 2 2009 ) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( O, i , j ) .
1/ On désigne par (P) l’ensemble des points M( x,y) du plan tels que : y2–2x -2y–1 = 0.
a) Montrer que (P) est une parabole dont on déterminera son foyer, sa directrice et son
sommet.
b) Vérifier que le point I (1,3) est un point de (P).
c) Déterminer une équation de la tangente (T) à ( P) au point I.
d) Tracer ( T) et (P).
2/ Soit l’application f qui à tout point M(z) associe le point M ’(z’) tel que : z’ = (1–i)z + 1 + i
a) Caractériser f.

ì
ïïx =
b) On pose M(x,y) et M’ (x’ ,y’).Vérifier que í
ïy =
ïî

1
( x '- y ')
2
1
( x '+ y '- 2 )
2

c) Soit G : x2 + y2 –2xy – 2x – 2y – 4 = 0

Montrer que f( G ) = ( P ).En déduire la nature de G.
rr
Exercice n°4 ( bac 2009 princ) :Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j , on considère l’ellipse

(

)

y2
ù pé
= 1 et on désigne par M le point de coordonnées ( cos q , 2 sin q ) ; où q est un réel de ú 0, ê .
4
û 2ë
1) a) Déterminer , par leurs coordonnées , les sommets et les foyers de (E ).
b)Tracer ( E) et placer ses foyers.

(E ) d’équation : x2+

c) Vérifier que le point M appartient à (E ).

rr
2) Soit (T) la tangente à (E ) en M Montrer qu’une équation de (T ) dans le repère O,i, j est 2xcos q +ysin q -2=0.

(

)

3) On désigne respectivement par P et Q les points d’intersection de (T) avec l’axe des abscisses et l’axe des
ordonnées et on désigne par A l’aire du triangle OPQ.
2
a) Montrer que A =
sin ( 2q )

b) En déduire que l’aire A est minimale si et seulement si M est le milieu du segment [PQ].
Exercice 5 : Soit f la fonction définie sur [0;2] par : f (x ) = 2 2 x - x 2 , on note C=zr.
1) Soit C' = S (O,ir ) (C) et Γ = (C) È (C' ).
y2
=1.
4

a)

Montrer que (Γ) a pour équation : (x - 1)2 +

b)

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Γ). Tracer (Γ).
1+cos x

2) Soit pour x Î [0,p] : F (x ) : ò f (t )dt . Montrer que F est dérivable sur [0,p] et que F' (x)= – 2sin2x.
0

3) a) Calculer F (p) et déduire l'expression de F(x) pour tout xÎ[0,p].
b) En déduire l'aire de l'intérieur de (Γ).

Exercice 6 : (DS 2012)
1)- On donne une droite fixe D et un point F non situé sur D.
La perpendiculaire à D en un point variable H coupe la perpendiculaire à (FH) menée de F en point N.
Soit M le milieu du segment [NH]. Montrer que, lorsque H varie sur D, le point M varie sur une
parabole (P) dont on précisera le foyer et la directrice.
2)- On rapporte le plan à un repère orthonormé (O ⃗, ⃗) et on donne F ( , – 1) et D: x = – 1.
a/ Montrer que la parabole (P) a pour équation : y ² – 5x + 2 y + = 0.
b/ Préciser le sommet de (P) et tracer (P).

3)- a/ Vérifier que le point A ( , 1) appartient à (P), puis écrire une équation de la tangente T à
la parabole (P) en A.
b/ La droite T coupe D en un point K. Montrer que le triangle AFK est rectangle en F.

Exercice 7 : ( DS 2010 ) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ⃗ı, ⃗ȷ).
1/ Soit P l’ensemble des points M( x,y) du plan tels que : y2+2y+2x-1 = 0.
e) Ecrire l’équation réduite de P .
f) En déduire que P est une parabole dont on précisera le sommet Ω, le foyer F, et la directrice D.
2/ a) Soit le point A le point de P d’abscisse -1 d’ordonné y0<0 . Ecrire une équation de la tangente T à P en A.

b) Tracer T et P.
3/ Soit D la droite d’équation 5x-21=0 et F(6,-1) .M(x,y) un point du plan. On note H le projeté orthogonal de M sur
D . Soit H l’ensemble des points M tels que : 4MF -5MH=0 .
a) Vérifier que F Ï D , en déduire la nature de H.

b) Montrer que Mä H si et seulement si 9(x-1)2 – 16(y+1)2-144=0.
c) Déterminer le centre , les sommets et les asymptotes de H .

Exercice 8 ( Ds2 2013 ) :
rr
Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j , on considère la courbe ( H ) d’équation : x2-4y2-2x-3=0.

(

)

1) Montrer que ( H ) est une hyperbole , déterminer ses sommets , ses asymptotes et son excentricité.
2) Soit M0 le point d’intersection de la droite D :y=1 avec ( H ) d’abscisse positive.
a. Déterminer les coordonnées de M0 ainsi qu’une équation de la tangente (T) à ( H ) en M0.
b. Tracer (H ) et ( T) .
3) Soit M le point d’affixe : z= 1+3cos q +2isin q ; qΡ .
Montrer que M décrit une ellipse (E) d’équation :

(x - 1)2 y2
+ = 1.
9
4

6 2 ö
æ
4) a. Vérifier que le point N ç 1 +
,
÷ est un point commun de ( H) et ( E ).
5 5ø
è
b. Tracer ( E ).
c. Montrer les tangentes en N à ( H ) et à (E ) sont perpendiculaires.


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