Bézout + Similitude Bac Math .pdf


Nom original: Bézout + Similitude Bac Math.pdfAuteur: AmouLa

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Prof : Mr Khammour.K

Série n°15 : « Identité de Bézout + Similitude »

4ème Math

Février 2015

Exercice n°1 :
Soit p un entier naturel non nul . On pose S = 1  p  p 2  .....  p n 1

1) a) Vérifier que (1 – p)S = 1 – pn.
b) En déduire que (1- p , 1) est une solution particulière de (E) : Sx +pny = 1.
2) Application : On prend n = p = 3.
a) Résoudre dans Z2 l’équation (E’) :13x + 27y =1.
b) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E’’) :13x + 27y =2.
Exercice n°2 :
1) a) Quel est le reste de la division euclidienne de 610 par 11 ? Justifier votre réponse.
b) Quel est le reste de la division euclidienne de 64 par 5 ? Justifier votre réponse.
c) En déduire que 640  111 et que 640  15 .
d) Démontrer que 640 – 1 est divisible par 55.
2) Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs.
a) Montrer que l’équation (E) : 65x – 40y = 1 n’a pas de solution.
b) Montrer que l’équation (E’) : 17x – 40y = 1 admet au moins une solution.
c) Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de (E’).
d) Résoudre l’équation (E’). En déduire qu’il existe un unique naturel x0 < 40 tel que 17x0  1 40 .
Exercice n°3 :(TN 2009 Bac SC INF)

Exercice n°4 :





Soit ABC un triangle rectangle et isocèle tel que AB, AC 


2

 2  et soit D le symétrique de C par rapport à A.

Soit f la similitude qui envoie sur B et B sur D.
1) a) Faire une figure.
b) Calculer le rapport et l’angle de f.
c) Montrer que f(D) = C.
2) On désigne par O le centre de f.
a) Déterminer fof.
b) En déduire une construction de O. Justifier.
3) Soit 1 et  2 les cercles de diamètres respectifs [OA] et [OB] et soit K leur second point d’intersection. (AC)
recoupe  1 en I et (BC) recoupe  2 en J.

a) Montrer que K∈ (AB).
b) Montrer que f(I) = J.
c) Prouver alors que I,J et K sont alignés.
Exercice n°5 :







 2  et AB = 2 AD , I =
2
A*B , O=B*D et  le cercle circonscrit au rectangle ABCD. Soit f la similitude directe qui transforme
Dans le plan orienté , on considère un rectangle ABCD tel que AB, AD 

B en I et I en D.
1) Déterminer le rapport de f et un mesure de son angle.
2) Soit S = S
.
 C , 2 , 
4


a) Montrer que S (B) = I.
b) Montrer que foS-1=Idp.
c) En déduire que f = S.
3) Soit A’ = f(A) montrer que D = A’*I construire alors le point A’.
4) La demi droite [CA’) recoupe  en O’.
a) Calculer CO’ et CA’ en fonction de CA.
b) En déduire que O’ est le milieu de [CA’].
c) Prouver que O’ = f(O).
Exercice n°6 :
Le plan est orienté dans le sens direct.







 2  . Soit I le milieu de segment [AB]. On
2
désigne par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B. Soit f la similitude directe qui envoie
A sur D et O sur C.
OAB est un triangle rectangle et isocèle en O et tel que OA, OB 


.
2
2) a) Montrer que O est l’orthocentre du triangle ACD.
b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC).
c) Déterminer les images des droites (OJ) et (AJ) par f et en déduire que J est le centre de similitude f.
3) Soit g la similitude indirecte de centre I qui envoie A sur D.
a) Vérifier que g est de rapport 2 et d’axe (IC) , en déduire g(O).
b) Déterminer les images de C et D par gof-1. En déduire la nature de gof-1.
4) Soit I’ = f(I) et J’ = g(J).
a) Déterminer les images des points J et I’ par gof-1 .
b) Montrer que les droites (IJ) , (I’J’) et (CD) sont contractantes.
1) Montrer que f a pour rapport 2 et d’angle


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