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calcul primitive .pdf



Nom original: calcul-primitive.pdf
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Chapitre 21

Calcul de primitives
21.1

Calcul pratique de primitives

R
On note f (x) dx une primitive de la fonction f sur l’intervalle I. Cette notation d´esigne une fonction, a
` ne
Rb
pas confondre avec une int´egrale d´efinie a f (x) dx qui est un r´eel.

Th´
eor`
eme 21.1 : Changement de variables
Soit f : I 7→ R une fonction continue et ϕ : J 7→ I une bijection de classe C 1 de l’intervalle J vers
l’intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors F ◦ ϕ est une primitive de (f ◦ ϕ) × ϕ0 sur
l’intervalle J.
R
En pratique pour calculer une primitive F (x) = f (x) dx, on pose x = ϕ(t), dx = ϕ0 (t) dt, o`
u ϕ est
1
un
C
-diff´
e
omorphisme
de
l’intervalle
J
vers
l’intervalle
I
et
l’on
calcule
une
primitive
G(t)
=
F
ϕ(t)
=
R


f ϕ(t) ϕ0 (t) dt sur l’intervalle J. Ensuite il suffit de remplacer t par ϕ−1 (x) : F (x) = G ϕ−1 (t) .
Exercice 21-1
Calculer les primitives suivantes :
R dx
1.
sur I =]0,π[ ;
sin x
R dx
2.
sur I =]0, + ∞[ ;
sh x
R dx
sur I = R ;
3.
ch x
R
dx
sur I = R (a > 0) ;
4.
2
x + a2
R
dx
5. √
sur I =] − a,a[.
2
a − x2
Th´
eor`
eme 21.2 : Int´
egration par parties
H1

Alors

Soient u,v : I 7→ R deux fonctions de classe C 1 sur l’intervalle I.
Z

u0 (x)v(x) dx = u(x)v(x) −

Z

u(x)v 0 (x) dx + C

Exercice 21-2
Calculer les primitives suivantes :
R
1. x ln(x2 + 1) dx ;
R 2
2. (x − x + 3)e2x dx ;
R
3. ex sin x dx ;
x − 1
R
4. arctan
dx.
x−2

21.1.1

Primitives usuelles `
a connaˆıtre par coeur
Les classiques

Z

Z

sin(ax) dx = −

Z
(x − a)α+1
dx
(α 6= −1),
= ln |x − a|
α+1
x−a
Z
eax
(a 6= 0)
eax dx =
a
Z
Z
Z
sin x
ch x
sh x
cos(ax) dx =
sh(ax) dx =
ch(ax) dx =
a
a
a

(x − a)α dx =

cos x
a

(a 6= 0)

Celles `
a connaˆıtre absolument
Soit un r´eel a > 0. On obtient les primitives suivantes en factorisant a2 et en faisant le changement de variables
u = x/a.
Z
1
x
dx
= arctan
x2 + a 2
a
a
Z
Z



x − a
dx
1


=
ln
x2 − a 2
2a x + a


Z

dx
x
= arcsin
a
a2 − x2



x
dx
= argsh
2
a
+x

a2

o`
u argsh est la bijection r´eciproque de la fonction sh d´efinie sur R, et sa forme logarithmique (bonne a
` connaˆıtre
par coeur) s’´ecrit :
p

argsh(x) = ln x + x2 + 1
R

R

dx
= th x
ch2 x
R dx
= − coth x
R sh2 x
th x dx = ln |ch x|

dx
= tan x
cos2 x
R dx
= − cotan x
R sin2 x
tan x dx = − ln |cos x|

Primitives obtenues par changement de variables t = tan
R


x
dx

= ln tan
sin x
2

x
R dx


= ln th
sh x
2

= tan x2
1
(1 + t2 ) dx
=
2
2t
=
1 + t2
1 − t2
=
1 + t2
2t
=
1 − t2

t

Elle s’obtiennent grˆ
ace au changement de variables :
t
dt
sin x
cos x
tan x

dt
sh x
ch x
th x

= th x2
1
(1 − t2 ) dx
=
2
2t
=
1 − t2
1 + t2
=
1 − t2
2t
=
1 + t2

On obtient la primitive suivante en rempla¸cant x par x + π2 .
Z


x π
dx


= ln tan
+

cos x
2
4
Z

1
= 2 arctan ex
ch x

x
2

21.2

Fractions rationnelles


efinition 21.1 : Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un (( quotient )) de deux polynˆ
omes P,Q ∈ K[X]. On la note F (X) =
P (X)
. On note K(X) l’ensemble des fractions rationnelles. On peut d´efinir la somme et le produit
Q(X)
de deux fractions rationnelles par les formules suivantes :
F1 (X) =
F1 + F 2 =

P1 (X)
P2 (X)
, F2 (X) =
Q1 (X)
Q2 (X)

P1 Q 2 + P 2 Q 1
Q1 Q2

F1 F2 =


Muni de ces lois, K(X), + ,× est un corps commutatif.

P1 P2
Q1 Q2

P1 δ
P1
P
Remarque 224. Si δ = P ∧ Q, alors P = P1 δ et Q = Q1 δ avec P1 ∧ Q1 = 1 et alors Q
= Q
= Q
. On peut

1
´egalement diviser au num´erateur et au d´enominateur par le coefficient dominant du polynˆ
ome Q 1 . Dans la suite,
on consid´erera donc uniquement des fractions rationnelles de la forme F = P
ome
Q avec P ∧ Q = 1 et Q un polynˆ
unitaire.


efinition 21.2 : Degr´
e d’une fraction rationnelle
P
∈ K(X). On appelle degr´e de F :
Soit une fraction rationnelle F =
Q
deg F = deg P − deg Q ∈ Z
On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆ
omes :
deg(F1 + F2 ) ≤ max(deg F1 , deg F2 ),

deg(F1 F2 ) = deg F1 + deg F2

Lorsque F 6= 0, le degr´e de F est un entier relatif. Lorsque F = 0, deg F = −∞.

efinition 21.3 : Z´
eros, pˆ
oles d’une fraction rationnelle, fonctions rationnelles
P
∈ K(X). Les racines de P s’appellent les z´eros de F et les racines de Q les pˆ
oles de
Soit F =
Q
F . Si P d´esigne l’ensemble des pˆ
oles de F , on peut d´efinir la fonction rationnelle associ´ee a
`F:

K
 K \ P −→
Pe (x)
Fe :
7→
 x
e
Q(x)

Remarque 225. Un pˆ
ole a ∈ K de la fraction F =
z´ero de multiplicit´e k du polynˆ
ome Q.

P
Q,

est dit de multiplicit´e k ∈ N, lorsque le scalaire a est un


efinition 21.4 : D´
eriv´
ee d’une fraction rationnelle
P
∈ K(X). On d´efinit formellement la d´eriv´ee de cette fraction
Soit une fraction rationnelle F =
Q
rationnelle par la formule
P 0 Q − P Q0
F0 =
Q2
f0 : K \ P 7→ K. Cette fonction d´eriv´ee
Remarque 226. On associe la fonction rationnelle d´eriv´ee associ´ee F
co¨ıncide avec la d´eriv´ee usuelle de la fonction Fe lorsque K = R.

21.2.1


ecomposition en ´
el´
ements simples d’une fraction rationnelle

Proposition 21.3 : Partie enti`
ere d’une fraction rationnelle
A
Soit une fraction rationnelle F =
∈ K(X). Il existe un unique couple (E,Fb) ∈ K[X] × K(X) tel
B
que
(
F = E + Fb
deg Fb < 0
Le polynˆ
ome E est appel´e la partie enti`ere de la fraction F .

Remarque 227. Pour trouver la partie enti`ere de F , on effectue la division euclidienne du polynˆ
ome A par le
R
polynˆ
ome B : A = BE + R avec deg R < deg B et alors F = E + .
B
Proposition 21.4 : Partie polaire d’une fraction rationnelle
A
Soit une fraction rationnelle F =
∈ K(X) et un pˆ
ole a ∈ K de multiplicit´e k :
B
b avec B(a)
b
B = (X − a)k B
6= 0

Il existe un unique couple (A1 ,A2 ) ∈ K[X]2 de polynˆ
omes tels que
F =
La fraction rationnelle

A2
A1
+
et deg(A2 ) < k
b
(X
− a)k
B

A2
est appel´ee partie polaire de la fraction F relative au pˆ
ole a.
(X − a)k

Proposition 21.5 : Coefficient associ´
e`
a un pˆ
ole simple
P
Si une fraction rationnelle F =
est de degr´e < 0 avec Q(X) = (X − a)V (X), o`
u V (a) 6= 0, la
Q
λ
partie polaire de la fraction F relativement au pˆ
ole simple a est de la forme X−a :
F =

λ
U
+
X −a V

(21.1)

Pour trouver le scalaire λ, on peut :
– Multiplier (21.1) par (X −a), puis faire x = a dans la fonction rationnelle associ´ee. On trouve
P (a)
.
que : λ =
V (a)
– Utiliser la formule de Taylor pour Q, et obtenir λ =

P (a)
. Cette formule est tr`es utile
Q0 (a)

lorsqu’il est difficile de trouver le quotient V du polynˆ
ome Q par (X − a).

21.2.2


ecomposition en ´
el´
ements simples dans C(X)


ecomposition dans C(X)
P
Soit une fraction rationnelle F =
∈ C (X), avec la d´ecomposition du polynˆ
ome Q en ´el´ements
Q
irr´eductibles qui s’´ecrit :
Q = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn
Th´
eor`
eme 21.6 :

Alors la fraction F s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme


λ11
λ12
λ1α1
F =E+
+
+···+
+···+
X − a1
(X − a1 )2
(X − a1 )α1


λn2
λnαn
λn1
+
+···+
+
X − an
(X − an )2
(X − an )αn
o`
u la partie enti`ere E ∈ C[X] est un polynˆ
ome nul, ou de degr´e deg(P )−deg(Q) et o`
u les coefficient
λij ∈ C sont complexes.
Exercice 21-3
D´ecomposer les fractions rationnelles F (X) =

1
X −4
et G(X) = n
dans C(X).
(X − 1)(X + 1)X
X −1

Recherche des coefficients associ´
es aux pˆ
oles multiples
On suppose que F (X) =
F s’´ecrit alors

P
avec deg F < 0 et Q(X) = (X − a)n V (X) avec (V (a) 6= 0). La d´ecomposition de
Q
F =

λ1
λ2
λn
U (X)
+
+···+
+
(X − a) (X − a)2
(X − a)n
V (X)

(21.2)

– En multipliant (21.2) par (X − a)n et en faisant x = a, on trouve λn ;
λn
a
` F , et on recommence pour trouver λn−1 etc ;
– Si n est petit, (n ≤ 2), on retranche
(X − a)n
P1 (Y )
, et on effectue une division
– Si n ≥ 3, on fait le changement de variables Y = X − a, F (Y ) = n
Y V1 (Y )
selon les puissances croissantes (ou un DL(0,n − 1)) a
` l’ordre n − 1 :
P1 = V1 (a0 + a1 Y + · · · + an−1 Y n−1 ) + R avec val(R) ≥ n
On a alors :

a0
a1
an−1
+ n−1 + · · · +
+...
Yn
Y
Y
et on trouve les coefficients λ1 = an−1 , λ2 = an−2 , . . . .
F (Y ) =

Exercice 21-4
D´ecomposer dans C (X) la fraction rationnelle G(X) =

X+1
.
(X − 1)4 X

Remarque 228. Trois astuces a
` retenir pour obtenir des relations entre coefficients :
p
– multiplier par x et faire x → +∞ (ou prendre la partie enti`ere des fractions r´esultantes) ;
– Utiliser la parit´e ´eventuelle de la fraction ;
– Donner une valeur particuli`ere a
` x (x = 0).
Exercice 21-5
D´ecomposer dans C (X) la fraction rationnelle G(X) =

21.2.3

X
.
(X 2 − 1)2


ecomposition en ´
el´
ements simples dans R(X)

Th´
eor`
eme 21.7 : D´
ecomposition dans R(X)
P
Soit F =
∈ R(X), o`
u la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dans R[X] du d´enominateur
Q
s’´ecrit :
Q = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn (X 2 + b1 X + c1 )β1 . . . (X 2 + bp X + cp )αp
Alors la fraction F s’´ecrit de fa¸con unique :


λ11
λ12
λ1α1
F =E+
+ ···+
+
+···+
X − a1
(X − a1 )2
(X − a1 )α1


λn2
λnαn
λn1
+
+··· +
+
+
X − an
(X − an )2
(X − an )αn


µ11 X + δ11
µ12 X + δ12
µ1β1 X + δ1β1
+···+
+
+
+
·
·
·
+
X 2 + b1 X + c1
(X 2 + b1 X + c1 )2
(X 2 + b1 X + c1 )β1


µpβp X + δpβp
µp2 X + δp2
µp1 X + δp1
+
+
·
·
·
+
+
X 2 + bp X + cp
(X 2 + bp X + cp )2
(X 2 + bp X + cp )βp
o`
u la partie enti`ere E ∈ R[X] est un polynˆ
ome nul ou de degr´e deg P −deg Q, et tous les λ ij , µij , δij
sont des r´eels.
Le premier groupe est form´e d’´el´ements simples de premi`ere esp`ece et le second groupe d’´el´ements
simples de seconde esp`ece.
– La recherche de la partie enti`ere et des coefficients des ´el´ements simples de premi`ere esp`ece se fait comme
pr´ec´edemment ;
– On peut utiliser une d´ecomposition dans C(X) et regrouper les ´el´ements simples correspondant aux pˆ
oles
conjugu´es pour obtenir les ´el´ements simples de seconde esp`ece ;

– Si X 2 + pX + q = (X − a)(X − a), on peut multiplier la d´ecomposition par (X 2 + pX + q)k et faire x = a,
puis x = a ;
– Utiliser les remarques pr´ec´edentes pour trouver des relations entre coefficients.
Exercice 21-6
D´ecomposer dans R (X) les fractions rationnelles F (X) =
X
.
2
(X + 1)2 (X − 1)2
Exercice 21-7
Utiliser la d´ecomposition de la fraction F (X) =

1
X 2n

−1

, G(X) =

(X 2

1
et H(X) =
+ X + 1)2

1
pour trouver la limite de la suite de terme
X(X + 1)(X + 2)

g´en´eral
Sn =

n
X

k=1

1
k(k + 1)(k + 2)

Exercice 21-8
Soit f la fonction arctan. D´ecomposer f 0 (x) dans C(X), puis utiliser cette d´ecomposition pour calculer explicitement f (n) (x). En d´eduire les z´eros de f (n) .
Exercice 21-9
Soit un polynˆ
ome P de degr´e n a
` coefficients r´eels n’admettant que des racines simples.
P0
a. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle F =
.
P
00
0
2
b. En d´eduire que ∀x ∈ R, P (x)P (x) ≤ P (x) .

21.2.4

Primitives de fractions rationnelles.

Pour calculer une primitive d’une fraction rationnelle, on la d´ecompose en ´el´ements simples dans R(X). La
partie enti`ere et les ´el´ements simples de premi`ere esp`ece se primitivent imm´ediatement. Pour primitiver un
R
ax + b
´el´ement simple de deuxi`eme esp`ece:
dx,
(x2 + px + q)n
– Faire apparaˆıtre en haut la d´eriv´ee de x2 + px + q, et la partie en x se primitive en ln ou en une fraction ;
R
1
. Pour cela, on r´eduit le trinˆ
ome sous forme canonique et on
– On se ram`ene a
` primitiver
(x2 + px + q)n
effectue les changements de variables appropri´es ;
R
dx
– Pour calculer In =
, on int`egre In−1 par parties. On obtient une relation entre In et In−1 .
(x2 + a2 )n
R
R dx
dx
Par exemple, pour calculer
, on int`egre par parties arctan x =
.
2
2
(x + 1)
x2 + 1
Exercice 21-10
R
dx
Calculer
2
(x + x + 1)2
Exercice 21-11
R
dx
Calculer
x3 (x2 + 1)
Exercice 21-12
R dx
Calculer
x3 + 1
Exercice 21-13
R
dx
Calculer
x(x6 − 1)

21.2.5

Primitives rationnelles en sin , cos

On s’int´eresse aux primitives de la forme

R

F (sin x, cos x) dx o`
u F est une fraction rationnelle dans les deux

arguments.
R
1. P (sin x, cos x) dx, o`
u P est
ome dans les deux variables.
R un polynˆ
On se ram`ene au calcul de sinp x cosq x dx.
R
– Si p est impair : sin2k x cosq x sin x dx, faire le changement de variables y = cos x ;
– Si q est impair : faire le changement de variables y = sin x ;
– Si p et q sont pairs, on lin´earise (cf r`egles de Bioche).
Exercice
21-14
R
Calculer sin2 x cos3 x dx.

2. R`egles de Bioche pour calculer

R

F (sin x, cos x) dx:

On ´etudie l’´el´ement diff´erentiel ω(x) = F (sin x, cos x) dx.
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ −x, on pose t = cos x ;
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π − x, on pose t = sin x ;
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π + x, on pose t = tan x ;
– Si aucune transformation de marche, on pose t = tan x2 .
Exercice 21-15
R
R
R cos3 x + cos5 x
R
dx
sin x
dx
dx,
.
Calculer
,
dx,
2
2
4
2
1 + cos x
2 + cos x
1 + sin x
sin x + sin x

21.2.6

Primitives rationnelles en sh , ch

On veut calculer des primitives de la forme

R

F (sh x, ch x) dx o`
u F est une fraction rationnelle dans les deux

variables. On a l’analogie des r`egles de Bioche :
On ´etudie l’´el´ement diff´erentiel ω(x) = F (sin x, cos x) dx (en rempla¸cant les fonctions hyperboliques par les
fonctions trigonom´etriques associ´ees).





Si
Si
Si
Si

ω(x) est invariant par la transformation x 7→ −x, on pose t = ch x :
ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π − x, on pose t = sh x ;
ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π + x, on pose t = th x ;
aucune transformation ne marche, on pose t = th x2 ou alors t = ex .

Exercice 21-16
R
R
R ln 2
R
sh3 x
dx
dx
dx, th3 x dx, 0
Calculer
2
2 ,
2
5
sh
x
− 4 ch x
ch x sh x
ch x(2 + sh x)

21.2.7

Primitives avec des racines.

Il y en a de deux sortes qu’on sait traiter (F (λ,µ) est une fraction rationnelle dans les deux arguments).



R
R

r

F (x, n

ax + b
) Poser y =
cx + d

r
n

ax + b
.
cx + d


F (x, ax2 + bx + c) : r´eduire le trinˆ
ome et poser y un sin, un ch ou un sh pour faire disparaˆıtre la

racine.
Exercice
r 21-17
R 1 + x dx
Calculer
1−x x

Exercice 21-18
R
dx

Calculer √
x+ 3x

Exercice 21-19
r
R 2+x 1−x
Calculer
dx
1+x 1+x
Exercice
21-20
R
x
Calculer √
dx
2
x +x+1
Exercice
21-21
R√
Calculer
x − x2 dx

Remarque 229. Une astuce qui simplifie consid´erablement les calculs : pour calculer une primitive de
Z p
x2 + px + q dx
commencer par r´eduire le trinˆ
ome pour se ramener a
` calculer
Z p
F =
x2 + a2 dx

L’id´ee consiste a
` faire passer la racine au d´enominateur en int´egrant par parties, car la primitive suivante est
connue :
Z
dx

G=
= argsh(x/a)
2
x + a2
Exercice
21-22
R√
Calculer
x2 + x + 1 dx.


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