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Chapitre 21

Calcul de primitives
21.1

Calcul pratique de primitives

R
On note f (x) dx une primitive de la fonction f sur l’intervalle I. Cette notation d´esigne une fonction, a
` ne
Rb
pas confondre avec une int´egrale d´efinie a f (x) dx qui est un r´eel.

Th´
eor`
eme 21.1 : Changement de variables
Soit f : I 7→ R une fonction continue et ϕ : J 7→ I une bijection de classe C 1 de l’intervalle J vers
l’intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors F ◦ ϕ est une primitive de (f ◦ ϕ) × ϕ0 sur
l’intervalle J.
R
En pratique pour calculer une primitive F (x) = f (x) dx, on pose x = ϕ(t), dx = ϕ0 (t) dt, o`
u ϕ est
1
un
C
-diff´
e
omorphisme
de
l’intervalle
J
vers
l’intervalle
I
et
l’on
calcule
une
primitive
G(t)
=
F
ϕ(t)
=
R


f ϕ(t) ϕ0 (t) dt sur l’intervalle J. Ensuite il suffit de remplacer t par ϕ−1 (x) : F (x) = G ϕ−1 (t) .
Exercice 21-1
Calculer les primitives suivantes :
R dx
1.
sur I =]0,π[ ;
sin x
R dx
2.
sur I =]0, + ∞[ ;
sh x
R dx
sur I = R ;
3.
ch x
R
dx
sur I = R (a > 0) ;
4.
2
x + a2
R
dx
5. √
sur I =] − a,a[.
2
a − x2
Th´
eor`
eme 21.2 : Int´
egration par parties
H1

Alors

Soient u,v : I 7→ R deux fonctions de classe C 1 sur l’intervalle I.
Z

u0 (x)v(x) dx = u(x)v(x) −

Z

u(x)v 0 (x) dx + C

Exercice 21-2
Calculer les primitives suivantes :
R
1. x ln(x2 + 1) dx ;
R 2
2. (x − x + 3)e2x dx ;
R
3. ex sin x dx ;
x − 1
R
4. arctan
dx.
x−2

21.1.1

Primitives usuelles `
a connaˆıtre par coeur
Les classiques