Fichier PDF

Partagez, hébergez et archivez facilement vos documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact



calcul primitive.pdf


Aperçu du fichier PDF calcul-primitive.pdf

Page 1 2 3 4 5 6 7 8

Aperçu texte


Z

Z

sin(ax) dx = −

Z
(x − a)α+1
dx
(α 6= −1),
= ln |x − a|
α+1
x−a
Z
eax
(a 6= 0)
eax dx =
a
Z
Z
Z
sin x
ch x
sh x
cos(ax) dx =
sh(ax) dx =
ch(ax) dx =
a
a
a

(x − a)α dx =

cos x
a

(a 6= 0)

Celles `
a connaˆıtre absolument
Soit un r´eel a > 0. On obtient les primitives suivantes en factorisant a2 et en faisant le changement de variables
u = x/a.
Z
1
x
dx
= arctan
x2 + a 2
a
a
Z
Z



x − a
dx
1


=
ln
x2 − a 2
2a x + a


Z

dx
x
= arcsin
a
a2 − x2



x
dx
= argsh
2
a
+x

a2

o`
u argsh est la bijection r´eciproque de la fonction sh d´efinie sur R, et sa forme logarithmique (bonne a
` connaˆıtre
par coeur) s’´ecrit :
p

argsh(x) = ln x + x2 + 1
R

R

dx
= th x
ch2 x
R dx
= − coth x
R sh2 x
th x dx = ln |ch x|

dx
= tan x
cos2 x
R dx
= − cotan x
R sin2 x
tan x dx = − ln |cos x|

Primitives obtenues par changement de variables t = tan
R


x
dx

= ln tan
sin x
2

x
R dx


= ln th
sh x
2

= tan x2
1
(1 + t2 ) dx
=
2
2t
=
1 + t2
1 − t2
=
1 + t2
2t
=
1 − t2

t

Elle s’obtiennent grˆ
ace au changement de variables :
t
dt
sin x
cos x
tan x

dt
sh x
ch x
th x

= th x2
1
(1 − t2 ) dx
=
2
2t
=
1 − t2
1 + t2
=
1 − t2
2t
=
1 + t2

On obtient la primitive suivante en rempla¸cant x par x + π2 .
Z


x π
dx


= ln tan
+

cos x
2
4
Z

1
= 2 arctan ex
ch x

x
2