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21.2

Fractions rationnelles


efinition 21.1 : Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un (( quotient )) de deux polynˆ
omes P,Q ∈ K[X]. On la note F (X) =
P (X)
. On note K(X) l’ensemble des fractions rationnelles. On peut d´efinir la somme et le produit
Q(X)
de deux fractions rationnelles par les formules suivantes :
F1 (X) =
F1 + F 2 =

P1 (X)
P2 (X)
, F2 (X) =
Q1 (X)
Q2 (X)

P1 Q 2 + P 2 Q 1
Q1 Q2

F1 F2 =


Muni de ces lois, K(X), + ,× est un corps commutatif.

P1 P2
Q1 Q2

P1 δ
P1
P
Remarque 224. Si δ = P ∧ Q, alors P = P1 δ et Q = Q1 δ avec P1 ∧ Q1 = 1 et alors Q
= Q
= Q
. On peut

1
´egalement diviser au num´erateur et au d´enominateur par le coefficient dominant du polynˆ
ome Q 1 . Dans la suite,
on consid´erera donc uniquement des fractions rationnelles de la forme F = P
ome
Q avec P ∧ Q = 1 et Q un polynˆ
unitaire.


efinition 21.2 : Degr´
e d’une fraction rationnelle
P
∈ K(X). On appelle degr´e de F :
Soit une fraction rationnelle F =
Q
deg F = deg P − deg Q ∈ Z
On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆ
omes :
deg(F1 + F2 ) ≤ max(deg F1 , deg F2 ),

deg(F1 F2 ) = deg F1 + deg F2

Lorsque F 6= 0, le degr´e de F est un entier relatif. Lorsque F = 0, deg F = −∞.

efinition 21.3 : Z´
eros, pˆ
oles d’une fraction rationnelle, fonctions rationnelles
P
∈ K(X). Les racines de P s’appellent les z´eros de F et les racines de Q les pˆ
oles de
Soit F =
Q
F . Si P d´esigne l’ensemble des pˆ
oles de F , on peut d´efinir la fonction rationnelle associ´ee a
`F:

K
 K \ P −→
Pe (x)
Fe :
7→
 x
e
Q(x)

Remarque 225. Un pˆ
ole a ∈ K de la fraction F =
z´ero de multiplicit´e k du polynˆ
ome Q.

P
Q,

est dit de multiplicit´e k ∈ N, lorsque le scalaire a est un


efinition 21.4 : D´
eriv´
ee d’une fraction rationnelle
P
∈ K(X). On d´efinit formellement la d´eriv´ee de cette fraction
Soit une fraction rationnelle F =
Q
rationnelle par la formule
P 0 Q − P Q0
F0 =
Q2
f0 : K \ P 7→ K. Cette fonction d´eriv´ee
Remarque 226. On associe la fonction rationnelle d´eriv´ee associ´ee F
co¨ıncide avec la d´eriv´ee usuelle de la fonction Fe lorsque K = R.

21.2.1


ecomposition en ´
el´
ements simples d’une fraction rationnelle

Proposition 21.3 : Partie enti`
ere d’une fraction rationnelle
A
Soit une fraction rationnelle F =
∈ K(X). Il existe un unique couple (E,Fb) ∈ K[X] × K(X) tel
B
que
(
F = E + Fb
deg Fb < 0
Le polynˆ
ome E est appel´e la partie enti`ere de la fraction F .