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calcul primitive.pdf


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Aperçu texte


Remarque 227. Pour trouver la partie enti`ere de F , on effectue la division euclidienne du polynˆ
ome A par le
R
polynˆ
ome B : A = BE + R avec deg R < deg B et alors F = E + .
B
Proposition 21.4 : Partie polaire d’une fraction rationnelle
A
Soit une fraction rationnelle F =
∈ K(X) et un pˆ
ole a ∈ K de multiplicit´e k :
B
b avec B(a)
b
B = (X − a)k B
6= 0

Il existe un unique couple (A1 ,A2 ) ∈ K[X]2 de polynˆ
omes tels que
F =
La fraction rationnelle

A2
A1
+
et deg(A2 ) < k
b
(X
− a)k
B

A2
est appel´ee partie polaire de la fraction F relative au pˆ
ole a.
(X − a)k

Proposition 21.5 : Coefficient associ´
e`
a un pˆ
ole simple
P
Si une fraction rationnelle F =
est de degr´e < 0 avec Q(X) = (X − a)V (X), o`
u V (a) 6= 0, la
Q
λ
partie polaire de la fraction F relativement au pˆ
ole simple a est de la forme X−a :
F =

λ
U
+
X −a V

(21.1)

Pour trouver le scalaire λ, on peut :
– Multiplier (21.1) par (X −a), puis faire x = a dans la fonction rationnelle associ´ee. On trouve
P (a)
.
que : λ =
V (a)
– Utiliser la formule de Taylor pour Q, et obtenir λ =

P (a)
. Cette formule est tr`es utile
Q0 (a)

lorsqu’il est difficile de trouver le quotient V du polynˆ
ome Q par (X − a).

21.2.2


ecomposition en ´
el´
ements simples dans C(X)


ecomposition dans C(X)
P
Soit une fraction rationnelle F =
∈ C (X), avec la d´ecomposition du polynˆ
ome Q en ´el´ements
Q
irr´eductibles qui s’´ecrit :
Q = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn
Th´
eor`
eme 21.6 :

Alors la fraction F s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme


λ11
λ12
λ1α1
F =E+
+
+···+
+···+
X − a1
(X − a1 )2
(X − a1 )α1


λn2
λnαn
λn1
+
+···+
+
X − an
(X − an )2
(X − an )αn
o`
u la partie enti`ere E ∈ C[X] est un polynˆ
ome nul, ou de degr´e deg(P )−deg(Q) et o`
u les coefficient
λij ∈ C sont complexes.
Exercice 21-3
D´ecomposer les fractions rationnelles F (X) =

1
X −4
et G(X) = n
dans C(X).
(X − 1)(X + 1)X
X −1